隨機變量及其分布

隨機變量及其分布

隨機變量的引入與例1

、例2

定義:

設隨機實驗的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值

函數,，X=X(e)為隨機變量。

說明

舉例與示意圖2.2

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§1

隨機變量

第2頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

§2離散型隨機變量及其分布

定義：若隨機變量的取值是有限個或可列

個，則稱之為離散型隨機變量。

說明

要掌握離散型隨機變量X的統計規(guī)律：

①知道X所有可能的取值;

②且知每一可能取值的概率。第3頁,共83頁，2024年2月25日，星期天分布律

定義：設離散型隨機變量X所有可能取值

為xk,且P{X=xk}=pk,k=1,2,…（2.1）

我們稱（2.1）式為離散型隨機變量X的分布律。由概率定義我們得到以下兩性質：

1.pk≧0,k=1,2,…（2.2）

2.(2.3)第4頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

分布律還可以用表格來表示：(2.4)

例1Xx1,x2,…xn,…pKp1,pK,…pn,…第5頁,共83頁，2024年2月25日，星期天離散型隨機變量

a.

(0—1)分布隨機變量X只可能取0與1兩個值，其分布律表格形式為：（0<p<1）表達式：P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1則稱X服從參數為p的(0—1)分布重要或兩點分布。（說明）X

01pk1-pp

第6頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

b.

伯努利實驗、二項分布

說明

舉例

一、伯努利實驗

定義：設實驗結果只有兩種可能，則稱為伯努利實驗。將伯努利實驗獨立地重復地進行n次，則稱這n次實驗叫n重伯努利實驗。第7頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

二、二項分布

定義：如果隨機變量X的分布如下：

P(X=k)=Cnkpkqn-k,k=0,1,2,…n.(2.3)

其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從參數為n,p的

二項分布，或用記號

來表示。二項分布的推導過程與說明

舉例（例2，例3，例4

）第8頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

C.泊松分布

定義：如果隨機變量X的概率密度如下：

,k=0,1,2,…(>0),(2.4)

則稱X服從參數為的泊松分布，記作：

說明

舉例

返回目錄第9頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

§3隨機變量的分布函數

定義： 設X是一個隨機變量，x是任意實數，函數：F(x)=P{X≦x}

稱為X的分布函數。說明基本性質舉例（例1，例2）

返回目錄第10頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

為了進一步用數學方法研究隨機實驗，我們把實驗結果與實數對應起來，即將實驗結果數量化，引入隨機變量的概念。

隨機實驗的結果很大部分直接與數值有關,如：產品抽樣中的次品數目，多次重復拋擲硬幣的實驗中出現正面次數等等。

而有的實驗結果與數值無直接關系，我們可以把它映射為數值來表示，如：硬幣拋擲中出現正面用“0”來表示，出現反面用“1”來表示。第11頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例1：在一袋中裝有編號分別為1，2，3的3只球，在袋中任取一只球，放回，再取一只球，記錄它們的編號。考察兩只球的編號之和。則實驗的樣本空間S={e}={(i,j)}i,j=1,2,3。i,j分別為第一，第二次取到球的號碼。以X表示兩球號碼之和，得到樣本空間的每一個樣本點e，X都有一值與之對應，如圖2-1。第12頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例2：拋擲一硬幣3次，考查3次拋擲中，出現H的總次數，并記為X。引用第一章§2的表示法，可得樣本空間與X的取值的對應關系，如下表：

樣本點HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110第13頁,共83頁，2024年2月25日，星期天此前例1，例2中的X均為隨機變量。

例3：某射手每次打中目標的概率為0.8，該射手不斷向目標射擊，直到打中目標為止，則此手所需射擊次數X是一隨機變量。

例4：某車站每間隔5分鐘有一公共汽車經過。若某人隨機到達此站，則他等車的時間X是一隨機變量。

例5：某元件的可能壽命X是一隨機變量。

例6：一新生嬰兒的性別記為X，當是男嬰取X為1，當為女嬰時取X為0，則未出生前此嬰兒的性別X為隨機變量。第14頁,共83頁，2024年2月25日，星期天實值單值函數的映射不是指單射，而是相對于多值函數的一般映射。

