湖南省益陽市桃江縣2024屆中考五模數(shù)學試題含解析

湖南省益陽市桃江縣2024屆中考五模數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．若二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，坐標分別是（x1，0），（x2，0），且.圖象上有一點在軸下方，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，錯誤的結論是（

）．A． B． C． D．3．下列天氣預報中的圖標，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．如圖，在⊙O中，弦AC∥半徑OB，∠BOC=50°，則∠OAB的度數(shù)為（）A．25° B．50° C．60° D．30°5．已知一次函數(shù)y=ax﹣x﹣a+1（a為常數(shù)），則其函數(shù)圖象一定過象限（）A．一、二 B．二、三 C．三、四 D．一、四6．我國古代數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的“割圓術”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術”，將π的值精確到小數(shù)點后第七位，這一結果領先世界一千多年，“割圓術”的第一步是計算半徑為1的圓內接正六邊形的面積S6，則S6的值為（）A． B．2 C． D．7．如圖，向四個形狀不同高同為h的水瓶中注水，注滿為止．如果注水量V（升）與水深h（厘米）的函數(shù)關系圖象如圖所示，那么水瓶的形狀是（）A． B． C． D．8．已知，兩數(shù)在數(shù)軸上對應的點如圖所示，下列結論正確的是（）A． B． C． D．9．如圖所示的四個圖案是四國冬季奧林匹克運動會會徽圖案上的一部分圖形，其中為軸對稱圖形的是()A． B． C． D．10．如果關于x的分式方程有負數(shù)解，且關于y的不等式組無解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（）A．﹣2 B．0 C．1 D．3二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如圖，若∠1+∠2=180°，∠3=110°，則∠4=．12．如圖，小陽發(fā)現(xiàn)電線桿的影子落在土坡的坡面和地面上，量得，米，與地面成角，且此時測得米的影長為米，則電線桿的高度為__________米．13．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________14．如圖，直線a∥b，∠BAC的頂點A在直線a上，且∠BAC＝100°．若∠1＝34°，則∠2＝_____°．15．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，1），以點O為旋轉中心，將點A逆時針旋轉到點B的位置，則的長為_____．16．菱形的兩條對角線長分別是方程的兩實根，則菱形的面積為______．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+b與雙曲線y＝相交于A，B兩點，已知A（2，5）．求：b和k的值；△OAB的面積．18．（8分）程大位是珠算發(fā)明家，他的名著《直指算法統(tǒng)宗》詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用書中有如下問題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾?。馑际牵河?00個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，大、小和尚各有多少人？19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O為BC邊上一點，以OC為半徑的圓O，交AB于D點，且AD=AC，延長DO交圓O于E點，連接AE.求證：DE⊥AB；若DB=4，BC=8，求AE的長.20．（8分）如圖，C是⊙O上一點，點P在直徑AB的延長線上，⊙O的半徑為3，PB=2，PC=1．（1）求證：PC是⊙O的切線．（2）求tan∠CAB的值．21．（8分）如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E．（1）證明：DE為⊙O的切線；（2）連接DC，若BC＝4，求弧DC與弦DC所圍成的圖形的面積．22．（10分）如圖所示：△ABC是等腰三角形，∠ABC=90°．（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l，垂足為H．（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）垂直平分線l交AC于點D，求證：AB=2DH．23．（12分）現(xiàn)在，某商場進行促銷活動，出售一種優(yōu)惠購物卡（注：此卡只作為購物優(yōu)惠憑證不能頂替貨款），花300元買這種卡后，憑卡可在這家商場按標價的8折購物．顧客購買多少元金額的商品時，買卡與不買卡花錢相等？在什么情況下購物合算？小張要買一臺標價為3500元的冰箱，如何購買合算？小張能節(jié)省多少元錢？小張按合算的方案，把這臺冰箱買下，如果某商場還能盈利25%，這臺冰箱的進價是多少元？24．霧霾天氣嚴重影響市民的生活質量。在今年寒假期間，某校九年級一班的綜合實踐小組學生對“霧霾天氣的主要成因”隨機調查了所在城市部分市民，并對調查結果進行了整理，繪制了下圖所示的不完整的統(tǒng)計圖表：組別霧霾天氣的主要成因百分比A工業(yè)污染45%B汽車尾氣排放C爐煙氣排放15%D其他（濫砍濫伐等）請根據(jù)統(tǒng)計圖表回答下列問題：本次被調查的市民共有多少人？并求和的值；請補全條形統(tǒng)計圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中扇形區(qū)域所對應的圓心角的度數(shù)；若該市有100萬人口，請估計市民認為“工業(yè)污染和汽車尾氣排放是霧霾天氣主要成因”的人數(shù).

