個人數學思想心得

說明：這是我2008年11月到2010年6月做的一些教學筆記，雖然比較凌亂，卻真實地記載了這

一年多來教學上的所思所想。平日的教學中多一點這樣的思考，我認為是有益的。

1、多取一位近似值夠不夠？[2008-11-5]

在“近似數和有效數字”的學習中，我們經常面對以下的問題：計算3行+4癡（保留2位小

數），如果不完全借助于計算器，筆算的解決方法是，讓計算過程比要求的結果多保留一位小

數，然后在最后一步再次近似，這樣才能得到精確的結果.解法如下：

3M+4^6-3x2.236+4x2.449=16.504=16.50.

這種“比結果多保留一位”的做法是不是一定有效呢？且看一個例子.

例、計算1°也+96（保留1位小數）.

我們在計算過程中分別保留1位、2位、3位小數，各自得到33.8、34.17、34.264.按照上面

“多保留一位”的做法，10匹+9后々34.17々34.2,而事實上，1°行+9后=34.2667…M4.3,剛才

還是做錯了！

一一般地，我們按照要求對實數取近似值時，可以使用計算器，計算器上總能顯示足夠多

的位數，就保證了我們需要的結果足夠精確.如果沒有計算器，那么不妨多保留幾位.

2、"欲窮千里目，更上一層樓”？[2008-11-5]

蘇科版八年級上冊P.53給出的例3是一個勾股定理的應用問題，原題如下：

“欲窮千里目，更上一層樓.”說的是登得高看得遠.如圖，若觀測點的高度為h,觀測者視線

能達到的最遠距離為d,貝必"屈，其中R是地球半徑（通常取6400km）.小麗站在海邊一塊巖

石上，眼睛離海平面的高度h為20m,求此時d的值.

h

直接代入數據求值，dx72x0.02x6400=V256=16km.看來該問題很簡單.

我們追問一下，為什么有這個公式同R呢？且為什么是心”呢？

重新畫出右邊的圖形，就是人站立位置到他的“地平線”的距離，因此AC,半徑OC,

利用勾股定理，（R+"）2=R2+"2,化簡得1=2秋+",即+.

由于R=6400km,h=0.02km,2Rh+h'=2x6400x0.02+0.004=256+0.0004?看這最后兩

個加數，0.0004相對于256很小，而,256.0004“16.0000125,因此在開平方時可以略去而不

致明顯影響結果的精確性.當h相對于R很小時，近似公式可以給出很精確的結果.

謎團解開了，我們是否追問一下：要想真的看到千里遠，必須登上多高呢？1000里=500km,

,d22

/h—___—____5_0_0____

代入d3hR,得至|j一2R-2x6400=19.53125kmu20km.世上大約不會出現(xiàn)20km高的大樓

吧？世界屋脊珠穆朗瑪峰的高度也不過是8848m=8.848km,看來，登上珠峰也不能看到千里

遠.

再假設一下，如果真的能站到這么高，一定能看到那么遠嗎？研究發(fā)現(xiàn)，人眼的分辨角

（即剛好能分辨開的兩個物點對瞳孔中心的張角）正比于光波的波長，反比于瞳孔的直徑.而

瞳孔直徑是有限的，可以在1.4?8毫米之間調節(jié)，因此，人眼不能看見很近的物體，也不能

分別很遠的物體.在正常情況下，眼睛的分辨角約為3分，這相當于分辨在1公里遠處相距為75

厘米的兩個物點，那么要看清楚500km遠的某個物體，那么這個物體的高度至少要有375米，

至少是一座不小的山丘了，這還沒有考慮空氣的可見度呢.

3、滑落的梯子[2008-11-6]

蘇科版數學八年級上冊P.47習題：長2.5米長的梯子靠在墻上，梯子底部離墻的底端1.5m,

求梯子頂端與地面的距離h.

用一次勾股定理可以知道h=2m.讓我們追問一下：如果梯子頂端沿著墻壁下滑0.5米，則底

部向外滑動多少？計算一下，知道底部也向右滑動0.5m.

那么是不是上下段滑動的距離總是相等呢？答案是不一定，比如頂端向下滑動1.3m時，

h=0.7m,則底端距離墻壁2.4m,故底端向右滑動2.4-1.5=0.9m.

對這個問題還可以繼續(xù)提問：把墻壁和地面看做坐標系的第一象限，梯子看做一條固定

長度的線段，那么梯子在滑落過程中每一時刻可以看做是一條曲線的切線，也就是說，梯子

的位置構成了某一曲線的包絡，這條曲線是什么？

答案是：星形線在第一象限內的部分.中間的圖形畫出了整個的星形線，易見它關于x軸、

y軸以及一三、二四象限的角平分線對稱.星形線可以看做一個小圓內切于一個大圓無滑動滾

動一周時，小圓上某點的軌跡，小圓半徑是大圓半徑的四分之一.星形線在任意點的切線夾在

坐標軸之間的部分等于大圓的半徑R,因此如果讓梯子沿著墻壁滑落，那么形成一簇直線，星

形線就是該直線簇的包絡，右圖顯示了這一過程.

有些公共汽車的門比較特殊，它不是對開的兩扇，而是兩扇都由相同的兩半用錢鏈相連.

開關門時，靠門軸的一半繞著門軸旋轉，另一半的外端則沿著連接兩個門軸的滑槽滑動，開

門時兩扇合攏為半扇，關門時又伸展為一扇.這種門有一個好處：開關車門需要的空間很小，

因而在乘運高峰時可以多運乘客.由于車門的總寬度為2a,因此車門在滑動過程中任意位置的

包絡線就是上面的星形線在第一象限內的一部分.根據對稱性，半截車門活動的包絡又是這段

星形線的下半部分.經過計算，這種車門活動范圍只是普通車門的上.