嚴格定義中“集合{e|X(e)≦x,任x∈R}有確定的概率”應加入定義。但實際中不滿足此情形很少見，固未加入定義。

本書中，一般大寫：X，Y，Z,W，…表隨機變量，小寫：x,y,z,w，…表實數。更多第15頁,共83頁，2024年2月25日，星期天隨機變量取值隨實驗結果而定，在實驗之前不能預知它的結果,且其取值都有一定的概率,固與一般函數有本質區(qū)別。L為一實數集，X在L上取值記為{X∈L},它表示事件B={e|X(e)∈L},即B是S中使所有樣本點e所組成的事件，此時有P{X∈L}=P(B)=P{e|X(e)∈L}。如：在例2中取X為2，記為{X=2}，它表事件B={HHT,HTH,THH},P{X=2}=P(B)=

P{HHT,HTH,THH}=3/8。第16頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

例1：設一汽車在開往目的地的道路上要經四組信號燈,每組信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈組數（設各組信號燈的工作相互獨立），求X的分布律。

分析：在第i(1,2,3,4)組信號燈前停下時，通過的信燈數為i-1且此事件發(fā)生的概率為(1/2)i-11/2(因子(1/2)i-1表示前i-1個允許通過的概率，因子1/2表示被第i個禁止通過的概率)，同理，能到達目的地的概率為(1/2)4。（解答）第17頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

解：以p表示每組信號燈禁止汽車通過的概率，X所有可能取值為0，1，2，3，4。得X的分布律為：P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4。用表格表示如下：代入p=1/2可得結果，可驗證此結果滿足分布律兩性質。X01234pk

p(1-p)

p

(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

第18頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

說明：

凡是可以用自然數1，2，…編號的無限數集均為可列的。如某城市120服務臺一日內可能收到的呼喚次數是可列的，是一個離散型隨機變量。但一燈泡可能的壽命大小卻是不可列的，不是離散型隨機變量。第19頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

說明：任一實驗，若結果只有兩個即S={e1,e2},則總可定義：X=X(e)=，顯然X服從(0—1)分布。比如新生嬰兒是男還是女，明天是否下雨，拋一硬幣是否出現正面等。第20頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

說明：

記P()=p(0<p<1),則P()=1-p。n重伯努利實驗定義中“重復”是指每次實驗中發(fā)生的概率不變?！蔼毩ⅰ笔侵父鞔螌嶒灮ゲ挥绊?。記第i次實驗結果為ci,ci為，i=1,2,3,…n.由獨立得到：P{c1,c2,…cn}=p(ci)p(c2)…p(cn).(2.5)

n重伯努利實驗是一個很重要的數學模型，有二項分布，幾何分布，巴斯卡分布等常見分布以它為模型。第21頁,共83頁，2024年2月25日，星期天舉例拋擲一個硬幣觀察正面反面，就是一個伯努利

實驗。若拋擲n次就是n重伯努利實驗。拋擲一顆骰子，可得到6個點數，但是若我們考

察結果是否為“1點”與“非1點”，則就是一個伯努利

實驗。若拋擲n次就是n重伯努利實驗。在一批產品中，若做n次放回抽樣，觀察得到的

產品是否為次品,則為n重伯努利實驗;若做n次不

放回抽樣，由于各次實驗不相互“獨立”，故不是n

重伯努利實驗。但是若此批產品的數目很大，抽

出的數目相對很小，則此時不放回抽樣可看作放

回抽樣,如此n次不放回抽樣也是n重伯努利實驗第22頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

例2：按規(guī)定，某種型號的電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品。已知某一大批產品的一級品率為0.2，現在從中隨機地抽取20只。問20只元件中恰有k只（k=0,1,…，20）為一級品的概率市多少。

