高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)送分題 題型專題（七）統(tǒng)計與統(tǒng)計案例用書 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

題型專題(七)統(tǒng)計與統(tǒng)計案例抽樣方法主要有簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種，這三種抽樣方法各自適用于不同特點的總體，但無論哪種抽樣方法，每一個個體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量與總體容量的比值．[題組練透]1．(2016·蘭州模擬)為了解城市居民的環(huán)保意識，某調(diào)查機構(gòu)從一社區(qū)的120名年輕人、80名中年人、60名老年人中，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調(diào)查，其中老年人抽取了3名，則n＝()A．13B．12C．10D．9解析：選A由分層抽樣可得eq\f(n,120＋80＋60)×60＝3，解得n＝13，選A.2．高三某班有學(xué)生56人，現(xiàn)將所有同學(xué)隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知5號、33號、47號學(xué)生在樣本中，則樣本中還有一個學(xué)生的編號為()A．13B．17C．19D．21解析：選C從56名學(xué)生中抽取4人，用系統(tǒng)抽樣方法，則分段間隔為14，若第一段抽出的號碼為5，則其他段抽取的號碼分別為：19，33，47.3．(2016·蘭州模擬)采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，將他們隨機編號1，2，…，1000.適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8.若抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間[1，400]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[401，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為()A．12B．13C．14D．15解析：選A根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點可知，所有做問卷調(diào)查的人的編號構(gòu)成首項為8，公差d＝eq\f(1000,50)＝20的等差數(shù)列{an}，∴通項公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1000，得eq\f(763,20)≤n≤eq\f(253,5)，又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做問卷C的共有12人，故選A.[技法融會]解決抽樣問題的策略(1)隨機抽樣的方法有三種，其中簡單隨機抽樣適用于總體中的個體數(shù)量不多的情況，當總體中的個體數(shù)量較多且差別不大時要使用系統(tǒng)抽樣，當總體中的個體具有明顯的層次時使用分層抽樣．(2)在系數(shù)抽樣的過程中，要注意分段間隔，需要抽取n個個體，樣本就需要分成n個組，則分段間隔即為eq\f(N,n)(N為樣本容量)，首先確定在第一組中抽取的個體的號碼數(shù)，再從后面的每組中按規(guī)則抽取每個個體.1．頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).2．頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，易出錯，應(yīng)注意區(qū)分這三者的含義：(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．[題組練透]1．(2016·山東高考)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A．56B．60C．120D．140解析：選D由直方圖可知每周自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，則每周自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為0.7×200＝140.故選D.2．(2016·湖南東部六校聯(lián)考)如圖是某學(xué)校一名籃球運動員在10場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則該運動員在這10場比賽中得分的中位數(shù)為________．解析：把10場比賽的所得分數(shù)按順序排列：5，8，9，12，14，16，16，19，21，24，中間兩個為14與16，故中位數(shù)為eq\f(14＋16,2)＝15.答案：153．(2016·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．解析：5個數(shù)的平均數(shù)x＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它們的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.14．(2015·湖北高考)某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a(2)區(qū)間[0.3，0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000.答案：(1)3(2)6000[技法融會]1．方差的計算與含義(1)計算：計算方差首先要計算平均數(shù)，然后再按照方差的計算公式進行計算．(2)含義：方差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)，方差大說明波動大．2．(易錯提醒)混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯．1．回歸分析方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為線性回歸方程，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1xiyi－\a\vs4\al(nx)\a\vs4\al(y),∑n,i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－nx2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(b,\s\up6(^))x；(eq\a\vs4\al(x)，eq\a\vs4\al(y))稱為樣本點的中心．2．獨立性檢驗K2＝eq\f(（a＋b＋c＋d）（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，若k0>3.841，則有95%的把握認為兩個事件有關(guān)；若k0>6.635，則有99%的把握認為兩個事件有關(guān)．[題組練透]1．(2016·河南八市聯(lián)考)為了研究某大型超市開業(yè)天數(shù)與銷售額的情況，隨機抽取了5天，其開業(yè)天數(shù)與每天的銷售額的情況如下表所示：開業(yè)天數(shù)1020304050銷售額/天(萬元)62758189根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9，由于表中有一個數(shù)據(jù)模糊看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為()A．67B．68C．68.3D．71解析：選B設(shè)表中模糊看不清的數(shù)據(jù)為m.因為x＝eq\f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，又樣本點的中心(x，y)在回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9上，所以y＝eq\f(m＋307,5)＝0.67×30＋54.9，得m＝68，故選B.2．(2016·重慶模擬)為了判定兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系，應(yīng)用獨立性檢驗算得K2的觀測值為5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，則下列說法正確的是()A．有95%的把握認為“X和Y有關(guān)系”B．有95%的把握認為“X和Y沒有關(guān)系”C．有99%的把握認為“X和Y有關(guān)系”D．有99%的把握認為“X和Y沒有關(guān)系”解析：選A依題意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05.因此有95%的把握認為“X和Y有關(guān)系”，選A.[技法融會]1．求回歸直線方程的關(guān)鍵(1)正確理解eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的計算公式并能準確地進行運算．(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預(yù)測變量的值．2．獨立性檢驗的關(guān)鍵(1)根據(jù)2×2列聯(lián)表準確計算K2，若2×2列聯(lián)表沒有列出來，要先列出此表．(2)K2的觀測值k0越大，對應(yīng)假設(shè)事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大.一、選擇題1．