高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程4拋物線2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（3）課件新人教A版選修

人教版選修2-1第二章

圓錐曲線與方程2.4拋物線2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)1．知識與技能能根據(jù)拋物線的方程推導(dǎo)它的幾何性質(zhì)．2．過程與方法能應(yīng)用拋物線的性質(zhì)解決有關(guān)問題歸納，對比四種方程表示的拋物線幾何性質(zhì)的異同．學(xué)習(xí)目標(biāo)本節(jié)重點：拋物線的幾何性質(zhì)．本節(jié)難點：拋物線幾何性質(zhì)的運用．1．拋物線與橢圓、雙曲線的重要區(qū)別是：只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸和一條準(zhǔn)線，沒有中心和漸近線．2．不能把拋物線看作是雙曲線的一支．雖然兩者都是沿開口方向越來越遠離對稱軸，但拋物線卻越來越接近于對稱軸的平行線．3．為了簡化解題過程，有時可根據(jù)拋物線方程的特征利用參數(shù)表示拋物線上動點的坐標(biāo)，有時還可以利用拋物線的對稱性避免分類討論．

4．在拋物線的幾何性質(zhì)中，應(yīng)用最廣泛的是范圍、對稱性、頂點坐標(biāo)，在解題時，應(yīng)先注意開口方向、焦點位置，選準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形式，然后運用條件求解．5．要注意運用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化．6．在求解直線與拋物線的位置關(guān)系的問題時，要注意運用函數(shù)與方程思想，將位置關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題．1．范圍因為p>0，由方程y2＝2px(p>0)可知，這條拋物線上任意一點M的坐標(biāo)(x，y)滿足等式．所以這條拋物線在y軸的

側(cè)；當(dāng)x的值增大時，|y|也

，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸，它開口 ．2．對稱性以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不變，因此這條拋物線是以x軸為對稱軸的軸對稱圖形，拋物線的對稱軸叫做拋物線的 ．3．頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的

發(fā)

．在方程y2＝2px(p>0)中，當(dāng)y＝0時，x＝0，因此這條拋物線的頂點就是 ．右增大越開闊軸頂點坐標(biāo)原點新知導(dǎo)入4．離心率拋物線上的點與焦點和準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的

，用e表示，按照拋物線的定義，e＝

.離心率1[例2]正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線y2＝2px(p>0)上，求這個正三角形的邊長．[解析]如圖，設(shè)正三角形OAB的頂點A、B在拋物線上，且它們坐標(biāo)分別為(x1，y1)和(x2，y2)，則y＝2px1，y＝2px2，題型探究一.拋物線的對稱性[點評]本題利用了拋物線與正三角形有公共對稱軸這一性質(zhì)，但往往會直觀上承認(rèn)而忽略了它的證明．[例3]求過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦長的最小值．二.拋物線焦點弦問題解法二：如圖所示，設(shè)焦點弦AB的中點為E，分別過A，E，B作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，H，C，由拋物線定義知|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.由圖可知|HE|≥|GF|，當(dāng)且僅當(dāng)AB與x軸垂直時，|HE|＝|GF|，即|AB|min＝2|GF|＝2p.[點評]解法一運用了弦長公式；解法二運用了拋物線的幾何意義，由此題我們可以得出一個結(jié)論：過拋物線焦點的所有弦中，通徑最短(當(dāng)過焦點的弦垂直于x軸時，此弦為拋物線的通徑)，但值得注意的是，若弦長小于通徑，則此弦不可能過焦點．拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線，被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．變式訓(xùn)練(2)在拋物線上求一點P，使P到直線x－y＋3＝0的距離最短，并求出距離的最小值．三.拋物線中的最值問題[分析]由題目可獲取以下主要信息：①已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．②求拋物線上的一點到其他元素的距離的最值，解答本題時一是可找到表示最值的目標(biāo)函數(shù)；二是可分析最值對應(yīng)的數(shù)學(xué)元素的意義．[點評]有關(guān)拋物線的最值問題，主要有兩種解決思路：一是利用拋物線的定義，進行到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，以幾何意義解決之，二是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進行消元代換，獲得有關(guān)距離的含變量的代數(shù)關(guān)系式，以目標(biāo)函數(shù)最值的求法解決之．[答案]

C當(dāng)堂測試[答案]

B3．頂點在原點、坐標(biāo)軸為對稱軸的拋物線，過點(－1,2)，則它的方程是 (

)A．y＝2x2或y2＝－4xB．y2＝－4x或x2＝2yC．x2＝－yD．y2＝－4x[答案]

A[解析]∵拋物線的頂點在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，∴拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)形式．當(dāng)拋物線的焦點在x軸上時，∵拋物線過點(－1,2)，∴設(shè)拋物線的方程為y2＝－2px(p>0)．∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.∴拋物線的方程為y2＝－4x.當(dāng)拋物線的焦點在y軸上時，∵拋物線過點(－1,2)，∴設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p>0)．4．過拋物線y2＝8x的焦點，作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長為 (

)A．8 B．16C．32 D．61[答案]

B[解析]由拋物線y2＝8x的焦點為(2