分析：這是不放回抽樣。由于元件總數很大，而抽取的元件數量相對很少，檢查20只元件相當于做20重伯努利實驗。記X表抽取的20只元件中一級品的個數，則：（解答）第23頁,共83頁，2024年2月25日，星期天解：以X表示20只元件中一級品的個數。則。將結果列表如下：P{X=0}=0.012P{X=1}=0.058P{X=2}=0.137P{X=3}=0.205P{X=4}=0.218P{X=5}=0.175P{X=6}=0.109P{X=7}=0.055P{X=8}=0.022P{X=9}=0.007P{X=10}=0.02

P{X=k}<0.001,當k≥11時第24頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

例3：

某人進行射擊，設每次射擊的命中率為0.02，獨立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。

分析：400次射擊可看成400重伯努利實驗。擊中的次數。“至少擊中2次”等價于“擊中次數不是0或1次”。（解答）

結論：a.決不可輕視小概率事件。b.當所求事件的概率很小或很大時，可以根據實際推斷原理來判斷實驗的假設。第25頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

解：設擊中次數為X，則，

即：所求事件概率：

P{X≥2}=1－P{X=0}－P{X=1}=1－(0.98)400－400(0.02)(0.98)399

=0.9972第26頁,共83頁，2024年2月25日，星期天分析:

對第一種方法，“不能及時維修”等價于“4人中任1人負責的20臺中有2臺或2臺以上的設備發(fā)生故障”。對第二種方法，“不能及時維修”等價于“80臺中有4臺或4臺以上的設備發(fā)生故障”。（解答）例4：設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率是0.01，且一臺設備的故障能由一個人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4個人維護，每人負責20臺；其二是由3人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維護的概率大小。第27頁,共83頁，2024年2月25日，星期天解答：對第一種方法.以Ai(i=1,2,3,4,)表示“第i人維護的20臺機器中發(fā)生故障不能及時維修”。則第一人維護的20臺中同時刻發(fā)生故障的臺數則發(fā)生故障不能及時維修的概率為（轉下頁）

第28頁,共83頁，2024年2月25日，星期天對第二種方法.80臺中同時刻發(fā)生故障的設備臺數 則發(fā)生故障不能及時維修的概率為比較第一、第二種方法。第二種方法雖然平均個人任務更重，工作效率卻更高。

第29頁,共83頁，2024年2月25日，星期天分析：由分布函數定義，可根據隨機變量X的分布律求出分布函數。再由隨機變量落在任一區(qū)間上的概率與其分布函數的關系[如(3.1)]易求解。（解答）（結論）例1：設隨機變量X的分布律為求X的分布函數，并求P{X≤1/2}，P{3/2<X≤5/2}，P{2≤X≤3}。X-123pk1/41/21/4第30頁,共83頁，2024年2月25日，星期天解：X僅在x=-1,2,3三點的概率≠0，根據分布函數定義及概率的有限可加性：即：F(x)的圖形如圖2—5，是一條階梯形曲線，有x=-1,2,3三個跳躍點，跳躍值分別為1/4，1/2，1/4。（轉下頁）第31頁,共83頁，2024年2月25日，星期天由分布函數定義：P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4,P{3/2<X≤5/2}=F(5/2)－F(3/2)=3/4－1/4=1/2,P{2≤X≤3}=F(3)－F(2)＋P{X=2}=1－3/4＋1/2=3/4.結論：對已知離散型隨機變量X的分布律：P{X=xk}=pk,k=1,2,…由概率的可列可加性可得出X的分布函數：F(x)=P{X≤x

}=(3.2)它在x=x(k=1,2,…)處有跳躍點，跳躍值為P{X=xk}=pk。第32頁,共83頁，2024年2月25日，星期天分析：由題目已知可得:1.隨機變量X的實際取值范圍為[0，2]，故F(x)=0,x<0；F(x)=1,x≥2；

