2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編 52立體幾何與空間向量第四講（學(xué)生版+解析版）

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題52立體幾何與空間向量第四講

1.[2019年貴州預(yù)賽】已知正三棱錐側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為J,則此三棱錐的高h(yuǎn)與其內(nèi)切球半徑

6

r之比”()

A.5B.6C.7D.8

2.【2018年福建預(yù)賽】如圖，在正方體48C。一4山?。|中，M、E分別為棱BC、Mi的中點(diǎn)，N為正方形

BiBCG的中心./為平面與平面OBE的交線，則直線/與正方體底面ABC。所成角的大小為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.【2018年福建預(yù)賽】如圖，在三棱錐中，SA=SB=AB^BC=CA=6,且側(cè)面ASB，底面A8C,則三棱錐S一

ABC外接球的表面積為()

4.【2018年貴州預(yù)賽】在空間直角坐標(biāo)系中，已知0(0,0,0),4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則

到面OAB、面O8C、面OAC、面ABC的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

A.1B.4C.5D.無窮多

5.【2018年貴州預(yù)賽】若圓柱被一平面所截，其截面橢圓的離心率為苧，則此截面與圓柱底面所成的銳二

面角是（）

1122

A.arcsin-B.arccos-C.arcsin-D.arccos-

3333

6.【2018年湖南預(yù)賽】下列四個(gè)說法正確的是（）

A.兩兩相交的三條直線必在同一平面內(nèi)

B.若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)都不共線

C.在空間中，四邊相等的四邊形是菱形

D.在空間中，有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

7.【2018年湖南預(yù)賽】已知〃、匕表示兩條不同的直線，a,0表示兩個(gè)不同的平面.下列選項(xiàng)中說法正確的是

（）.

①若a||b,bua,則a||a②若ala,bla,則b||a

③若aJ.a,b_L/?,a||b則a||0④若a||0,aua,bu0,貝ija||￡）

A.①②B.③④C.②③D.③

8.【2018年湖南預(yù)賽】如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB//CD,正方體的六

個(gè)面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為根〃，那么加+〃=

A.8B.9C.10D.11

9.【2018年湖南預(yù)賽】如圖，L、M、N分別為正方體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系

是（）

A.垂直B.相交不垂直

C.平行D.重合

10.【2018年湖南預(yù)賽】如圖所示，點(diǎn)S在平面ABC外，SB±AC,SB=AC=2,E、F分別是SC和AB的

C-TD瑪

11.【2018年湖南預(yù)賽】將半徑為3,圓心角為g的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為

A.國B.亙

33

47r

C.-D.2兀

3

12.【2018年湖南預(yù)賽】若三棱錐P-ABC中，PAJ_平面ABC,AB1BC,PA=AB=2,慶02四,三棱錐P-ABC

的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為

A.127rB.16TTC.207rD.247r

13.12018年陜西預(yù)賽】已知四面體48CD內(nèi)接于球，且力。是球的直徑.若448c和48co都是邊長為1的等

邊三角形，則四面體ABCO的體積是（）

A.立B?立C.更D.更

612612

14.[2018年陜西預(yù)賽】已知四面體ABCD內(nèi)接于球，且4D是球的直徑.若ZL4BC和/BCD都是邊長為1的等

邊三角形，則四面體力BCD的體積是（）

A.匹B.匹C.亞D.3

612612

15.[2018年陜西預(yù)賽】已知四面體4BC0內(nèi)接于球，且4。是球的直徑.若44BC和/BCO都是邊長為1的等

邊三角形，則四面體力BCD的體積是（）

A.立B?立C.更D.西

612612

16.【2018年貴州預(yù)賽】在空間直角坐標(biāo)系中，已知0（0,0,0）,A（l,0,0）,B（0,1,0）,C（0,0,

1）,則到面OAB、面OBC、面OAC、面ABC的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.4C.5D.無窮多

17.【2018年貴州預(yù)賽】若圓柱被一平面所截，其截面橢圓的離心率為言，則此截面與圓柱底面所成的銳

二面角是（)

AA.arcs.in-1Bn.arccos-iC".arcs.in-2Dc.arccos-2

3333

18.【2018年吉林預(yù)賽】三棱錐P-ABC的底面AABC是邊長為3的正三角形，已知PA=3,PB=4,

PC-5,則三棱錐P-ABC的體積為()

A.3B.V10C.VT1D.2V3

19.【2018年天津預(yù)賽】下面左邊的平行四邊形ABCD是由6個(gè)正三角形構(gòu)成，將它沿虛線折起來，可以

得到如右圖所示的粽子形狀的六面體，在這個(gè)六面體中，AB與CD夾角的余弦值是().