這里我們還可以提出一個問題：在下滑的過程中，何時梯子與墻壁夾成的三角形面積最

大？答案是：三角形為等腰直角三角形，還可以計算出最大面積與梯子長度之間的關系。

"2/3,、，2/3n2/3

星形線的直角坐標方程是x+y=R，其中R是外接圓的半徑.參數方程是

x=Rcos'°,y=Rsin3°,夕是參數.小圓內切于大圓自由地滾動時，圓上任一點構成的軌跡

叫做大圓的內擺線(也叫做圓內螺線)，根據大小圓的半徑的比例，可以得到不同形狀的內擺

4、切出幾個相似形？

問題：AABC的邊AB上有一點D,過D作一條直線切割三角形，所得三角形與原三角形相

似，這樣的截線有兒條?

答案可以分成兩類：⑴比較容易想到的有2個：作DE〃BC,或DF〃AC,則

△ADEsaABCsaDBF.(2)不太容易想到的答案也有2個：過D作N1=N2=NC,則

△AHDs/^ABCsaGBD.如下圖所示.

4

注意到該圖形中N1=N2,因此，兩條截線DG、DH關于AB的垂線DN對稱.或者，我們也

可以把DG和DH看作是一組入射光線與反射光線，它們關于法線DN對稱.

這兩個答案是不是一直存在呢？注意到N1=N2=NC,因此當NC=90°時，DG與DH重合于

AB的垂線DN,這時，問題一共有3個答案，如下圖所示.右圖是特殊情形.

5、三角形的角平分線、中線和高線的位置關系

求證：三角形從同一頂點出發(fā)的角平分線位于中線與高線之間（三線合一的情形除外）.

證明：為了清晰起見，我們先考慮銳角三角形，如圖，AD是高線，AE是角平分線，AF

是中線，并且AB>AC,因此NONB,cosC〈cosB.

BD_AB?cosB_ABcosB〉AB_BE〉〔_BF

則CDAC-cosCACcosCACCECF

以上式子表示E在F和D之間.

如果AABC是鈍角三角形，且NA是鈍角，證明過程同上；

如果AABC是鈍角三角形，且NC是鈍角，則BC邊上的高線在形外，AB>AC,根據以上

證法，也有結論成立；

如果AABC是直角三角形，則D與C重合，同理亦有結論成立.

6、有關三階幻方的兩個問題

三階幻方最早見于我國的“河圖洛書”，然而理論化的研究則在楊輝的《詳解九章算術》

中才有較多記載.直至近代，數學蓬勃發(fā)展，作為組合數學的一個分支，對幻方的系統(tǒng)研究已

經到了很高的水平.但是，它更多的用處是作為一個數學游戲被數學家或者數學愛好者們津津

樂道（比如金庸先生在《射雕英雄傳》中就提到了這一問題），但是在現(xiàn)實生活中并沒有廣

泛的應用.我們這里介紹的是基于三階幻方而構造的兩個有趣的問題.

⑴、數十五游戲

桌子上放有標上數字1?9的9張牌，二人對局游戲，輪流從中取牌，誰先取得3張牌的號碼

之和等于15,誰就贏得該局.

圖6

這個游戲其實是考你是否記得一個三階幻方.事實上，每一個贏的組合都是幻方中的一

行、一列或一斜行.

因此這個問題也可以修改為劃井游戲：在九宮格內放石子，誰最先擺成一行3個就贏.在

此意義上，劃井游戲“同構”于一個三階幻方.

在進行該游戲時，如果玩得正確就不會輸.如果兩個對手都玩得正確，則就是平局.當然，

如果雙方都明白了游戲的訣竅所在，大約下次再也沒人愿意玩啦.

(2)、誰是最優(yōu)？

我們知道，圍棋手共有九段，一般地，我們假設低段的棋手總是敵不過高段的棋手.

現(xiàn)在有3個圍棋隊，每隊有3個選手，實力分別是：甲隊(4,9,2)；乙隊(3,5,7);丙隊

(8,1,6).括號里的數字分別代表隊員的段位，比如甲隊選手分別是4段、9段、2段，等等.你

可以讓這三隊選手坐成3行，那么9人就構成了三階幻方.

現(xiàn)在讓這3個代表隊進行單循環(huán)比賽，即每個隊的每個選手都與其它隊的每個選手下棋,

因此每2個隊共需比賽9場.從三階幻方可以看出來，甲隊與乙隊比賽，甲勝4局，乙勝5局，因

此乙隊勝出，我們用乙》甲表示.類似地，乙隊與丙隊比賽，乙隊勝4局，丙隊勝5局，因此有

丙》乙.按照常理，3個人比個子高矮，A比B高，B比C高，顯然有A比C高.我們如果把這種

傳遞關系應用到這里的圍棋比賽上，就有閃》乙》甲，因此你立刻就得到“丙隊強于甲隊''的

結論.

別忙，我們還沒有認真地比較丙隊與甲隊呢.現(xiàn)在來看一下，丙隊(8,1,6)與甲隊(4,9,

2)作戰(zhàn)，丙隊勝4局，而甲隊勝5局，因此甲隊強于丙隊.與上面的結果恰好相反！

問題出在哪里呢？

正確的解釋應該是：我們不能像比較高矮個子那樣比較每隊的成績，常識引導我們在這里犯

了"想當然''的錯誤.具體點說，我們這里制定的圍棋比賽的規(guī)則不能應用于真正的對局，否則

就會出現(xiàn)“人人都是贏家”的尷尬.這是不是有點像“剪刀、石頭、布”的游戲？而我們借助于三

階幻方舉出該例子的目的是為了說明一個道理：社會科學中很多問題(比如選舉問題)不能用

通常的方式去理解，它屬于專門的數學分支，需要用到一些專門的理論(比如選舉理論)去研

究，這就需要進一步學習了.

7、如何理解概率的穩(wěn)定性？

隨機事件發(fā)生的概率是一個客觀值，它由事件本身決定，因此是精確的.比如拋擲一枚均

勻的硬幣得到正面的概率為0.5,拋擲一個均勻的骰子，得到3點的概率為六分之一，等等.