2.p{0≤X≤x}=kx2,其中k待定且0≤x≤2；

3.p{0≤X≤2}=1（必然事件概率為1）。由1,2,3三點易求X的分布函數。（解答）（結論）例2：

一個靶子是半徑為2米的圓盤，射擊中靶上任一個同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設射擊都能中靶，以X表示彈著點與圓心的距離，試求隨機變量X的分布函數。第33頁,共83頁，2024年2月25日，星期天解：由于隨機變量X的實際取值范圍為[0，2]，當x<0時,F(x)=0；當x≥2時，F(x)=1；當0≤x≤2時，P{0≤X≤x}=kx2,其中k待定。由于X必然落在[0，2]上，必然事件概率為1，所以p{0≤X≤2}=1=22k,故k=1/4。此時F(x)=P{X≤x}=P{X<0}+P{0≤X≤x}=F(0)+1/4x2=1/4x2

。綜上所述：第34頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

F(x)圖形是一個連續(xù)曲線如圖2—6所示。

F(x)還可寫成以下形式：其中

F(x)恰是非負函數f(t)在區(qū)間(-∞,x]上積分，此時，我們稱X為連續(xù)型隨機變量。第35頁,共83頁，2024年2月25日，星期天基本性質：F(x)是一個增函數.0≤F(x)≤1且

3.F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的.

證明性質1，2，3分別要利用概率的：1.非負性，2.規(guī)范性，3.可列可加性.故分布函數的三個基本性質正好對應于概率的三個基本性質。第36頁,共83頁，2024年2月25日，星期天證明：第37頁,共83頁，2024年2月25日，星期天分布函數F(x)表示事件{X≤x}(即X的取值落在區(qū)間(－∞,x]上)的概率。對于任意實數x1,x2(x1<x2)，有

p{x1<X≤x2}=p{X≤x2}－p{X≤x1}

=F(x2)－F(x1)。(3.1)已知X的分布函數，就能知道X落在任一區(qū)間

(x1,x2]上概率，分布函數完整描述了隨機變量的統計規(guī)律性。通過分布函數，我們能更進一步利用數學分析方法研究隨機變量。第38頁,共83頁，2024年2月25日，星期天二項分布的數學背景

在n重伯努利實驗中，p為事件A在每次實驗中發(fā)生的概率，定義隨機變量X為：“n重伯努利實驗中事件A發(fā)生的次數”，此時X所滿足的分布律就是二項分布。公式中參數n,p分別表示伯努利實驗的重數，事件A發(fā)生的概率。當n=1時，二項分布退化為

P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1.

成為（0—1）分布。（轉下頁）第39頁,共83頁，2024年2月25日，星期天二項分布分表達式中Cnkpkqn-k剛好是二項式(p+q)n的展開式中出現的pk那一項，故稱X服從參數n,p為的二項分布。X所有可能取值為0，1，2，…，n。顯然

1.P{X=k}≥0，k=0,1,2,…n;

二項分布滿足分布律兩性質。第40頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

求P{X=k}，即是求n重伯努利實驗中事件A發(fā)生k次的概率。事件A發(fā)生k次的實驗的可能方式有種，它們是兩兩互不相容的，且每種發(fā)生的概率相同。由于各次實驗相互獨立,故每種方式發(fā)生的概率為:pk(1－p)n-k。記q=1－p，即有：第41頁,共83頁，2024年2月25日，星期天為泊松

分布參數且必大于0；X所有可能取值為0，1，2，…；易證

1.P{X=k}≥0，k=0,1,2,…n;

滿足分布律性質。k=0時P{X=k}取最大值;當

以k與P{X=k}分別作為橫縱軸的圖形呈“峰”形。第42頁,共83頁，2024年2月25日，星期天現已發(fā)現許多隨機現象服從泊松分布。這情形特別集中在兩個領域中。一是社會生活中：如電話交換臺中收到的呼叫次數，公共汽車站到來的乘客數，某地區(qū)某時間間隔內發(fā)生的交通事故等等。二是物理學領域：放射性物質經過某區(qū)域的質點數，熱電子的發(fā)射，顯微鏡下某區(qū)域的微生物或血球數目等等。因此，泊松分布在運籌學，管理科學，物理學等方面有重要地位。第43頁,共83頁，2024年2月25日，星期天back第44頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