5

D.

6

20.[2017年天津預(yù)賽】正四棱錐的底面邊長為2017,側(cè)棱長為2000,則側(cè)棱與底面所成的角與下面哪個(gè)角

的差的絕對(duì)值最小().

(A)30°(B)40°(C)50°(D)60°

21.[2017年遼寧預(yù)賽】已知長方體的表面積為爭所有棱長的總和為24,則長方體的體對(duì)角線

與棱所成角的最大值為()

/A\1V2V3/門、瓜

(A)arccos-(B)arccos—(C)arccos—(D)arccos—

22.【2017年陜西預(yù)賽】如圖，在棱長為1的正方體4BC0-AiBiGDi中,P、Q、R分別是棱48、AD.A①的

中點(diǎn).以△PQR為底面作一個(gè)直三棱柱,使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體4BCD-的表面上.

則這個(gè)直三棱柱的體積為()

(A)|⑻卷9帚①語

23.【2017年黑龍江預(yù)賽】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的(

)

(A)外接球的半徑為苧(B)體積為百

(C)表面積為京+V3+1(D)外接球的表面積為等

24.【2017年貴州預(yù)賽】已知正四面體ABCZ)的棱長為a(a>3)如圖所示，點(diǎn)E、F、G分別在棱

AB.AC,4D匕則滿足后尸=96=3,尸6=2的4￡7話的個(gè)數(shù)共有()

(A)l(B)2(C)3(D)4

25.【2017年湖南預(yù)賽】已知點(diǎn)P為正三棱柱ABC—4$心上底面△為BiG的中心，作平面BCD1AP,與棱

交于。，若441=2AB=2,則三棱雉D-ABC的體積為()

(A瑤也焉(常①)噂

26.【2016年陜西預(yù)賽】如圖，在棱長為1的正四面體A8CD中，G為△BCD的重心，M為線段AG的中

點(diǎn).則三棱錐M-BCD的外接球的表面積為().

A

A/B.|C.亨D-V

27.【2016年浙江預(yù)賽】已知正三棱錐S-ABC的底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱長為2。若過直線4B的

截面將正三棱錐的體積分成兩個(gè)相等的部分，則截面與底面所成二面角的平面角的余弦值為（）。

A?萼B.嗜C.fD.^

28.【2016年遼寧預(yù)賽】已知正方體A3CO—A4GA的棱長為1，在對(duì)角線4。上取點(diǎn)M,在CQ上取

點(diǎn)N,使得線段MN平行于對(duì)角面ACGA，則M/V的最小值是（）

A.坐B.1C.V2D.乎

29.【2016年湖南預(yù)賽】一個(gè)色子由1~6六個(gè)數(shù)字組成，根據(jù)圖所示三種狀態(tài)顯示的數(shù)字，可推得“？”的數(shù)

字為（）.

A.6B.3C.ID.2

30.【2015年浙江預(yù)賽】如圖1,在正方體4BCD-4B1GD1中，已知M為B位的中點(diǎn).則二面角M—CD1一4

的余弦值為（）.

圖1

31.（2015年天津預(yù)賽】在正方體的十二條面對(duì)角線和四條體對(duì)角線隨機(jī)地選取兩條對(duì)角線.則這兩條對(duì)角

線所在的直線為異面直線的概率等于（）

A.-B.-C.-D.以上結(jié)果均不對(duì)

