【數(shù)學(xué)】投影與視圖復(fù)習(xí)課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊

第二十九章投影與視圖知識框架投影與視圖投影的概念投影的分類視圖物體在光線的照射下，會在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象中心投影概念——從一點發(fā)出圓柱、圓錐、球的三種視圖簡單直棱柱、棱錐的三種視圖組合體的三種視圖正投影面上的投影叫做主視圖嗎水平投影面上的投影叫做俯視圖側(cè)投影面上的投影叫做左視圖與正投影的關(guān)系三種視圖的畫法遵循原則：長對正，高平齊，寬相等注意輪廓線的實虛線表示要點梳理知識點

一投影

一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影。照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影特征：1.等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.2.等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.考查題型（物高與影長的關(guān)系）1.在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長.2.在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.即：利用上面的關(guān)系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.

中心投影概念：由同一點(點光源)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。特征1.等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.2等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.考查題型（求點光源的位置）

點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應(yīng)點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系：正投影

正投影的定義：如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.1.線段的正投影分為三種情況.如圖所示.1、線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；2、線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長3、線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.2.平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.3.立體圖形的正投影物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.知識點二

三視圖三視圖概念：從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.

正面、水平面和側(cè)面概念：用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右邊的面叫做側(cè)面.三視圖概念：一個物體在三個投影面內(nèi)同時進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.三視圖之間的關(guān)系1.位置關(guān)系：三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，如圖(1)所示.2.大小關(guān)系：三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示畫幾何體三視圖的基本方法畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：1.確定主視圖的位置，畫出主視圖；2.在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”3.在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.注意：幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.由三視圖想象幾何體的形狀

由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來考慮整體圖形.

利用三視圖計算幾何體面積利用三視圖先想象出實物形狀，再進(jìn)一步畫出展開圖，然后計算面積。考點講練考點一

簡單幾何體的三視圖

1．一個圓錐如圖所示放置，對于它的三視圖，下列說法正確的是（）A．主視圖與俯視圖相同 B．主視圖與左視圖相同

C．左視圖與俯視圖相同 D．三個視圖完全相同【分析】根據(jù)圓錐的三視圖進(jìn)行判定即可．【解答】解：圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓，所以主視圖與左視圖相同，故選：B．【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，掌握各種幾何體的三視圖的形狀是正確判斷的關(guān)鍵．2．下列幾何體中，從正面看得到的平面圖形是圓的是（）A．B．CD【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．【解答】解：A．主視圖是三角形，故A不符合題意；B．主視圖是正方形，故B不符合題意；

