遼寧省丹東市湯池中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

遼寧省丹東市湯池中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知平面區(qū)域在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)M，且點(diǎn)恰好在區(qū)域上的概率為，若，則的取值范圍為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D【知識點(diǎn)】幾何概型．解析：依題意可在平面直角坐標(biāo)系中作出集合D1所表示的平面區(qū)域是三角形與D2所表示的平面區(qū)域是陰影部分的三角形（如圖），由圖可知D1=，由于，則0＜D2≤2．由于直線恒過點(diǎn)（0，2），則的斜率k＞0的取值范圍是：（0，1]．故選D【思路點(diǎn)撥】找出D1、D2對應(yīng)面積的大小，然后將其代入幾何概型的計算公式進(jìn)行求解．在解題過程中，注意三角形面積的應(yīng)用．2.已知集合，則（）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知中，，P為線段AC上任意一點(diǎn)，則的范圍是A．[1，4] B．[0,4] C．[－2,4] D．參考答案：D法1：易求得，取中點(diǎn)，則，當(dāng)時，，當(dāng)在處時，所以,故選D法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸、為軸建系，則，設(shè)所以,故選D.4.已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計算題．【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z，代入，它的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由題意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，則a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故選D【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．5.公差不為零的等差數(shù)列中，，且、、成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差等于(

)(A)．1

(B)．2

(C)．3

(D)．4參考答案：B6.某校女子籃球隊(duì)7名運(yùn)動員身高（單位：厘米）分布的莖葉圖如圖，已知記錄的平均身高為175cm，但有一名運(yùn)動員的身高記錄不清楚，其末位數(shù)記為，那么的值為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B略7.在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，則△ABC是

(

)A．等邊三角形

B．等腰三角形C．直角三角形

D．既非等腰又非直角的三角形參考答案：B略8.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i，則z=（） A．－1＋i B． －1－i C． 1＋i D． 1－i參考答案：C略9.已知變量x、y滿足的約束條件，則的最大值為

（

）

A．-3

B．

C．-5

D．4參考答案：10.已知是三條不同的直線，是三個不同的平面，給出以下命題：①若； ②若；③若； ④若.其中正確命題的序號是A.②④ B.②③ C.③④ D.①③[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若實(shí)數(shù)滿足則的最大值是

．參考答案：1滿足題中約束條件的可行域如圖所示，要求的最大值即求t=x+2y>0的最大值，由t=x+2y，得，即求函數(shù)在y軸上的截距的最大值，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線平行移動到點(diǎn)A（0，1）時，截距最大，此時tmax=2，因此zmax=log22=1.故答案為：1．

12.對于函數(shù)，給出下列命題：①f(x)有最小值；②當(dāng)a=0時，f(x)的值域?yàn)镽；③當(dāng)a>0時，f(x)在區(qū)間上有反函數(shù)；④若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.上述命題中正確的是

。(填上所有正確命題序號).參考答案：②③13.（幾何證明選講）已知是圓的切線，切點(diǎn)為，．是圓的直徑，與圓交于點(diǎn)，，則圓的半徑

．參考答案：14.已知隨機(jī)變量若，那么

參考答案：0.48略15.有五名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不能站在最左端，而乙必須站在丙的左側(cè)（不一定相鄰），則不同的站法種數(shù)為

．(用數(shù)字作答）參考答案：48

16.已知等腰的斜邊，則

.參考答案：1考點(diǎn)：向量的運(yùn)算17.設(shè)是R上的奇函數(shù)，且=,當(dāng)時，,則等于__________

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).(I)當(dāng)a=2時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(II)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析。試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率,再用點(diǎn)斜式寫出切線方程；（Ⅱ）由,通過討論確定的單調(diào)性,再由單調(diào)性確定極值.試題解析：（Ⅰ）由題意，所以，當(dāng)時，，，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（Ⅱ）因，所以，，令，則，所以上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時，；當(dāng)時，.（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時取到極大值，極大值是，當(dāng)時取到極小值，極小值是.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，無極大值也無極小值.（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增所以當(dāng)時取到極大值，極大值；當(dāng)時取到極小值，極小值是.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負(fù),那么f(x)在x0處取極大值,如果左負(fù)右正,那么f(x)在x0處取極小值．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么y＝f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值．19.（本題滿分12分）己知斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)面為菱形，，平面平面，是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．

參考答案：（Ⅰ）證明：方法一取的中點(diǎn),連結(jié)，,由題意知．又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?分因?yàn)槠矫?/p>

所以因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以又因?yàn)椤?所以所以平面………………4分又平面，所以．…6分方法二取的中點(diǎn),連結(jié)，,由題意知，.又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嬉詾樵c(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.……2分則,,，,，.

……4分因?yàn)?，所以…?分（Ⅱ）取的中點(diǎn),連結(jié)，,由題意知，.又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嬉詾樵c(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.……7分則,,，,,.設(shè)平面的法向量為，則即令.所以.

…………9分又平面的法向量

…………………10分設(shè)二面角的平面角為，則.……………12分20.（13分）某市為了了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個班進(jìn)行鉛球測試，成績在7.95米及以上的為合格。把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖)，已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小組的頻數(shù)是7.（1）求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)；（2）若由直方圖來估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，指出它在第幾組內(nèi)，并說明理由；（3）若參加此次測試的學(xué)生中，有9人的成績?yōu)閮?yōu)秀，現(xiàn)在要從成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)選出2人參加“畢業(yè)運(yùn)動會”，已知、的成績均為優(yōu)秀，求兩人至少有1人入選的概率.參考答案：解：（1）第6小組的頻率為1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，……1分∴此次測試總?cè)藬?shù)為(人).

……2分∴第4、5、6組成績均合格，人數(shù)為(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．………4分（2）直方圖中中位數(shù)兩側(cè)的面積相等，即頻率相等，

……6分而前三組的頻率和為0.28，前四組的頻率和為0.56，∴中位數(shù)位于第4組內(nèi).

……8分（3）設(shè)成績優(yōu)秀的9人分別為

則從中任意選出2人所有可能的情況為：，共36種

……10分其中、至少有1人入選的情況有15種，

……12分∴、兩人至少有1人入選的概率為…………13分21.已知