302015

32.[2015年四川預(yù)賽】已知正三菱錐P-ABC的底面ABC為正三角形，該正三菱錐的外接球的球心O滿

足成+OB+OC=0.則二面角A-PB-C的余弦值為（）

A.-B.—C.-D.—

6853

33.（2015年遼寧預(yù)賽】在長方體力BCD-aB1C1D1中，AB=AAX=1,AD=2.則異面直線與當(dāng)劣間的

距離為（）

A.1B,-12C.-D.-3

34.【2015年湖南預(yù)賽】半徑為R的球的內(nèi)部裝有四個(gè)半徑均為r的小球.則r可能的最大值為（）

A.gRB.客RC.D.與R

2+V33+V61+^32+V5

35.[2015年黑龍江預(yù)賽】某幾何體的三視圖如題（6）所示，其側(cè)視圖是一個(gè)邊長為1的等邊三角形，俯

視圖是兩個(gè)正三角形拼成的菱形，則這個(gè)幾何體的體積為（）

IXZI△

正祝圖費(fèi)函

第視圖

1

(A)1(D)-

8

36.【2015年黑龍江預(yù)賽】如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD為正方形，邊長為a,=a,PA=PC=

四a.若在此四棱錐中放入一個(gè)球，則球的的最大半徑為（）。

P

A.(V2-l)aB.V2a

C.(1-孝)aD.a

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題52立體幾何與空間向量第四講

1.[2019年貴州預(yù)賽】已知正三棱錐側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為，，則此三棱錐的高h(yuǎn)與其內(nèi)切球半

O

徑r之比]—（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】過正三棱錐V-ABC的側(cè)棱VC及高VG作截面交AB于M,則內(nèi)切球O與側(cè)面相切的切點(diǎn)N在VM

上（如圖）.

2.【2018年福建預(yù)賽】如圖，在正方體ABCD-AiBiGOi中，M、E分別為棱BC、8S的中點(diǎn)，N為正方形

B1BCC的中心./為平面4MN與平面。出E的交線，則直線/與正方體底面A8CO所成角的大小為（）

B

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【解析】

如圖，由正方體的性質(zhì)與條件，易得面48CD,面48CD

面ABCD,面。1￡_1_面A8CD

/./±?ABCD,/與面48CZ）所成角的大小為90。.選D.

3.【2018年福建預(yù)賽】如圖，在三棱錐中，SA=SB=AB=BC^CA^6,且側(cè)面ASB_L底面48C,則三棱錐S-

ABC外接球的表面積為（）

c

A.607rB.56兀C.527cD.48兀

【答案】A

【解析】

如圖，設(shè)。為A3中點(diǎn)，。|為△A8C的外心，。2為△SAB的外心，。為三棱錐S—A8C外接球的球心，球

。的半徑為R

R

由SA=SB=A8=BC=CA=6,知△S48、ZiABC是邊長為6的正三角形.

：.SDA.AB,CD1.AB,CD=SD=3?0|在C￡>上，。2在5。上，且。2￡>=0。=b，COi=273.

:側(cè)面ASB_L底面A8C,00」面ABC,

.,.SD±WABC,O1DLO\D,SD//00\.

:.四邊形。2。0。為正方形，。01=。2。=75.

/.R=0C=/。1。2+0修2=V3+12=V15.

，三棱錐S—ABC外接球的表面積為4兀/?2=607t.選A.

4.【2018年貴州預(yù)賽】在空間直角坐標(biāo)系中，已知0(0,0,0),4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則

到面OAB、面OBC、面O4C、面A8C的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

A.1B.4C.5D.無窮多

【答案】C

【解析】

四面體0ABe的內(nèi)切球球心以及四個(gè)“旁切球”的球心到面OAB.面OBC、面OAC.面ABC的距離相等，

故滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是5.故答案為：C.

5.【2018年貴州預(yù)賽】若圓柱被一平面所截，其截面橢圓的離心率為華，則此截面與圓柱底面所成的銳二

面角是()

1122

A.arcsin-B.arccos-C.arcsin-D.arccos-

3333

【答案】B

【解析】

由題意知，截面橢圓的短軸長26與圓柱底面直徑相同，則截面與圓柱底面所成的銳二面角。滿足：cos0=

*=其中2。為橢圓的長軸長.

即cos8=],所以0=arccos(故答案為：B.

