高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)送分題 題型專題（七）統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例用書(shū) 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

題型專題(七)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例抽樣方法主要有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種，這三種抽樣方法各自適用于不同特點(diǎn)的總體，但無(wú)論哪種抽樣方法，每一個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量與總體容量的比值．[題組練透]1．(2016·蘭州模擬)為了解城市居民的環(huán)保意識(shí)，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從一社區(qū)的120名年輕人、80名中年人、60名老年人中，用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中老年人抽取了3名，則n＝()A．13B．12C．10D．9解析：選A由分層抽樣可得eq\f(n,120＋80＋60)×60＝3，解得n＝13，選A.2．高三某班有學(xué)生56人，現(xiàn)將所有同學(xué)隨機(jī)編號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知5號(hào)、33號(hào)、47號(hào)學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)為()A．13B．17C．19D．21解析：選C從56名學(xué)生中抽取4人，用系統(tǒng)抽樣方法，則分段間隔為14，若第一段抽出的號(hào)碼為5，則其他段抽取的號(hào)碼分別為：19，33，47.3．(2016·蘭州模擬)采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問(wèn)卷調(diào)查，將他們隨機(jī)編號(hào)1，2，…，1000.適當(dāng)分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為8.若抽到的50人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1，400]的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[401，750]的人做問(wèn)卷B，其余的人做問(wèn)卷C，則抽到的人中，做問(wèn)卷C的人數(shù)為()A．12B．13C．14D．15解析：選A根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)可知，所有做問(wèn)卷調(diào)查的人的編號(hào)構(gòu)成首項(xiàng)為8，公差d＝eq\f(1000,50)＝20的等差數(shù)列{an}，∴通項(xiàng)公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1000，得eq\f(763,20)≤n≤eq\f(253,5)，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做問(wèn)卷C的共有12人，故選A.[技法融會(huì)]解決抽樣問(wèn)題的策略(1)隨機(jī)抽樣的方法有三種，其中簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)量不多的情況，當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)量較多且差別不大時(shí)要使用系統(tǒng)抽樣，當(dāng)總體中的個(gè)體具有明顯的層次時(shí)使用分層抽樣．(2)在系數(shù)抽樣的過(guò)程中，要注意分段間隔，需要抽取n個(gè)個(gè)體，樣本就需要分成n個(gè)組，則分段間隔即為eq\f(N,n)(N為樣本容量)，首先確定在第一組中抽取的個(gè)體的號(hào)碼數(shù)，再?gòu)暮竺娴拿拷M中按規(guī)則抽取每個(gè)個(gè)體.1．頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)表示組距，縱坐標(biāo)表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).2．頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時(shí)，易出錯(cuò)，應(yīng)注意區(qū)分這三者的含義：(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．[題組練透]1．(2016·山東高考)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()A．56B．60C．120D．140解析：選D由直方圖可知每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，則每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為0.7×200＝140.故選D.2．(2016·湖南東部六校聯(lián)考)如圖是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在10場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這10場(chǎng)比賽中得分的中位數(shù)為_(kāi)_______．解析：把10場(chǎng)比賽的所得分?jǐn)?shù)按順序排列：5，8，9，12，14，16，16，19，21，24，中間兩個(gè)為14與16，故中位數(shù)為eq\f(14＋16,2)＝15.答案：153．(2016·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．解析：5個(gè)數(shù)的平均數(shù)x＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它們的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.14．(2015·湖北高考)某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2014年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬(wàn)元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為_(kāi)_______．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a(2)區(qū)間[0.3，0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000.答案：(1)3(2)6000[技法融會(huì)]1．方差的計(jì)算與含義(1)計(jì)算：計(jì)算方差首先要計(jì)算平均數(shù)，然后再按照方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．(2)含義：方差是描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)，方差大說(shuō)明波動(dòng)大．2．(易錯(cuò)提醒)混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò)．