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、D【解析】

根據(jù)拋物線與x軸有兩個不同的交點，根的判別式△＞0，再分a＞0和a＜0兩種情況對C、D選項討論即可得解．【詳解】A、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸有兩個交點無法確定a的正負情況，故本選項錯誤；B、∵x1＜x2，∴△=b2-4ac＞0，故本選項錯誤；C、若a＞0，則x1＜x0＜x2，若a＜0，則x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本選項錯誤；D、若a＞0，則x0-x1＞0，x0-x2＜0，所以，（x0-x1）（x0-x2）＜0，∴a（x0-x1）（x0-x2）＜0，若a＜0，則（x0-x1）與（x0-x2）同號，∴a（x0-x1）（x0-x2）＜0，綜上所述，a（x0-x1）（x0-x2）＜0正確，故本選項正確．2、D【解析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質進行分析可得出結論.【詳解】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，并可得：，，，故A，B，C正確；D錯誤；故選D．【點睛】考點：1.平行線分線段成比例；2.相似三角形的判定與性質．3、A【解析】

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不合題意；D、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意．故選：A．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．4、A【解析】如圖，∵∠BOC=50°，∴∠BAC=25°，∵AC∥OB，∴∠OBA=∠BAC=25°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=25°.故選A.5、D【解析】分析：根據(jù)一次函數(shù)的圖形與性質，由一次函數(shù)y=kx+b的系數(shù)k和b的符號，判斷所過的象限即可.詳解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a為常數(shù)），∴y=（a-1）x-（a-1）當a-1＞0時，即a＞1，此時函數(shù)的圖像過一三四象限；當a-1＜0時，即a＜1，此時函數(shù)的圖像過一二四象限.故其函數(shù)的圖像一定過一四象限.故選D.點睛：此題主要考查了一次函數(shù)的圖像與性質，利用一次函數(shù)的圖像與性質的關系判斷即可.一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k、b為常數(shù)）的圖像與性質：當k＞0，b＞0時，圖像過一二三象限，y隨x增大而增大；當k＞0，b＜0時，圖像過一三四象限，y隨x增大而增大；當k＜0，b＞0時，圖像過一二四象限，y隨x增大而減?。划攌＜0，b＜0，圖像過二三四象限，y隨x增大而減小.6、C【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形求出單位圓的內接正六邊形的面積．【詳解】如圖所示，單位圓的半徑為1，則其內接正六邊形ABCDEF中，△AOB是邊長為1的正三角形，所以正六邊形ABCDEF的面積為S6=6××1×1×sin60°=．故選C．【點睛】本題考查了已知圓的半徑求其內接正六邊形面積的應用問題，關鍵是根據(jù)正三角形的面積，正n邊形的性質解答．7、D【解析】

根據(jù)一次函數(shù)的性質結合題目中的條件解答即可.【詳解】解：由題可得，水深與注水量之間成正比例關系，∴隨著水的深度變高，需要的注水量也是均勻升高，∴水瓶的形狀是圓柱，故選：D．【點睛】此題重點考查學生對一次函數(shù)的性質的理解，掌握一次函數(shù)的性質是解題的關鍵.8、C【解析】

根據(jù)各點在數(shù)軸上位置即可得出結論．【詳解】由圖可知，b<a<0，A.

∵b<a<0，∴a+b<0，故本選項錯誤；B.

∵b<a<0，∴ab>0，故本選項錯誤；C.

∵b<a<0，∴a>b，故本選項正確；D.

∵b<a<0，∴b?a<0，故本選項錯誤.故選C.9、D【解析】

根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的概念，A、B、C都不是軸對稱圖形，D是軸對稱圖形．

故選D．【點睛】本題主要考查軸對稱圖形，軸對稱圖形的判斷方法：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形10、B【解析】

解關于y的不等式組，結合解集無解，確定a的范圍，再由分式方程有負數(shù)解，且a為整數(shù)，即可確定符合條件的所有整數(shù)a的值，最后求所有符合條件的值之和即可．【詳解】由關于y的不等式組，可整理得∵該不等式組解集無解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵得x＝而關于x的分式方程有負數(shù)解∴a﹣4＜1∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a為整數(shù)∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、1、1、2、3則符合條件的所有整數(shù)a的和為1．故選B．【點睛】本題考查的是解分式方程與解不等式組，求各種特殊解的前提都是先求出整個解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解決本題的關鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、110°．【解析】

解：∵∠1+∠2=180°，∴a∥b，∴∠3=∠4，又∵∠3=110°，∴∠4=110°．故答案為110°．12、（14+2）米【解析】

過D作DE⊥BC的延長線于E，連接AD并延長交BC的延長線于F，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DE，再根據(jù)勾股定理求出CE，然后根據(jù)同時同地物高與影長成正比列式求出EF，再求出BF，再次利用同時同地物高與影長成正比列式求解即可．【詳解】如圖，過D作DE⊥BC的延長線于E，連接AD并延長交BC的延長線于F．∵CD=8，CD與地面成30°角，∴DE=CD=×8=4，根據(jù)勾股定理得：CE===4．∵1m桿的影長為2m，∴=，∴EF=2DE=2×4=8，∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=（28+4）．∵=，∴AB=（28+4）=14+2．故答案為（14+2）．【點睛】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了同時同地物高與影長成正比的性質，作輔助線求出AB的影長若全在水平地面上的長BF是解題的關鍵．13、x=±1【解析】移項得x1=4，∴x=±1．故答案是：x=±1．14、46【解析】試卷分析：根據(jù)平行線的性質和平角的定義即可得到結論．解：∵直線a∥b，∴∠3=∠1=34°，∵∠BAC=100°，∴∠2=180°?34°?100°=46°，故答案為46°.15、．【解析】