6.【2018年湖南預(yù)賽】下列四個(gè)說法正確的是()

A.兩兩相交的三條直線必在同一平面內(nèi)

B.若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)都不共線

C.在空間中，四邊相等的四邊形是菱形

D.在空間中，有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

【答案】B

【解析】

對(duì)于選項(xiàng)A,如果三條直線交于一點(diǎn)，則此時(shí)三條直線不一定在同一平面內(nèi)，故A不對(duì)；

對(duì)選項(xiàng)B,若四點(diǎn)不共面，則一定不存在三點(diǎn)共線，若有三點(diǎn)共線，則第四點(diǎn)與此線確定一個(gè)平面，這樣就

會(huì)出現(xiàn)四點(diǎn)共面，與已知條件不符合，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,在空間中四邊相等的四邊形可能是空間四邊形，故C不對(duì)；

對(duì)于選項(xiàng)D,空間四邊形中也存在三個(gè)角是直角的情況，故D不對(duì).

故選：B.

7.【2018年湖南預(yù)賽】已知八人表示兩條不同的直線，a,0表示兩個(gè)不同的平面.下列選項(xiàng)中說法正確的是

().

①若a||b,bua,則a||a②若a_La,b_La,則bIIa

③若a_La,b_L￡,a||b則a||口④若a||/?,aua,bu0,則a||b

A.①②B.③④C.②③D.③

【答案】D

【解析】

①若a||ua,則a||a不一定成立，可能a在a內(nèi)，故①錯(cuò)；

②若a_La,b_La,則b||a或,bua,故②錯(cuò)；

③若a1a,b1/3,a||b則aII0故③對(duì)；

④若a||p,aua,bu夕，則a||b或aHb異面故④錯(cuò)；

故選D.

8.【2018年湖南預(yù)賽】如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB//CD,正方體的六

個(gè)面所在的平面與直線CE,所相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為機(jī)n,那么m+〃=

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

【解析】

試題分析：由題意直線CE在平面a上與底面正方形四條邊都相交故機(jī)=4,直線所與正方體的左右兩個(gè)

側(cè)面平行，與正方體的前后兩個(gè)側(cè)面、上下兩個(gè)底面相交，故篦=4,所以加+〃=8.

考點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系.

9.【2018年湖南預(yù)賽】如圖，L、M、N分別為正方體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系

是（）

A.垂直B.相交不垂直

C.平行D.重合

【答案】C

【解析】

分別取另三條棱的中點(diǎn)A,B,C,將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL,因PQIIAL.ALc平面LMN,

PQC平面LMN,故PQII平面LMN,同理，由PRIICN,可得PR||平面LMN,

因PQ,PR為平面PQR內(nèi)兩相交直線，故平面PQR『平面LMN.

故選C.

10.【2018年湖南預(yù)賽】如圖所示，點(diǎn)S在平面ABC外，SB±AC,SB=AC=2,E、F分別是SC和AB的

中點(diǎn)，則EF的長是（）

A.1B.V2

C.在D.i

22

【答案】B

【解析】

取BC的中點(diǎn)D,連接ED與FD：E、F分別是SC和AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)ED〃SB,FD〃AC,

而SB1AC,SB=AC=2則三角形EDF為等腰直角三角形，則ED=FD=1即EF=V2.

故選B.

II.【2018年湖南預(yù)賽】將半徑為3,圓心角為g的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為

A.叵B.叵

33

C.-D.2兀

3

【答案】A

【解析】

設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則2TTT=卑x3;r=1,h=V32-1=2V2,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為R.則一(一=--,./?=―,V=-HR3=-TT(—)3=—7T,選A.

2y/2-R3233、2，3

12.【2018年湖南預(yù)賽】若三棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC,AB_LBC,PA=AB=2,AC=2V^,三棱錐P-ABC

的四個(gè)頂點(diǎn)都在球0的球面上，則球O的表面積為

A.12兀B.167TC.207TD.247T

【答案】A

【解析】

由題意，PAL平面ABC,PA=AB=2,AC=2VI...平面ABC是直角三角形，補(bǔ)形底面為長方形....球心到

圓心的距離為1,底面長方形的外接圓r=夜,...RZI+l,即R=B,.?.球0的表面積S=4nR2=127r.

故選：A.