1．回歸分析方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為線性回歸方程，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1xiyi－\a\vs4\al(nx)\a\vs4\al(y),∑n,i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－nx2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))x；(eq\a\vs4\al(x)，eq\a\vs4\al(y))稱為樣本點(diǎn)的中心．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)K2＝eq\f(（a＋b＋c＋d）（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，若k0>3.841，則有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)事件有關(guān)；若k0>6.635，則有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)事件有關(guān)．[題組練透]1．(2016·河南八市聯(lián)考)為了研究某大型超市開(kāi)業(yè)天數(shù)與銷售額的情況，隨機(jī)抽取了5天，其開(kāi)業(yè)天數(shù)與每天的銷售額的情況如下表所示：開(kāi)業(yè)天數(shù)1020304050銷售額/天(萬(wàn)元)62758189根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，由于表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為()A．67B．68C．68.3D．71解析：選B設(shè)表中模糊看不清的數(shù)據(jù)為m.因?yàn)閤＝eq\f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，又樣本點(diǎn)的中心(x，y)在回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9上，所以y＝eq\f(m＋307,5)＝0.67×30＋54.9，得m＝68，故選B.2．(2016·重慶模擬)為了判定兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)算得K2的觀測(cè)值為5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，則下列說(shuō)法正確的是()A．有95%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”B．有95%的把握認(rèn)為“X和Y沒(méi)有關(guān)系”C．有99%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”D．有99%的把握認(rèn)為“X和Y沒(méi)有關(guān)系”解析：選A依題意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05.因此有95%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”，選A.[技法融會(huì)]1．求回歸直線方程的關(guān)鍵(1)正確理解eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的計(jì)算公式并能準(zhǔn)確地進(jìn)行運(yùn)算．(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵(1)根據(jù)2×2列聯(lián)表準(zhǔn)確計(jì)算K2，若2×2列聯(lián)表沒(méi)有列出來(lái)，要先列出此表．(2)K2的觀測(cè)值k0越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大.一、選擇題1．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為()類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)4300A.90B．100C．180D．300解析：選C設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x，由題意及分層抽樣的特點(diǎn)得eq\f(x,900)＝eq\f(320,1600)，故x＝180.2．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為()A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8解析：選C由于甲組的中位數(shù)是15，可得x＝5，由于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，得y＝8.3．(2016·山西四校聯(lián)考)某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A．45B．50C．55D．60解析：選B∵[20，40)，[40，60)的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴該班的學(xué)生人數(shù)是eq\f(15,0.3)＝50.4．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬(wàn)元)8.28.610.011.311.9支出y(萬(wàn)元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()A．11.4萬(wàn)元B．11.8萬(wàn)元C．12.0萬(wàn)元D．12.2萬(wàn)元解析：選B由題意知，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，∴當(dāng)x＝15時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬(wàn)元)．5．(2016·貴州模擬)一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計(jì)此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A．13B．12C．11.52D.eq\f(100,9)解析：選D由頻率分布直方圖可得第一組的頻率是0.08，第二組的頻率是0.32，第三組的頻率是0.36，則中位數(shù)在第三組內(nèi)，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10＋eq\f(0.1,0.36)×4＝eq\f(100,9)，選項(xiàng)D正確．6．某月月底，某商場(chǎng)想通過(guò)抽取發(fā)票存根的方法估計(jì)該月的銷售總額．先將該月的全部銷售發(fā)票的存根進(jìn)行了編號(hào)：1，2，3，…，然后擬采用系統(tǒng)抽樣的方法獲取一個(gè)樣本．若從編號(hào)為1，2，3，…，10的前10張發(fā)票的存根中隨機(jī)抽取1張，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法依編號(hào)順序逐次產(chǎn)生第2張、第3張、第4張、……，則抽樣中產(chǎn)生的第2張已編號(hào)的發(fā)票存根，其編號(hào)不可能是()A．13B．17C．19D．