當隨機事件的概率不易直接計算時，需要通過實驗的頻率來估計概率.頻率是一個實驗

值，不同的人、甚至同一人在不同的時間做同一實驗，事件發(fā)生的頻率未必相同(甚至不同的

可能性很大)，但是，概率論的研究表明，不同的實驗結果下面，所體現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定性趨勢

是一樣的.我們可以用穩(wěn)定時的頻率作為概率的估計值.那么什么是頻率的穩(wěn)定性呢？

在一定條件下大量重復進行同一實驗時，事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出“先波浪起伏，后風平浪

靜”的趨勢，隨著實驗次數的增加，頻率會在某?個常數附近擺動，通常實驗次數越多，擺動

幅度越小，這種性質稱為頻率的穩(wěn)定性.而那個常數就是事件發(fā)生的概率.

因此，為了獲得一個隨機事件發(fā)生的概率，我們可以大量做實驗，把穩(wěn)定時的頻率值作

為概率的近似值.歷史上一些著名的統(tǒng)計學家做的拋硬幣的實驗有力地證實了這一點.

統(tǒng)計學家歷次拋硬幣的實驗結果

實驗者實驗次數n正面朝上的次數m正面朝上的頻率m/n相對誤差

布豐404020480.50691.38%

德?摩根409220480.50050.1%

費勒1000049790.49790.42%

皮爾遜1200060190.50160.32%

皮爾遜24000120120.50050.1%

羅曼諾夫斯基80640396990.49231.54%

從以上表格中可以發(fā)現(xiàn)(1)在充分多次的實驗下，頻率確實可以很好地估計概率；(2)當實

驗次數增加時，頻率未必更加接近概率，甚至可能出現(xiàn)“反彈”，這是正常的.比如羅曼諾夫斯

基做了80640次實驗，結果卻不如德.摩根的4092次精確.

我們在學習概率的穩(wěn)定性的時候，需要避免一些想當然的錯誤，比如說“求平均數因為

我們假設每次實驗都是相互獨立的，不同次的實驗頻率之間并無關系，因此頻率的穩(wěn)定性蘊

含了一點：穩(wěn)定時的頻率值并不依賴于前幾次的頻率值.求算術平均數的做法當然是錯誤的.

當實驗此時越來越大時，實驗的頻率恰好等于預期的概率的可能性極小，更準確的說法是：

越來越小.比如，拋擲硬幣時，出現(xiàn)正面的頻率恰好是0.5的可能性隨著N的增加而越來越小.

8、面積哪里去了？

上圖經過分割以后，重新拼成下圖，看似沒有什么變化，但面積卻少了一塊，這是為什

么呢？

仔細觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，上面兩個“三角形''的斜邊似乎都有點問題.用尺子量一下，發(fā)

現(xiàn)它們其實都不是直線段，上面的向三角形內部凹了點，下面的則向三角形外部突出一點.一

里一外，就造成了上下兩幅圖形的面積之差為L

如果這樣就算找到問題的答案了，還不能算是清晰.比如一個問題是：你怎么知道一個向

里凹另一個外凸呢？

計算直線AB的斜率是3/8,直線BC的斜率是2/5,直線AC的斜率是5/13,斜率不相等表明

AB、BC、AC不是相同的直線，簡言之：A、B、C不共線.直線的斜率越大表明直線的傾斜角

越大，因此BC的傾斜角〉AB的傾斜角，這就造成了折線ABC向三角形內部凹的結果；類似地,

下面的圖形中，折線CAB向外凸出.二者拼在一起構成了一個平行四邊形，其面積恰好是1,

這就是“丟失的面積”.

再看下面這個問題：邊長為8的正方形按照左邊的方法分割以后，重新拼接成右邊的圖形,

面積多了1個(由64“增加”到T65),為什么？

和上面問題的解法一樣，我們在右圖中計算一下直角梯形地斜腰AB和直角三角形的斜邊

AC和BC的斜率，為此需要作出直角梯形的高線BD,于是，AD=2,BD=5,BE=3,CE=8,注意至

AD:BD=2:5,BE:CE=3:8,AF:FC=5:13,三者均不相等，表明A、B、C不共線.而且，右圖的矩形

對角線AC的位置其實有一個很扁的平行四邊形空隙——其面積正好是1,這就是多出來的1.

注意到圖形中的數據：2、3、5、8、13,都是Fibonacci數(1,1,2,3,5,8,13,21,…)，上圖的意

思是82=5x13-1,這是Fibonacci數列的一個重要性質彳="t.工川+(-1)'川的應用而已.

9、如何作出三角形的內接正方形？

問題：要想在三角形內作出一個內接矩形是很容易的，而且這樣的矩形可以作出無數多

個，-一般情況下，這個矩形不會是正方形.那么，如何才能準確地作出一個內接正方形呢？

我們嘗試沿著BC邊先作一個任意的正方形—不管第4個頂點E是否在AC上，然后觀察,

我們需要的正方形(陰影部分)與它有沒有什么關系.

如果你還看不出來，不妨把連起來，你發(fā)現(xiàn)了什么？8、E、”正好共線！的確如此，

不管你任意作出的正方形OEPG在什么位置,它與將要作出的ZkABC的內接正方形"7町都是

位似的，位似中心就是點氏(思考一下，為什么？)

因此作法就有了：任意作出一個正方形OE尸G,再連接BE并延長交AC于點再以H為

頂點作出正方形小燈的其他頂點.

下面這種方法也很巧妙：如果要使得正方形的一邊在BC邊上，我們先以BC為邊在aABC

的異側作一個正方形BCDE,連接AE、DA交BC于G、F,那么正方形FGIH就是所求.利用相似

三角形可以證明這一點.

完成了這個問題，我們可以想到更多.