13.(2018年陜西預(yù)賽】已知四面體4BCD內(nèi)接于球，且ZD是球的直徑.若2MBe和/BCD都是邊長為1的等

邊三角形，則四面體力BCD的體積是()

A.叱B.江c.D.更

612612

【答案】B

【解析】

四面體以等腰直角448D為底，高為號(hào)，故體積為=

14.【2018年陜西預(yù)賽】已知四面體4BCD內(nèi)接于球，且4D是球的直徑.若2MBe和Z1BCO都是邊長為1的等

邊三角形，則四面體2BCD的體積是()

A.立B.立C.更D.更

612612

【答案】B

【解析】

四面體以等腰直角/L4BD為底，高為當(dāng)，故體積為gx號(hào)x；奈

15.(2018年陜西預(yù)賽】已知四面體4BC0內(nèi)接于球，且力。是球的直徑.若4aBe和/BCD都是邊長為1的等

邊三角形，則四面體4BCD的體積是()

A.立B.立C.在D.出

612612

【答案】B

【解析】

四面體以等腰直角2L4BC為底，高為立，故體積為三x立x1=叱.

232212

16.【2018年貴州預(yù)賽】在空間直角坐標(biāo)系中，已知。(0,0,0),A(l,0,0),8(0,1,0),C(0,0,

1),則到面OAB、面OBC、面OAC、面ABC的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

A.1B.4C.5D.無窮多

【答案】C

【解析】

四面體048c的內(nèi)切球球心以及四個(gè)“旁切球”的球心到面OAB、面OBC、面OAC,面ABC的距離相等，

故滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是5.故答案為：C.

17.【2018年貴州預(yù)賽】若圓柱被一平面所截，其截面橢圓的離心率為乎，則此截面與圓柱底面所成的銳

二面角是()

1122

A.arcsin-B.arccos-C.arcsin-D.arccos-

3333

【答案】B

【解析】

由題意知，截面橢圓的短軸長2b與圓柱底面直徑相同，則截面與圓柱底面所成的銳二面角，滿足：

cosO=*=(其中2a為橢圓的長軸長.

由已知，=言=合竽席一0=

即cos?=：,所以0=arccosg.故答案為：B.

18.【2018年吉林預(yù)賽】三棱錐P-ABC的底面ZkABC是邊長為3的正三角形，已知PA=3,PB=4,PC=5,

則三棱錐P-ABC的體積為（）

A.3B.V10C.VTTD.273

【答案】C

【解析】

=XX

^P-ABC~^A-PBC|Q3X4^XJ??-（I）=VTl.

故答案為：c

19.【2018年天津預(yù)賽】下面左邊的平行四邊形ABCD是由6個(gè)正三角形構(gòu)成，將它沿虛線折起來，可以

得到如右圖所示的粽子形狀的六面體，在這個(gè)六面體中，AB與CD夾角的余弦值是（）.

A.0B.1C.1D.!

【答案】C

【解析】

如圖所示，取中間的虛線EF,將平行四邊形分為兩部分，各由三個(gè)小正三角形構(gòu)成.左端的三個(gè)小正三角

形折起來（B和F重合），恰好是一個(gè)無底的正三棱錐，AB、EF是它的兩條底邊；同理，右端的三個(gè)小正

三角形折起來（D和E重合）構(gòu)成粽子的另一半，CD、EF也是邊線.因此，折起來后，AB、CD是正三角

形的兩條邊，它們夾角的余弦值為去

故答案為：C

D

B

20.[2017年天津預(yù)賽】正四棱錐的底面邊長為2017,側(cè)棱長為2000,則側(cè)棱與底面所成的角與下面哪個(gè)角

的差的絕對(duì)值最小（).

(A)30°(B)40°(C)50°(D)60°

【答案】B

2017

【解析】提示：注意錐頂在底面的射影是底面的中心，易知側(cè)棱與底面所成的角的余弦值為烹，它約等于

乎，但比當(dāng)略大.因此該角度略小于45°,故選B.