23解析：選D因?yàn)榈谝唤M的編號(hào)為1，2，3，…，10，所以根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知第二組的編號(hào)為11，12，13，…，20，故第2張已編號(hào)的發(fā)票存根的編號(hào)不可能為23.7．(2016·山西質(zhì)檢)某同學(xué)將全班某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)整理成頻率分布直方圖后，將每個(gè)小矩形上方線段的中點(diǎn)連接起來(lái)得到頻率分布折線圖(如圖所示)，據(jù)此估計(jì)此次考試成績(jī)的眾數(shù)是()A．100B．110C．115D．120解析：選C分析頻率分布折線圖可知眾數(shù)為115.8．將參加夏令營(yíng)的600名學(xué)生編號(hào)為：001，002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，且隨機(jī)抽得的號(hào)碼為003.這600名學(xué)生分住在三個(gè)營(yíng)區(qū)，從001到300在A營(yíng)區(qū)，從301到495在B營(yíng)區(qū)，從496到600在C營(yíng)區(qū)，三個(gè)營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()A．26，16，8B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，9解析：選B依題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知，將這600名學(xué)生按編號(hào)依次分成50組，每一組各有12名學(xué)生，第k(k∈N*)組抽中的號(hào)碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此A營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)是25.令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此B營(yíng)區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17.結(jié)合各選項(xiàng)知，選B.9．(2016·南昌一模)為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了4次試驗(yàn)，得到4組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知x1＋x2＋x3＋x4＝160，由最小二乘法求得回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋62，則y1＋y2＋y3＋y4的值為()A．75B．155.4C．368D．466.2解析：選C由x1＋x2＋x3＋x4＝160，得x＝40，代入回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋62，得y＝92，則y1＋y2＋y3＋y4＝368.10．在某次測(cè)量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42，43，46，52，42，50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個(gè)都減5后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是()A．平均數(shù)B．標(biāo)準(zhǔn)差C．眾數(shù)D．中位數(shù)解析：選BA樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x＝eq\f(275,6)，B樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x′＝x－5.A樣本數(shù)據(jù)的方差s2＝eq\f(1,6)[(42－x)2＋(43－x)2＋…＋(50－x)2]，B樣本數(shù)據(jù)的方差s′2＝eq\f(1,6)[(42－x)2＋(43－x)2＋…＋(50－x)2]，∴A，B兩樣本的標(biāo)準(zhǔn)差相同．11．某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：認(rèn)為作業(yè)量大認(rèn)為作業(yè)量不大總計(jì)男生18927女生81523總計(jì)262450若推斷“學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)”，則這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)()A．0.01B．0.025C．0.10D．0.05解析：選BK2＝eq\f(50×（18×15－8×9）2,26×24×27×23)≈5.059>5.024，因?yàn)镻(K2>5.024)＝0.025，所以這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025.12．(2016·開(kāi)封模擬)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B．在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，變量間的相關(guān)性越強(qiáng)C．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在回歸分析中，R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好解析：選B根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念知A正確；當(dāng)r>0時(shí)，r越大，相關(guān)性越強(qiáng)，當(dāng)r<0時(shí)，r越大，相關(guān)性越弱，故B不正確；對(duì)于一組數(shù)據(jù)的擬合程度的好壞的評(píng)價(jià)，一是殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域越窄，擬合效果越好．二是R2越大，擬合效果越好，所以R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好，C，D正確，故選B.二、填空題13．(2016·海口調(diào)研)如圖是某班8位學(xué)生詩(shī)詞比賽得分的莖葉圖，那么這8位學(xué)生得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為_(kāi)_______．解析：依題意，結(jié)合莖葉圖，將題中的數(shù)由小到大依次排列得到：86，86，90，91，93，93，93，96，因此這8位學(xué)生得分的眾數(shù)是93，中位數(shù)是eq\f(91＋93,2)＝92.答案：93，9214．(2016·廣州模擬)一個(gè)總體中有60個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)0，1，2，…，59，依編號(hào)順序平均分成6個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，…，6.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為6的樣本，若在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為3，則在第5組中抽取的號(hào)碼是________．解析：∵間隔為eq\f(60,6)＝10，∴在第5組中抽取的號(hào)碼是3＋(5－1)×10＝43.答案：4315．(2016·湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)