(1)如何作出長：寬=2：1的矩形？

(2)在△ABC上作出一個內接使得OE—的三邊分別與已知△PQR的三邊分別平

行？(特殊地，如何作出一個內接正三角形？)

我們來完成(2).開始也要嘗試，如圖，我們先在AB、AC上取Di、E],使得D|E|〃PQ,再作

D|F1〃PR,E|F]〃QR,可以發(fā)現(xiàn)，點F1未必正好落在BC上，這是問題的難點。如果多試兒次可

以發(fā)現(xiàn)，這樣的日都在由A出發(fā)的同一?條射線上，且△。閩KSAPQR,因此所有這樣的

△。百片是以A為位似中心的一組位似三角形。根據位似圖形的性質，對應點都在經過位似中

心的直線上，因此記AF|與BC的交點為F,從F作DF〃PR,EF〃QR,交點分別在AB、AC±,

則4DEF就是所求的三角形。

(3)△ABC的三邊上都可以類似地作出一個內接正方形，計算一下，哪個正方形的面積最

大？

h-xh--=—ha2xS=-------

解答：如圖，設5C=?,高4H=/z,內接正方形的邊長是x,則xx,算出h+a=h+a,

其中S是三角形的面積.由公式可見，內接正方形的大小由三角形的邊長以及該邊上的高線長

度之和&+?決定.對于具體的三角形，我們可以通過計算比較，得出最大內接正方形是在哪條

邊上.

2s2S=42S

因為人+?三2癡"=2后，因此“一/2+。局2,兩邊平方，則正方形的面積

S_

^<2,即三角形的內接正方形的面積最大值為三角形面積的一半，而這個值也是三角形內接

矩形面積的最大值.

10、完美正方形與完美矩形[2008-11-13]

如果可以把一個正方形分割為若干個大小不同的小正方形，那么這個正方形就叫做完美

正方形.如果把一個矩形分割為若干大小不同的正方形，這樣的矩形叫做完美矩形.容易知道，

如果允許一些正方形相同，對應6,任意正方形都可以分解為若干個小正方形，下面給出了n=6、

7、8的情形，對應9,只要依次再把某一個正方形繼續(xù)分割就行了.基于這一點，完美正方形存

在的意義就在于要求分割為大小不同的正方形.

24-夕“wvperfedsqiiare

11、解題研究1[2008-11-13]

△ABC中，AD是中線，分別以AB、BC為邊向外作正方形，求證：FN=2AD.

B

解法：延長AD到G,使得DG=AD,則有平行四邊形ABGC,再證明aABG烏ZXFAN(SAS),

因此FN=AG=2AD.

分析：根據結論，作出AAFN的中線A0,那么有4ABD烏△FAO,AANO^ACAD(SAS).

因此AAFN與aABC組成相等(分割以后重新組合).更基本的結論是：它們的面積相等，而這

一點可以由正弦定理立即得到.

動態(tài)地觀察這兩對三角形，它們可以分別繞兩個正方形的中心P、Q旋轉得到.而旋轉圖形

的對應線段夾角等于旋轉角，因此ADJ_FN,很容易地就得到了這個結論.

我們看圖形的構造，AABC的中線垂直于FN,反過來，AAFN的中線也垂直于BC,二者

是對稱的。

通過幾何畫板，可以發(fā)現(xiàn)：OPDQ是一個正方形！不難證明如下：易知PO_LPD,且

PO=PD;QO±QD,且QO=QD,那么aPOQgZxPDQ,因此NPOQ=ZPDQ=90°,進而得到正方形.

另一種方法是連接CF、BN,證明AAFC四△ABN(SAS),得到CFJ_BN,再利用中位線定理,

PD1DQ,且PD=DQ,于是得到結論.參見右圖.

下面這個問題與剛才分析的結果有點關系.

左圖中的正方形面積分別是17、10、13.右圖中DPQR為矩形，對照圖中的數據，計算左

圖中六邊形ABCIGH的面積.

△DEF的邊長分別是何，而，麗，根據右圖其面積等于5.5,WABDC.AAEH.AGFI

的面積都等于4DEF的面積，因此總面積等于17+13+10+5.5x4=62.

△BDC的面積等于4DEF的面積，可借助于正弦定理，但學生如果沒有學過，可以通過以

下方法獲得理解：一個基本圖形是，^ABC的中線吧三角形分成面積相等的兩部分——利用

這個基本原理，我們只要把ABDC與4DEF旋轉一下，拼在一起，就可獲得這個基本圖形.

12、解題研究2[2008-11-13]

四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是AD、BC中點，BA、FE、CD延長線分別交于G、

H,求證：ZBGF=ZCHF.

特殊地，當ABCD為等腰梯形時，結論顯然成立.一般位置情形，連接AC,取中點I,連

11

-CD-AB

接EI、FI,利用中位線定理，有IE〃CD,IF〃AB,因此N3=N1,N4=N2,而EI=2=2=里

因此N3=N4,因此N1=N2.

解題研究3

⑴正方形ABCD中，NEAF=45°,求證：DE+BF=EF.

把4ADE圍繞A旋轉到△ABG,則可以證明△AFEgZ\AFG(SAS),不難得到結論.

變化：本題的結論與條件可以互換一下：

(2)正方形ABCD中，DE+BF=EF,求證：ZEAF=45°.

證明的方法依然如此，不過全等條件則是SSS.如果不使用旋轉的語言，也可以延長FB到

G,使得BG=DE即可，效果等同于旋轉.

在有些問題中，題目的條件比較含蓄：正方形的邊長是1,4CEF的周長是2,簡單的計

算可知，這等價于DE+BF=EF.

在以上兩個問題中，4AFE與4AFG關于AF對稱，因此可以把4AFG連著高AB一起翻折

過去，那么4AFE的高線AH對應地等于AB,順便可以得至I」NBAF=NFAH,NDAE=NEAH.

把左邊的圖形簡化，我們可以對右圖形成問題：

(3)正方形ABCD中，DE+BF=EF,AHLEF于H,求證:AH=AB.

以上的過程實際上給出了問題(3)的解答.

該問題還有一個變形：正方形ABCD被兩條與邊平行的直線分割為4個小矩形，若矩形

PFCE的面積是矩形PQAR的2倍，求NEAF的大小.