21.(2017年遼寧預(yù)賽】已知長方體的表面積為手所有棱長的總和為24,則長方體的體對(duì)角線

與棱所成角的最大值為()

/A\1V2\/3/仁、V6

(A)arccos-(B)arccos-y(C)arccos(D)arccos-y

【答案】D

【解析】提示:設(shè)過同一頂點(diǎn)的棱長分別為a,b,c(a>b>c).

a+b=6—c

朋『(ab+be+ca)=—

{,z、j45.

Lab-c￡+6c=—

4(a+b+c)=244

故a、b為方程42-(6-C)X+C2-6c+^=0的兩根.

于懸4=(6—c)2—4(/—6c+—)》0,

解得l<c<3.

由于c+b+c)=2,故1<c<2.

又M+力2+/=(Q+力+c)2-2(ab+be+ca)=y,

則cos。=:=-c,HP—<cos0<—,arccos—<S<arccos—.

v,a2J+d2+c299999

22.【2017年陜西預(yù)賽】如圖，在棱長為1的正方體ABCD-4遇￡。1中,P、Q、R分別是棱AB、AD.441的

中點(diǎn).以△PQR為底面作一個(gè)直三棱柱,使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體4BC0-4B1GD1的表面上.

則這個(gè)直三棱柱的體積為()

聞|喈①珞

【答案】c

【解析】提示:易知，直三棱柱另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)P1，Q1、R1分別是正方形8。681，。。。16,418住1。1的

中心，則直三棱柱PQR-PR%的側(cè)棱PA=\ACr=y.

又SAPQR—f(')=f,所以/QR-P1Q1&=S^PQR，PP1=/

23.【2017年黑龍江預(yù)賽】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的(

)

(A)外接球的半徑為半(B)體積為百

(C)表面積為述+V3+1(D)外接球的表面積為等

【答案】D

【解析】提示：幾何體是有一個(gè)側(cè)面和底面垂直的三棱錐,

體積是：x|x2x1xV3=/,

表面積是(x2xV3+1x2xl+2x|xV2xj|=V7+V3+1,

外接球半徑是竽，外接球表面積是等.

24.【2017年貴州預(yù)賽】已知正四面體4BC0的棱長為a(a>3)如圖所示，點(diǎn)E、F、G分別在棱

AB.AC,力。上.貝IJ滿足EF=EG=3,FG=2的4EFG的個(gè)數(shù)共有()

(A)l(B)2(C)3(D)4

A

【答案】C

【解析】提示:設(shè)AE=x,AF=y,AG=z,則：

x2+y2-xy=9x=2xz=-

22

{y+z-yz=9=>{y=1+V6^{?213

z2+x2-zx=4z=2'+z-2

由于圓工2+z2=學(xué)與函數(shù)2=三的圖象在第一象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，故原方程組共有三組解，

42x

因此滿足條件的^EFG的個(gè)數(shù)為3.

故選C.

25.[2017年湖南預(yù)賽】已知點(diǎn)P為正三棱柱ABC-A/iG上底面△&B1G的中心，作平面BCD14P,與棱

4公交于。，若=2AB=2,則三棱雉。-ABC的體積為()

(A度(B瑁(C片(D片

【答案】4

【解析】提示:如圖,設(shè)平面A&P與邊BC,BiG分別相交于點(diǎn)

G

在矩形中=2,AE=&邑=苧MJ=y.

由笨=弟/。=需V13

4

AD=-JED2-AE2=J（穹-倒/

所以％TBC=[SA4BC?40=3X3X1X苧X：=奈故選4

26.【2016年陜西預(yù)賽】如圖，在棱長為1的正四面體ABCC中，G為ABC。的重心，M為線段AG的中點(diǎn).

則三棱錐M-BCD的外接球的表面積為（）.

A

A.乃B.列C.也D.隨

248

【答案】B

【解析】

因?yàn)镚為正△8CD的重心，所以，AG_L平面BCD=AG_LBG.

在放ZSAGB中，AB^\,BG=-x—=—

323

=>AG=\/AB2-BG2=—

3

=MG=—AG=——.

26

在R/MGB中,

MBZMG'+BG2=—

2

0MC=MB巫.

2

則MB2+MC2=12=BC2=A/B_LMC類似地_LM/）,MDLMB.

于是,三棱錐M-8C。的外接球的直徑等于以“8、MC、M。為棱的正方體的體對(duì)角線長.