§4連續(xù)型隨機變量及其概率概布

定義概率密度的性質注意幾種重要的連續(xù)型隨機變量

1）均勻分布

2）指數分布

3）正態(tài)分布

第45頁,共83頁，2024年2月25日，星期天定義：

若對隨機變量的分布函數F(x)，存在非負數f(x)，使對于任意實數x有

(4.1)

則稱X為連續(xù)型隨機變量。其中f(x)稱為的概率密度函數。返回第46頁,共83頁，2024年2月25日，星期天定義：

若對隨機變量的分布函數F(x)，存在非負數f(x)，使對于任意實數x有

(4.1)

則稱X為連續(xù)型隨機變量。其中f(x)稱為的概率密度函數。返回第47頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

解:

(1),

(2),(3)第48頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

注意：1改變f(x)的個別值并不影響F(x)的取值。

2P{x1<X≤x2}表示在區(qū)間(x1,x2]上曲線y=f(x)之下的曲邊梯形的面積.第49頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3P{x<X≤x+△x}≈f(x)△x

4P{X=a}=0,其中a為任意實數。

5P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X≤b}.返回第50頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（一）均勻分布

1定義：連續(xù)型隨機變量X具有概率密度

則稱X在(a,b)上服從均勻分布，

記為：

X～U(a,b).

幾種重要的連續(xù)型隨機變量2分布函數

F(x)=第51頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

3性質：X落在(a,b)中任意等長度的子區(qū)間上的等可能性相同。對任意L，若a≤c<c+L≤b,即在長度為L的子區(qū)間（c,c+L）上有

P{c<X≤c+L}=

4例題2返回第52頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（二）指數分布1

定義：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

其中為常數，則稱X服從參數為的指數分布。2分布函數

返回第53頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

3性質：指數分布的無記憶性對于任意s,t>0,有P{X>s+t|X>s}=P{X>t}證明：P{X>s+t|X>s}=P{X>s+t,X>s}/P{X>s}=P{X>s+t}/P{X>s}=[1-F(s+t)]/[1-F(s)]=

=P{X>t}.

第54頁,共83頁，2024年2月25日，星期天1定義：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

(4.1)

其中為常數，則稱X服從參數為的

正態(tài)分布或高斯分布，記為X~N()。2分布函數

F(X)=（三）正態(tài)分布返回第55頁,共83頁，2024年2月25日，星期天(1)f(x)≥0

(2)

(3)曲線關于x=對稱。3正態(tài)分布概率密度的性質(4)當x=取得最大值

(5)改變對圖形的影響。（制圖）第56頁,共83頁，2024年2月25日，星期天4標準正態(tài)分布若X~N(),當

則稱X服從標準正態(tài)分布。5

定理

若X~N（），則Z=

Z~N（0，1）。

第57頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

6標準正態(tài)分布的性質及應用

第58頁,共83頁，2024年2月25日，星期天（3）3法則（4）標準正態(tài)分布的分位點（定義）

返回目錄第59頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

例3將一溫度調節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內，調節(jié)器整定在液體的溫度（以計）是一個隨機變量，且XN（d,0.5)（1）若d=90,求X小于89的概率。

（2）若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99,問至少為多少？

求解第60頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

（1）P{X<89}第61頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

(2)

第62頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第63頁,共83頁，2024年2月25日，星期天返回第64頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第65頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第66頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第67頁,共83頁，2024年2月25日，星期天定義：設X~N（0，1），若滿足條件

則稱點為標準正態(tài)分布的分位點。（圖形）0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282例如：第68頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

§5隨機變量的函數的分布離散型隨機變量的函數分布連續(xù)型隨機變量的函數概率分布定理第69頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

離散型隨機變量的函數分布