設AR=a,BR=AAQ=x,QD=)Wb+b=x+y,且2ak刀，化簡這兩個式子將會產生DE+BF=EF,

這就轉化為上面的問題.過程可參考《奧數教程》(華東師大，初二P.157頁).

進一步地，可以證明，當E在AB上變動時;EH、FG的交點P是一個不動點.輔助線如圖，

設正方形的邊長為1,則0-加/+(1-〃)2=5+〃尸，化簡為m+n+mn=l,根據

y_n4-x1+x_y-(1-zw)

△PMFs^GDF,1—〃？〃；根據△PNEs^HBE,1—〃加，解出x=l,y=2,因此

ANPM是邊長為2AB的正方形.因此P為一個定點.

解題研究4[2008-11-14]

平行四邊形ABCD中，AE、AF為垂線，H是4AEF的垂心，EF=p,AC=q，求AH的長.

證明：連FH并延長與AE交與點G,連EH.H為垂心，則FHLAE,即FG〃BC,又因為EH1AF,

則EH〃CF,故有平行四邊形FCEH，因此FC=HE.

AHGHACFCHE

易知RtZ\AGHsRt/\FGEsRtaAFC,因此EFGE,EFGEGE,

AH2_GH2AC2HE2

則222~GE2

EF~GE(1),EF(2),

AC2AH2_HE2GH2_HE2-GH2GE2

2

(2)-(1)得EF2EF"GE2__GE2GE2=GE2

AC2AH2_q2AH2

2=1

222業(yè)-p2

g|JEFEF'L即PPAH=

上面的結果表明，AC、EF、AH可以作為一個直角三角形的三條邊，但是它們并不在同

一個三角形里面，作LEJ_EF交AB于L,連接LF,可證ALEH為平行四邊形（兩組對邊分別平行）,

因此AH=LE,只要證明RtALEF中，斜邊LF=AC即可.這相當于證明AL=CF,或者證明ALCF為矩

形.

根據作圖過程，A、L、E、F四點共圓，而A、E、C、F四點共圓，因此L、E、C、F四點

共圓（因為以上五點都共圓），因止匕NLCF=NLEF=90°,因止匕ALCF為矩形，即AC=LF.

解題研究6[2008-11-15]

兩個正方形靠在一起，如何把它們分割、拼接成一個大的正方形？

在AD上截取AH=DG,連接BH、HF,則可以證明aBAH名△HGF（SAS）,以BH為邊作正

方形BHFI即為所求.這里其實利用構圖證明了勾股定理.

這個結論可以推廣為：任意n個正方形可以拼成一個大的正方形.

我們再添加一些線條，得到上面的兩幅圖形，左邊相當于趙爽的弦圖，右邊相當于加菲

爾德總統(tǒng)的“推倒一個火柴盒”，這兩種勾股定理的證法在歷史上都相當著名.

下面這個問題在“正方形''的學習中是一道典型的例題，可視為上面問題的變形.

正方形ABCD中，H是AD邊上--點，G在AD延長線上HFJ_BH交NCDG的平分線于點F,

求證：BH=HF.

證明：在AB上截取AM=AH,則可以證明aBMH應△HDF(ASA),因此結論成立.有學生在

嘗試中作FG_LAD延長線于G,然后努力證明△BAH^^HGF,卻發(fā)現(xiàn)沒有任何一組對應邊相

等！從結果看，本題附帶的結論是AH=DG但這個并不能直接得出.

本題的結論與H在AD上的位置無關，這一點對應于上面問題中兩個正方形的大小沒有特

殊要求，甚至可以相同.

解題研究712008-11-15]幾何計數

問題：3x4的網格中有多少個矩形？多少個正方形？

對于比較小的網格，可以用簡單的枚舉法獲得答案，但是如果問題變成mxn的網格呢？

枚舉法就很不方便，需要尋找更好的辦法.

觀察右圖，我們觀察網格的上底邊和左側邊，在上面任意各取一條線段，總能唯一地決

定某一個矩形網格，因此，圖中所有的矩形都與上底邊和左側邊上線段的組合一一對應，利

用乘法原理，對于3x4的網格，一共有(1+2+3/(1+2+3+4戶6x10=60個矩形.

以上結論可以推廣到mxn的情形，即在mxn的網格中，共有

mn{m+1)(〃+1)

(1+2+...+m)(1+2+...+n)=4

個矩形.

下面計算正方形的個數.先分類：lx]的正方形有mn個，2x2的正方形有(m-l)(n-l)個，3x3

的正方形有(m-2)(n-2)個，若mNn,則以上過程進行到nxn的正方形為止，共有

[m-(n-l)][n-(n-l)]=(m-n+l)個.簡記為1=0.

解題研究7[2008-11-18]好數

設某個n位正整數的n個數字是1,2,n的一個排列，如果它的前k個數字所組成的整

數能被k整除，其中k=l,2,...?n,那么就稱這個n位數為一個“好數”.例如，321就是一個“好

數”，因為1整除3,2整除32,3整除321.那么六位“好數”的個數有兒個？

分析：設為abed比則e=5力,e,7取自2,4,6.注意到3|。反，3\abcdef,因此嘗試得出＜/止456

或654.因此b=2.a、c只能取1和3.如果d=4,則4不整除1234或3214,因此只能d=6,有2個答案：

123654和321654.

總結一下：1位“好數”(1)；2位“好數”(12)；,3位“好數”(123,321)；4位“好數”不存在；5位

“好數”不存在(只要考慮3、4位的數字不能被4整除)；6位“好數”：(123654,321654).

解題研究8[2008-11-191梯形的一個問題

如圖，梯形ABCD中,AD〃BC,E是腰AB的中點，且DELCE.求證：(1)DC=AD+CB;(2)DE、

EC分別平分ND和NC.

取CD中點F,分別使用直角三角形的斜邊中線性質與梯形中位線性質，可以得出結論.

在梯形的前提下，E是腰AB的中點，現(xiàn)在列出3個結論：(1)DC=AD+CB；(2)DE、EC分別

平分ND和NC；(3)DE_LCE.我們可以選擇其中2個作為條件，并且推導出第三個.