C．主視圖是圓，故C符合題意；D．主視圖是兩個小長方形組成的矩形，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，熟悉常見幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．3．下列幾何體中，同一個幾何體從正面看和從上面看形狀圖不同的是（）ABCD【分析】從正面看到的圖形即為主視圖，從上面看到的形狀即俯視圖，結(jié)合圖形找出各圖形的俯視圖以及主視圖，然后進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、主視圖為矩形，俯視圖為矩形，不符合題意；B、主視圖為正方形，俯視圖為正方形，不符合題意；C、主視圖為三角形，俯視圖為中間有點的圓，符合題意；D、主視圖為圓形，俯視圖為圓形，不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，注意從正面看到的圖形即為主視圖，從上面看到的圖形即為俯視圖．4．如圖是由棱長都為1cm的6塊小正方體組成的簡單幾何體．（1）請在方格中畫出該幾何體的三個視圖．（2）如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，最多可以再添加2塊小正方體，【分析】（1）根據(jù)簡單組合體三視圖的畫法畫出相應(yīng)的圖形即可；（2）在俯視圖上相應(yīng)位置備注出相應(yīng)擺放的數(shù)目即可．【解答】解：（1）該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖如下：2）在備注數(shù)字的位置加擺相應(yīng)數(shù)量的小正方體，二．簡單組合體的三視圖5．如圖，是由四個完全相同的小正方形組合而成的幾何體，從上面看它得到的平面圖形是（）ABCD【分析】從上面看得到從左往右3列，正方形的個數(shù)依次為1，1，1依此畫出圖形即可．【解答】解：根據(jù)幾何體可得此圖形的俯視圖從左往右有3列，正方形的個數(shù)依次為1，1，1．故選：B．【點評】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關(guān)鍵是掌握三視圖的定義，從上面看它得到的平面圖形是俯視圖．6．如圖所示的幾何體的俯視圖是（）ABCD【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：從上邊看是兩個有公共邊的矩形，如圖所示：故選：A．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．7．（一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（）ABCD【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見的棱用實線表示，看不見的棱用虛線表示．【解答】解：從上面看，是一個正方形，正方形內(nèi)部有兩條縱向的虛線．故選：D．【點評】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．8．如圖，請分別畫出從正面、左面和上面觀察該幾何體看到的形狀圖．【分析】根據(jù)三視圖的定義結(jié)合圖形可得．【解答】解：如圖所示：【點評】本題考查作圖﹣三視圖．在畫圖時一定要將物體的邊緣、棱、頂點都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．本題畫幾何體的三視圖時應(yīng)注意小正方形的數(shù)目及位置．9．一個幾何體由一些大小相同的小正方塊兒搭建，如圖是從上面看到的這個幾何體的形狀如圖，小正方形的數(shù)字表示在該位置的小正方塊兒的個數(shù)，請在網(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的幾何體的形狀圖．【分析】根據(jù)主視圖，左視圖的定義畫出圖形即可．【解答】解：主視圖，左視圖如圖所示：【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義，屬于中考?？碱}型．三．由三視圖判斷幾何體10．一個由若干個相同的小正方體組成的幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則小正方體的最少個數(shù)為7．【分析】易得這個幾何體共有3層，由俯視圖可得第一層正方體的個數(shù)，由主視圖可得第二層和第三層正方體的可能的最少個數(shù)，相加即可．【解答】解：由俯視圖易得最底層有4個正方體，由主視圖第二層最少有2個正方體，由主視圖第三層最少有1個正方體，那么最少有4+2+1＝7個立方體．故答案為：7．11．小穎將幾盒粉筆整齊地摞在講臺桌上，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)從正面，左面，上面三個方向看到的粉筆形狀相同（如圖所示），那么這摞粉筆一共有4盒．【分析】首先根據(jù)俯視圖判斷最底層的個數(shù)，然后結(jié)合主視圖和左視圖判斷出該總盒數(shù)．【解答】解：由俯視圖可得最底層有3盒，由正視圖和左視圖可得第二層有1盒，共有4盒，故答案為：4．【點評】考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．12．如圖①所示的組合幾何體，它的下面是一個長方體，上面是一個圓柱．1）圖②和圖③是它的兩個視圖，在橫線上分別填寫兩種視圖的名稱左，俯（填“主”、“左”或“俯”）；（2）根據(jù)兩個視圖中的尺寸，計算這個組合幾何體的表面積和體積．（結(jié)果保留π）【分析】（1）找到從正面和上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在視圖中．（2）根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)可知，長方體的長為8，寬為5，高為2，圓柱的底面直徑為2，高為6，根據(jù)體積和表面積表示方法進(jìn)行計算即可【解答】解：（1）如圖，故答案為：左，俯．（2）表面積為：（8×5+8×2+5×2）×2+2π×6＝132+12π，體積為：2×5×8+π×（2÷2）2×6＝80+π×1×6＝80+6π．答：這個組合幾何體的表面積為132+12π，體積是80+6π．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，根據(jù)三視圖得出相關(guān)數(shù)據(jù)，依據(jù)相關(guān)計算方法進(jìn)行計算是得出正確答案的前提．13．如圖，是某幾何體從三個方向分別看到的圖形．（1）說出這個幾何體的名稱；（2）若其看到的三個圖形中圖1的長為15cm，寬為4cm；圖2的寬為3cm；圖3直角三角形的斜邊長為5cm，試求這個幾何體的所有棱長的和是多少？它的表面積多大？【分析】（1）根據(jù)棱柱的特點，結(jié)合圖形可得答案；（2）將上下底面三角形的周長、側(cè)棱長度相加即可得其所有棱長的和；將側(cè)面積、底面積相加可得答案．【解答】解：（1）三棱柱；（2）棱長和為（3+4+5）×2+15×3＝69（cm），側(cè)面積為3×15+4×15+5×15＝180（cm2），底面積為，表面積為180+6×2＝192（cm2）．【點評】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是掌握棱柱的三視圖特點及表面積的求法．14．一個幾何體的三個視圖如圖所示（單位：cm）．（1）寫出這個幾何體的名稱：長方體；（2）若其俯視圖為正方形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算這個幾何體的表面積．【分析】（1）由2個視圖是長方形，那么這個幾何體為棱柱，另一個視圖是正方形，那么可得該幾何體是長方體；（2）由三視圖知，長方體的底面是邊長為3cm的正方形，高是4cm，根據(jù)長方體表面積公式列式計算即可．【解答】解：（1）根據(jù)三視圖可得這個幾何體是長方體；故答案為：長方體．（2）由三視圖知，幾何體是一個長方體，長方體的底面是邊長為3cm的正方形，高是4cm，則這個幾何體的表面積是2×（3×3+3×4+3×4）＝66（cm2）．答：這個幾何體的表面積是66cm2．【點評】此題考查了由三視圖判斷幾何體和幾何體的表面積求法，正確判斷出幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．四．作圖-三視圖15．如圖是由棱長都為1cm的6塊小正方體組成的簡單幾何體．（1）請在方格中畫出該幾何體從正面、左面、上面所看到的形狀圖．（2）如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持從正面和從左面看到的形狀圖不變，最多可以再添加2塊小正方體．【分析】（1）根據(jù)簡單組合體三視圖的畫法畫出相應(yīng)的圖形即可；（2）在俯視圖上相應(yīng)位置備注出相應(yīng)擺放的數(shù)目即可．【解答】解：（1）該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖如下：（2）在備注數(shù)字的位置加擺相應(yīng)數(shù)量的小正方體，所以最多可以再添加2塊小正方體，故答案為：2．【點評】本題考查作圖﹣三視圖，簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義是正確解答的前提．16．如圖，是由6個大小相同的小立方體塊搭建的幾何體，其中每個小正方體的棱長為1厘米．請按要求在方格內(nèi)分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看到的形狀圖【分析】根據(jù)三視圖的定義作出圖形即可【解答】解：三視圖如圖所示：【點評】本題考查作圖﹣三視圖，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義，則有中考?？碱}型．17．如圖，是由6個大小相同的小立方體塊搭建的幾何體，其中每個小正方體的棱長為1厘米（1）直接寫出這個幾何體的表面積（包括底部）26cm2；（2）請按要求在方格內(nèi)分別畫出從這個幾何體的三個不同方向看到的形狀圖．【分析】（1）根據(jù)幾何體的特征求解即可；（2）根據(jù)三視圖的定義畫出圖形即可．【解答】解：（1）這個幾何體的表面積＝2（4+4+5）＝26（cm2），故答案為：26cm2．（2）三視圖如圖所示．【點評】本題考查作圖﹣三視圖，幾何體的表面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三視圖的定義，屬于中考?？碱}型．五．平行投影18．如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，已知AB＝5m，某一時刻AB在太陽光下的影子長BC＝3m．（1）在圖中畫出此時DE在太陽光下的影子EF；（2）在測量AB的影子長時，同時測量出EF＝6m，計算DE的長．【分析】（1）利用平行投影的性質(zhì)得出EF即可；（2）利用同一時刻物體影子與實際高度的比值相等進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：EF即為所求；（2）由題意可得：