設(shè)三棱錐M-BCD的外接球半徑為R.

則2Z?=V3A/B=y.

故外接球的表面積S=4*號(hào).選B.

27.【2016年浙江預(yù)賽】已知正三棱錐S-ABC的底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱長為2。若過直線4B的

截面將正三棱錐的體積分成兩個(gè)相等的部分，則截面與底面所成二面角的平面角的余弦值為（）。

A.運(yùn)B.途C.虎D.源

10151515

【答案】D

【解析】

設(shè)截面與棱SC交于點(diǎn)D.易知，。為棱SC的中點(diǎn).取4B的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)EC、DE、SE.則NDEC為截面與底面所成

二面角的平面角，設(shè)為仇

在ASEC中，SE=？，EC=—,SC=2.則中線DE=當(dāng)

在Z1OEC中，應(yīng)用余弦定理得cos。=答.

28.【2016年遼寧預(yù)賽】已知正方體A5CD-A4GA的棱長為1，在對(duì)角線4。上取點(diǎn)M,在C"上取

點(diǎn)N,使得線段MN平行于對(duì)角面AC￡A，則MN的最小值是（）

A.—B.1C.V2D.—

32

【答案】A

【解析】作A//%，于點(diǎn)Mi,作NN'LCD干點(diǎn)、N[,易證M|N|//AC,設(shè)。加|=。乂=%，則

2t1、21

MMi=x,NNt=l-x,在直角梯形易得MN?=（及—+（1—2xp=6x--+-,當(dāng)

\3J3

故選A.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)以及求最值問題，屬于難題.求最值問題

往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單

調(diào)性法求解，若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且

一定要先確定其定義域.

29.【2016年湖南預(yù)賽】一個(gè)色子由1~6六個(gè)數(shù)字組成，根據(jù)圖所示三種狀態(tài)顯示的數(shù)字，可推得“？”的數(shù)

字為（）.

Z5VIXT/1/T71

A.6B.3C.ID.2

【答案】C

【解析】

試題分析：由圖中的前兩個(gè)狀態(tài)可知，"？”處的數(shù)字可能為什1或6,進(jìn)一步看狀態(tài)一可知，不可能為1.由

圖中的前兩個(gè)狀態(tài)可知，1的周圍為2,3,4,5；則“？”處的數(shù)字可能為什1或6；從狀態(tài)一可知，不可

能為1;

考點(diǎn)：空間位置關(guān)系

30.【2015年浙江預(yù)賽】如圖1,在正方體ABCD-AiBiGDi中，已知M為B當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn).則二面角M-CD1一力

的余弦值為（）.

【答案】c

【解析】

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則

0(0,0,0),4(1,0,0),C(0,l,0),0式0,0,1),M(1,1,0,

則平面4C￡>i的法向量?ii=(1,1,1).平面MCDi的法向量n2=(-1,2,2).

故cos(7ii，zi2>=y>即二面角M-CDr-A的余弦值為當(dāng)

31.[2015年天津預(yù)賽】在正方體的十二條面對(duì)角線和四條體對(duì)角線隨機(jī)地選取兩條對(duì)角線.則這兩條對(duì)角

線所在的直線為異面直線的概率等于()

A.B.C.D.以上結(jié)果均不對(duì)

【答案】B

【解析】

在正方體的十二條面對(duì)角線和四條體對(duì)角線中選取兩條對(duì)角線的取法數(shù)為

CM=誓=120.

當(dāng)兩條對(duì)角線所在的直線為異面直線時(shí)，這兩條對(duì)角線至少有一條為面對(duì)角線.

任取一條面對(duì)角線，在其余十一條面對(duì)角線中，有五條面對(duì)角線與該對(duì)角線異面.又因?yàn)槭浅蓪?duì)計(jì)算數(shù)目，

所以，這種情況下共有詈=30對(duì)異面直線.

任取一條面對(duì)角線，在四條體對(duì)角線中，有兩條體對(duì)角線與該對(duì)角線異面.于是，這種情況下共有12x2=

24對(duì)異面宜線.

因此，隨機(jī)選取的兩條對(duì)角線所在的直線為異面直線的概率為&'=