僅有梯形的前提，如果給出(3)DE，CE；(1)DC=AD+CB,右圖可知，E不一定是AB中點,

從而(2)不一定成立.

注意到DE、EC是角平分線，因此讓4ADE沿著DE翻折過去，則A落在CD上，對4BCE

同樣操作，則A、B在CD上重合.讓整個圖形圍繞F旋轉180°,那么中間給出一個矩形，整個圖

形給出了一個用平行四邊形紙片折疊信封的方法.但是，用來折疊的平行四邊形紙片不能太隨

意，需要滿足AB=折痕CD才可以.

解題研究9[2008-11-19]中點四邊形問題

任意四邊形的重點四邊形是平行四邊形，當對角線相等時，中點四邊形是菱形；當對角

線互相垂直時，中點四邊形是矩形；同時滿足這兩條，則是一個正方形.當四邊形ABCD是凹

四邊形時，結論依然成立.甚至，當ABCD是一個交叉的四邊形時，結論仍然成立.

基于以上考慮，我們觀察由四點構成的“完全六點形”——它由4個點ABCD和6條線(四條

邊和兩條對角線)組成.同時取出這6條線的中點，某四個點可以構成一個平行四邊形，一共可

構成3個平行四邊形.這一事實包含了凸四邊形與凹四邊形兩種情況.

EG^-(BC+AD)

梯形的中位線性質EG〃BC且2.如果是一個交叉的“梯形”，相當于連接

EG=-(BC-AD)

梯形ADBC的對角線中點，那么2，一般的證明需要添加輔助線(比如延長AG

交BC于G).如果把AD、BC看做有向線段，那么以上結論可以統(tǒng)一起來.

也可以換一種眼光看待這個問題，固定BC,讓AD在空間扭轉180°,那么EL與LG在旋轉

過程中長度保持不變(分別等于BC、LG的一半)，但是夾角從180°變化到0,關于EG的表達式

中，由“+”變成立刻有上面的結論成立.

課堂教學不僅要教會解題，也要教學眼光和思想.

解題研究10【2008-11-25］四邊形的變身術

剪拼成平行四邊形：連接兩對對邊中點，分成4個小的四邊形，然后把DGIF、EBHI分別

圍繞G、E旋轉180°,把IHCF沿著向量CA平移即可.

剪拼成矩形：連接一對對邊中點E、F,從另一對對邊中點G、H分別向EF作垂線段GJ、

HI,如圖適當平移或旋轉即可.

變成平行四邊形變成矩形變成三角形

變成三角形：連接一組鄰邊中點EF,在EF上任意取點P,H、I為另外兩邊中點，連接PH、

PL分成4個小的四邊形，然后把DEPH、FBIP分別圍繞E、F旋轉180°,把PICH沿著向量CA

平移即可.

也可以用2個相同的四邊形拼成一個平行四邊形：讓aABC沿著向量BD平移到△GDH,

則ACHG為平行四邊形.

G

A

D

BC

解題研究11［2008-11-22］層出不窮

在圖示的圓周上，有1,2兩數，兩數和為3,第1次在兩個半圓的中點上寫相鄰兩數的平

均數，這些平均數和為3；第2次在4個小圓弧的中點上都寫相鄰兩數的平均數，這次寫的平均

數和是6；第3次在8個小圓弧的中點上都寫相鄰兩數的平均數，這次寫的平均數和是12；……

如此寫下去，直到寫了第2007次為止，此時圓周上所有數的和為.

［《時代學習報》第三屆數學文化節(jié)8年級第一試問題］

分析：利用圓周的對稱性，每產生一個新的平均數A,必有某一段圓弧上也產生相同的A,

即平均數都是成對出現(xiàn)的.而第每一次所有新的平均數之和，總等于算出這些平均數之前圓周

上本來所有的數字之和，因此，第幾次以后圓周上所有的數字之和為3-2"二當原始的數字不是

(1,2),而是他力)時，答案則為

解題研究1212008-12-3］不動點的幾個例子

(1)見“解題研究3”

(2)過四邊形ABCD的邊AD、BC的延長線交點P作任意直線EF,且EP=PF,求證：不論EF的

長度與位置如何，線段AE、BF的中點連線恒過某一定點.

分析：只要取AB中點J,則PMJN是平行四邊形(中點四邊形)，因此MN的中點與PJ的中點

重合，而PJ不動，因此是一個固定的點.

這個問題也可以作為“中點四邊形”的一個應用.

解題研究13【2008-12-5］它們都是45°

(l)4ABC中，NC=90°,M在BC上，月.BM=AC,N在AC上，月一AN=MC,AM與BN相交于點

P,求證：ZBPM=45°.

A

分析：平移AN到MG則有平行四邊形ANMG因此AM=CG.再證明△BMGgACM(SAS),從

而獲得ARGN為等腰直角三角形.命題獲證！

(2)Rt^ABC中，NC=90°,AE=AC,BC=BD.求NDCE的度數.(45°)

解題研究14[2008-12-8]幾個幾何不等式

(1)在銳角三角形ABC中最大高線AH等于中線BM,求證：ZB<60°,

-AH

分析：作MP，BC,MQ，ABWJMP=22，因此NMBC=30°,而AH為最大的高線，

因此QM<MP,NABM<30°,ZB<60°.

(2)任何三角形三個內角平分線的乘積必小于三邊的連乘積.

型

_______r=1

分析：借助于海倫公式，得至的=Jx)'z(x+y+Z)=?+y+z),因此內切圓半徑1x+y+z.