由點A(1，1)，可得OA的長，點A在第一象限的角平分線上，可得∠AOB=45°，，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】∵A(1，1)，∴OA=，點A在第一象限的角平分線上，∵以點O為旋轉中心，將點A逆時針旋轉到點B的位置，∴∠AOB=45°，∴的長為=，故答案為：．【點睛】本題考查坐標與圖形變化——旋轉，弧長公式，熟練掌握旋轉的性質以及弧長公式是解題的關鍵.本題中求出OA=以及∠AOB=45°也是解題的關鍵．16、2【解析】

解：x2﹣14x+41=0，則有（x-6）(x-1)=0解得：x=6或x=1．所以菱形的面積為：（6×1）÷2=2．菱形的面積為：2．故答案為2．點睛：本題考查菱形的性質．菱形的對角線互相垂直，以及對角線互相垂直的四邊形的面積的特點和根與系數(shù)的關系．三、解答題（共8題，共72分）17、（1）b=3，k=10；（2）S△AOB=．【解析】（1）由直線y=x+b與雙曲線y=相交于A、B兩點，A（2，5），即可得到結論；（2）過A作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，根據(jù)y=x+3，y=，得到（-5，-2），C（-3，0）．求出OC=3，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論.解：（）把代入．∴∴．把代入，∴，∴．（）∵，．∴時，，∴，．∴．又∵，∴．18、大和尚有25人，小和尚有75人．【解析】

設大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)100個和尚吃100個饅頭且1個大和尚分3個、3個小和尚分1個，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【詳解】解：設大和尚有x人，小和尚有y人，依題意，得：，解得：．答：大和尚有25人，小和尚有75人．【點睛】考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．19、（1）詳見解析；（2）6【解析】

（1）連接CD，證明即可得到結論；（2）設圓O的半徑為r，在Rt△BDO中，運用勾股定理即可求出結論.【詳解】（1）證明：連接CD,∵∴∵∴.（2）設圓O的半徑為，，設.【點睛】本題綜合考查了切線的性質和判定及勾股定理的綜合運用．綜合性比較強，對于學生的能力要求比較高．20、（1）見解析；（2）12【解析】

（1）連接OC、BC，根據(jù)題意可得OC2+PC2=OP2，即可證得OC⊥PC，由此可得出結論．（2）先根據(jù)題意證明出△PBC∽△PCA，再根據(jù)相似三角形的性質得出邊的比值，由此可得出結論．【詳解】（1）如圖，連接OC、BC∵⊙O的半徑為3，PB=2∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5∵PC=1∴OC2+PC2=OP2∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC∴PC是⊙O的切線．（2）∵AB是直徑∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠OCB=90°∵OC⊥PC∴∠BCP+∠OCB=90°∴∠BCP=∠ACO∵OA=OC∴∠A=∠ACO∴∠A=∠BCP在△PBC和△PCA中：∠BCP=∠A，∠P=∠P∴△PBC∽△PCA，∴∴tan∠CAB=【點睛】本題考查了切線與相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練的掌握切線的判定與相似三角形的判定與性質.21、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接OD，由平行線的判定定理可得OD∥AC，利用平行線的性質得∠ODE=∠DEA=90°，可得DE為⊙O的切線；

（2）連接CD，求弧DC與弦DC所圍成的圖形的面積利用扇形DOC面積-三角形DOC的面積計算即可．【詳解】解：（1）證明：連接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∴∠ODB＝∠A，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEA＝90°，∴DE為⊙O的切線；（2）連接CD，∵∠A＝30°，AC＝BC，∴∠BCA＝120°，∵BC為直徑，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AB，∴∠BCD＝60°，∵OD＝OC，∴∠DOC＝60°，∴△DOC是等邊三角形，∵BC＝4，∴OC＝DC＝2，∴S△DOC＝DC×＝，∴弧DC與弦DC所圍成的圖形的面積＝﹣＝﹣．【點睛】本題考查的知識點是等腰三角形的性質、切線的判定與性質以及扇形面積的計算，解題的關鍵是熟練的掌握等腰三角形的性質、切線的判定與性質以及扇形面積的計算.22、(1)見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用線段垂直平分線的作法，分別以A，B為端點，大于為半徑作弧，得出直線l即可；

（2）利用利用平行線的性質以及平行線分線段成比例定理得出點D是AC的中點，進而得出答案．【詳解】解：(1)如圖所示：直線l即為所求；

(2)證明：∵點H是AB的中點，且DH⊥AB，∴DH∥BC，∴點D是AC的中點，∵∴AB=2DH.【點睛】考查作圖—基本作圖，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等，熟練掌握垂直平分線的性質是解題的性質.23、（1）當顧客消費等于1500元時買卡與不買卡花錢相等；當顧客消費大于1500元時買卡合算；（2）小張買卡合算，能節(jié)省400元錢；（3）這臺冰箱的進價是2480元．【解析】

（1）設顧客購買x元金額的商品時，買卡與不買卡花錢相等，