，解得：DE＝10，答：DE的長為10m．＝【點評】此題主要考查了平行投影，利用同一時刻物體影子與實際高度的比值相等解題是解題關(guān)鍵．19．小紅想利用陽光下的影長測量學(xué)校旗桿AB的高度．如圖，他在某一時刻在地面上豎直立一個2米長的標(biāo)桿CD，測得其影長DE＝0.4米．（1）請在圖中畫出此時旗桿AB在陽光下的投影BF．（2）如果BF＝1.6，求旗桿AB的高．【分析】（1）利用太陽光線為平行光線作圖：連接CE，過A點作AF∥CE交BD于F，則BF為所求；（2）證明△ABF∽△CDE，然后利用相似比計算AB的長．解答】解：（1）連接CE，過A點作AF∥CE交BD于F，則BF為所求，如圖；（2）∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，而∠ABF＝∠CDE＝90°，∴△ABF∽△CDE，∴＝，即＝，∴AB＝8（m）．答：旗桿AB的高為8m．【點評】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．六．中心投影20．如圖，某同學(xué)下晚自習(xí)后經(jīng)過一路燈回寢室，他從A處背著燈柱方向走到B處，在這一過程中他在該路燈燈光下的影子（）A．由長逐漸變短

B．由短逐漸變長 C．先變長后變短

D．先變短后變長【分析】因為等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點光源近的物體的影子短，離點光源遠(yuǎn)的物體的影子長；已知人是從點A處背著燈柱方向走到B處，也就是從光源近處走向光源遠(yuǎn)處，據(jù)此進(jìn)行解答．【解答】解：根據(jù)中心投影的特征可知人遠(yuǎn)離燈光時，其影子逐漸變長．故選：B．【點評】本題主要考查的是中心投影的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是明確中心投影的特征．21．如圖，在一間黑屋子的地面A處有一盞探照燈，當(dāng)人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是（）A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定【分析】直接利用探照燈的位置得出人在墻上的影子，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：當(dāng)人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是變?。蔬x：B．22．如圖，路燈下一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC，小明（用線段DE表示）的影子是EF，在M處有一棵大樹，它在這個路燈下的影子是MN．（1）在圖中畫出路燈的位置并用點P表示；（2）在圖中畫出表示大樹的線段MQ．【分析】（1）連接CA、FD并延長