卜(x+z)(x+77(x+z)(y+z)

因止匕AO=11,BD+DC=x+y,而BD:DC=(x+y):(x+z),算出CD=2x+y+z，因

2x+y+zA0_2jx(x+z)(x+y)(x+yTIJ

此AD=2(X+〉+Z)2x+y+z

根據對稱性，其他兩條角平分線為：

2Jy(y+z)(x+y)(x+y+z)2Jz(x+z)(z+y)(x+y+z)

x+2y+zx+y+2z

因此命題為：

2Jx(x+z)(x+y)(x+y+z)2Jy(y+z)(x+y)(x+y+z)2Jz(x+z)(z+y)(x+y+z)

2x+y+zx+2y+zx+y+2z

<(x+y)(y+z)(z+x),

相當于8(*+y+z)ylxyz(x+y+z)<(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)(

即8P而五<(p+x)(p+y)(p+z),這可以由平均值不等式得到.

(3)設P是4ABC內任一點，求證：NPAB,ZPBC,NPCA中到少有一個不超過30°.

先證明角元形式的塞瓦定理：P是平面上一點，則sinrsiny-sinz=sina-sin/7-sinc

BD4。4。AOBDsinxsinC

BD=sin%?CD=sina?

根據sinxsin8，得sin8，同理sinC,因止匕DCsin。sin8，類似

地得出CE:EA和AF:FB,再利用塞瓦定理即得結論。

對于本題，若a,瓦。都大于30°,則左邊>1/8,此時0<x+y+z<90°,根據平均值不等式和Jensen

sinx+siny+sinz3.尤+y+z、3

不等式，sinx-siny-sinz<{3<Sm-3~<缶皿30°)3=1/8,矛盾！

(4)P是AABC內一點，求P^+P1+PC?的最小值。

這就是三角形的拉格朗日定理，參考單博主編：《數學名題詞典》P.351.

解題研究15[2008-12-18]一次函數的決策問題

題(1)A市和B市分別庫存某種機器12臺和6臺，現(xiàn)決定支援C市1。臺、D市8臺。已知從A

市調運一臺機器到C、D兩市的費用分別是400元和800元，從B市調運一臺機器到C、D兩市的

費用分別是300元和500元。

(1)若B市運往C市x臺機器，當18臺機器全部運完后，求總運費y關于x的函數關系式。

(2)若要求總運費不超過9000元，問有幾種調運方案？

(3)指出總運費最低的調運方案，最低運費是多少？

分析：根據題意，B市運往C市x臺，則B市運往D市(6-x)臺，A市運往C(10-x)臺，A運往

D(x+2)臺，因止匕總費用y=400(10-x)+800(x+2)+300x+500(6-x尸200x+8600.

若200x+8600W9000,貝iJxg2,x=0』,2.一共3種方案。

根據一次函數的增減性，y隨著x的增加而增加，因此當x=0時，費用最小，最低運費是8600

JLo

題(2)日照市是中國北方最大的對蝦養(yǎng)殖產區(qū)，被國家農業(yè)部列為對蝦養(yǎng)殖重點區(qū)域；貝

類產品西施舌是日照特產.沿海某養(yǎng)殖場計劃今年養(yǎng)殖無公害標準化對蝦和西施舌，由于受

養(yǎng)殖水面的制約，這兩個品種的苗種的總投放量只有50噸.根據經驗測算，這兩個品種的種

苗每投放?噸的先期投資、養(yǎng)殖期間的投資以及產值如下表：(單位：千元/噸)

品種先期投資養(yǎng)殖期間投資產值

西施舌9330

對蝦41020

養(yǎng)殖場受經濟條件的影響，先期投資不超過360千元，養(yǎng)殖期間的投資不超過290千元.設

西施舌種苗的投放量為x噸

(1)求%的取值范圍；

(2)設這兩個品種產出后的總產值為y(千元)，試寫出y與x之間的函數關系式，并求出當x

等于多少時，y有最大值？最大值是多少？

分析：本題考查學生一次函數、不等式組的綜合運用，由不等式組確定一次函數自變量

的取值范圍，根據一次函數的增減性確定y的最大值.

解：(1)設西施舌的投放量為x噸，則對蝦的投放量為(50-x)噸，

+4(50-%)<360,fx<32,

<<

根據題意，得：［3x+10(50-x)"290.解之，得：［xN30..匕。M32.

(2)y=30x+20(50-x尸lOx+1000.V10>0,隨x的增大而增大.

???30三爛32,:?當x=32時，y最大=10x32+1000=1320.

所以當%=32時，y有最大值，且最大值是1320千元.

題(3)抗震救災中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，決定將甲、乙兩個倉庫的糧食，

全部轉移到具有較強抗震功能的A、B兩倉庫。已知甲庫有糧食100噸，乙?guī)煊屑Z食80噸，而A

庫的容量為70噸，B庫的容量為110噸。從甲、乙兩庫到A、B兩庫的路程和運費如下表(表中

“元/噸?千米”表示每噸糧食運送1千米所需人民幣)：

(1)若甲庫運往A庫糧食%噸，請寫出將糧食運往A、B兩庫的總運費)’(元)與x(噸)

的函數關系式.

(2)當甲、乙兩庫各運往A、B兩庫多少噸糧食時，總運費最省，最省的總運費是多少？

解題研究16【2008-12-23】一次函數模型

⑴華氏溫度與攝氏溫度之間的換算：/=1衣+32,其中，/是華氏溫度，c是攝氏溫度。

(2)鵝鸚是小型、短胖、淺褐色的鳥類，多在沼澤、多石的荒原或灌叢捕食昆蟲?！肚f子?逍

遙游》說“鵝鸚巢于深林，不過一枝”，旨在說明以天地萬物之大，鵝鸚不過僅僅巢于一枝。

有人對它呼出的氣體的溫度T進行過測量，發(fā)現(xiàn)T與環(huán)境溫度，之間存在近似的一次函數關系：

T=8.51+0.756f,其中12°騙30°。

(3)人們發(fā)現(xiàn)，蟋蟀鳴叫的次數與環(huán)境溫度存在簡單的-次函數關系。設蟋蟀15秒內鳴叫

次數為環(huán)境溫度為華氏F,則F=a+40.這個式子很有趣，如此，我們可以利用蟋蟀在一定時

間內鳴叫的次數來計算環(huán)境溫度。

解題研究1712008-12-26］勾股定理的問題

(l)RtZ\ABC中，NACB=90°,CD是AB邊上的高，若AD=8,BD=2,求CD.