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數(shù)為()類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A.90B．100C．180D．300解析：選C設(shè)該樣本中的老年教師人數(shù)為x，由題意及分層抽樣的特點得eq\f(x,900)＝eq\f(320,1600)，故x＝180.2．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為()A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8解析：選C由于甲組的中位數(shù)是15，可得x＝5，由于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，得y＝8.3．(2016·山西四校聯(lián)考)某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A．45B．50C．55D．60解析：選B∵[20，40)，[40，60)的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴該班的學(xué)生人數(shù)是eq\f(15,0.3)＝50.4．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝0.76，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．11.4萬元B．11.8萬元C．12.0萬元D．12.2萬元解析：選B由題意知，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，∴當x＝15時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)．5．(2016·貴州模擬)一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，試估計此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A．13B．12C．11.52D.eq\f(100,9)解析：選D由頻率分布直方圖可得第一組的頻率是0.08，第二組的頻率是0.32，第三組的頻率是0.36，則中位數(shù)在第三組內(nèi)，估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為10＋eq\f(0.1,0.36)×4＝eq\f(100,9)，選項D正確．6．某月月底，某商場想通過抽取發(fā)票存根的方法估計該月的銷售總額．先將該月的全部銷售發(fā)票的存根進行了編號：1，2，3，…，然后擬采用系統(tǒng)抽樣的方法獲取一個樣本．若從編號為1，2，3，…，10的前10張發(fā)票的存根中隨機抽取1張，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法依編號順序逐次產(chǎn)生第2張、第3張、第4張、……，則抽樣中產(chǎn)生的第2張已編號的發(fā)票存根，其編號不可能是()A．13B．17C．19D．23解析：選D因為第一組的編號為1，2，3，…，10，所以根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知第二組的編號為11，12，13，…，20，故第2張已編號的發(fā)票存根的編號不可能為23.7．(2016·山西質(zhì)檢)某同學(xué)將全班某次數(shù)學(xué)考試成績整理成頻率分布直方圖后，將每個小矩形上方線段的中點連接起來得到頻率分布折線圖(如圖所示)，據(jù)此估計此次考試成績的眾數(shù)是()A．100B．110C．115D．120解析：選C分析頻率分布折線圖可知眾數(shù)為115.8．將參加夏令營的600名學(xué)生編號為：001，002，…，600.采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學(xué)生分住在三個營區(qū)，從001到300在A營區(qū)，從301到495在B營區(qū)，從496到600在C營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()A．26，16，8B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，9解析：選B依題意及系統(tǒng)抽樣的意義可知，將這600名學(xué)生按編號依次分成50組，每一組各有12名學(xué)生，第k(k∈N*)組抽中的號碼是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤eq\f(103,4)，因此A營區(qū)被抽中的人數(shù)是25.令300<3＋12(k－1)≤495，得eq\f(103,4)<k≤42，因此B營區(qū)被抽中的人數(shù)是42－25＝17.結(jié)合各選項知，選B.9．(2016·南昌一模)為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了4次試驗，得到4組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知x1＋x2＋x3＋x4＝160，由最小二乘法求得回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋62，則y1＋y2＋y3＋y4的值為()A．75B．155.4C．368D．466.2解析：選C由x1＋x2＋x3＋x4＝160，得x＝40，代入回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋62，得y＝92，則y1＋y2＋y3＋y4＝368.10．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：42，43，46，52，42，50，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都減5后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征對應(yīng)相同的是()A．平均數(shù)B．標準差C．眾數(shù)D．中位數(shù)解析：選BA樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x＝eq\f(275,6)，B樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x′＝x－5.A樣本數(shù)據(jù)的方差s2＝eq\f(1,6)[(42－x)2＋(43－x)2＋…＋(50－x)2]，B樣本數(shù)據(jù)的方差s′2＝eq\f(1,6)[(42－x)2＋(43－x)2＋…＋(50－x)2]，∴A，B兩樣本的標準差相同．11．某班主任對全班50名學(xué)生進行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：認為作業(yè)量大認為作業(yè)量不大總計男生18927女生81523總計262450若推斷“學(xué)生的性別與認為作業(yè)量大有關(guān)”，則這種推斷犯錯誤的概率不超過()A．0.01B．0.025C．0.10D．0.05解析：選BK2＝eq\f(50×（18×15－8×9）2,26×24×27×23)≈5.059>5.024，因為P(K2>5.024)＝0.025，所以這種推斷犯錯誤的概率不超過0.025.12．(2016·開封模擬)下列說法錯誤的是()A．自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B．在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，變量間的相關(guān)性越強C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在回歸分析中，R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好解析：選B根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念知A正確；當r>0時，r越大，相關(guān)性越強，當r<0時，r越大，相關(guān)性越弱，故B不正確；對于一組數(shù)據(jù)的擬合程度的好壞的評價，一是殘差點分布的帶狀區(qū)域越窄，擬合效果越好．二是R2越大，擬合效果越好，所以R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好，C，D正確，故選B.二、填空題13．(2016·?？谡{(diào)研)如圖是某班8位學(xué)生詩詞比賽得分的莖葉圖，那么這8位學(xué)生得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為________．解析：依題意，結(jié)合莖葉圖，將題中的數(shù)由小到大依次排列得到：86，86，90，91，93，93，93，96，因此這8位學(xué)生得分的眾數(shù)是93，中位數(shù)是eq\f(91＋93,2)＝92.答案：93，9214．(2016·廣州模擬)一個總體中有60個個體，隨機編號0，1，2，…，59，依編號順序平均分成6個小組，組號依次為1，2，3，…，6.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為6的樣本，若在第1組隨機抽取的號碼為3，則在第5組中抽取的號碼是________．解析：∵間隔為eq\f(60,6)＝10，∴在第5組中抽取的號碼是3＋(5－1)×10＝43.答案：4315．(2016·湖北優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)