Aa

分析1：設CD=x,貝1」4°2=82+—,6。2=犬+2[而AC2+8C2=AB2,因此

2222

(8+X)+(X+2)=10\解出X=4.

該解法具有一般性，即若AD=a,BD=b,貝4類似可一得CD=J^。

-AB

分析2、作出斜邊AB的中線CE,則CE=2=5,而ED=5-2=3,則CD=4.

CD2=CE2-DE2=[-(a+b)]1-[-(a-b)]2=ab-八

若AD=a,BD=b,則22,因此。=而。

分析3、學習了相似三角形之后。利用射影定理立即可得結論。

(2)直角三角形ABC中，直角邊AC=8,BC=6,將BC沿著NB的平分線翻折，使C落在AB上的

點E處，求CD.

分析1、設CD=x，則DE=x,RtZ\DEA中，AD=8-x,AE=10-6=4,因此強一“二爐+4'解出

x=3.

分析2、用面積方法。設CD=x，則DE=x,考慮到5兇。+54180=52叱,即

6x+10x=6x8,因止匕x=3.

(3)4ABC中，AB=15,AC=20,BC邊上的高AD=12,求BC。

分析：本問題有2解，分別對應于aABC為對角三角形或銳角三角形。

一個類似的問題只是改變了個別數據，但是這種三角形不大好找，因為其邊長都是整數。

在aABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,求BC。

這里涉及一個問題：邊長為整數的非直角三角形，且有一邊的高線為整數(從而面積可能

為整數)。上面的問題給出了(7,15,20)一可以利用(3,4,5)設計出來，另一個同時給出了

(13,14,15)和(4,13,15)這兩個答案，面積分別是84和24.

另外2個例子是(9,10,17),(10,17,21),邊長為9或21的邊上的高為整數8,畫圖可以驗

證。

(4)RtZ\ABC中，NC=90°,D、E分別是BC、AC的中點，AD=15,BE=20,求AB.

分析：設CD=x,CE=y，則4/+*2=152,4*2+尸=2()2.相加得出5(5^^2)=625,因此/+X2=125,因

此ABZFb+xZAGOO,AB=1°6.

雖然可以求出X和y的值，但是沒有這個必要。這個問題可以“改裝”成如下的形式：①已

知直角三角形的兩條直角邊的中線，求斜邊的中線。

②已知直角三角形的兩條邊的中線，求第三條邊的中線。

但如果去掉“直角三角形''這個條件，以上問題不再有唯一解。事實上，根據三角形的帕

普斯(P叩pus)公式:AB2+AC2=2(AM2+BM2),其中BM為中線。該公式可以看作勾股定理的一個

2〃+2/—/

推廣?？梢該烁鶕切蔚倪呴L計算三角形的中線AM?：4

由帕普斯公式，對于非直角三角形，因為缺少了*Ac的一個等量關系，因此已知兩條

中線是不夠確定三角形的第三條中線的，否則這相當于確定了三角形的三邊。

解題研究1812008-12-26］拼圖問題

下列圖形可以適當剪拼之后變成一個正方形。

解法:

解題研究19【2008-12-26】勾股定理n問

(1)勾股定理的發(fā)現(xiàn)歷史有多久？

答：據現(xiàn)有史料記載，最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的是4000年前的古代巴比倫人?，F(xiàn)在被美國哥

倫比亞大學圖書館收藏的一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板上記載了15組勾股數，說明

當時的人們已經知道勾股定理。我國古代(約公元前1世紀)的算書《周髀算經》記載，公元前

一千多年中國古代就有“勾三股四弦五”之說，表明當時的中國人也知道了勾股定理。古希臘

數學家畢達哥拉斯研究過勾股定理，因此在西方勾股定理被叫做畢達哥拉斯定理。

(2)勾股定理的逆定理表明：如果下+七一,則三角形為直角三角形；如果辦/忿2,能確定三

角形的形狀嗎？

答：首先假定C是最大邊，如果。2+廿＞凡則三角形為銳角三角形；如果。2+.々2,則三角形

為鈍角三角形。

(3)在直角三角形的三邊上放置的正方形，如果換成另外一些幾何圖形，它們的面積之間

還存在等量關系嗎？

答:因為小一力,兩邊同時乘以一個正數鼠等式網熱/尸酎依然成立，這表明，只要保證

直角三角形的三邊上的圖形是相似圖形，比如：半圓、相似三角形、相似多邊形，等等，那

么依然有小的兩個面積之和等于最大圖形的面積，這一個性質經常用來設計一些有趣的問題

作為試題。

(4)勾股定理的證明有多少種？它們各有什么特點？

答：記載于歐兒里德的《兒何原本》的證明用到了全等三角形知識；最簡單的證明則借

助于“射影定理”；中國的三國時期數學家趙爽使用“弦圖”也很便捷；美國第20任總統(tǒng)加菲爾

德在擔任參議員的時候發(fā)明了一種“推到一個火柴盒''的證法，為后來的總統(tǒng)生涯增加了傳奇

色彩。眾多的證明方法多使用了“面積方法”，即通過不同的角度把某個圖形的面積計算兩次,

得出一個等式，化簡該等式的結果就是勾股定理。還有很多通過割補圖形(出入相補術)的方

法來證明，都很巧妙。其中有很多數學家的精巧設計。

解題研究20[2008-12-27]中考新題匯編

⑴在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數的點稱為整點.請你觀察圖中正方形

AIBIGDI、A2B2C2D2,A3B3c3D3,…，每個正方形四條邊上的整點的個數，推算出正方形

AIOBIOGODIO四條邊上的整點共有多少個？

(2)已知mN2,n”且m,n均為正整數，如果將初進行如下方式的“分解”，那么下列三個敘述:

①在2、的“分解”中最大的數是11；②在43的，，分解，，中最小的數是13；

③若疝的“分解”中最小的數是23,則m等于5.其