理論力學(xué)基礎(chǔ)概念

靜力學(xué)基礎(chǔ)

靜力學(xué)是研究物體平衡一般規(guī)律的科學(xué)。這里所研究的平衡是指物體在某一慣性參考系下處于靜止?fàn)顟B(tài)。物體的靜止?fàn)顟B(tài)

是物體運(yùn)動(dòng)的特殊形式。根據(jù)牛頓定律可知，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化取決于作用在物體上的力。那么在什么條件下物體可以保持

平衡，是一個(gè)值得研究并有廣泛應(yīng)用背景的課題，這也是靜力學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容。本章包括物體的受力分析、力系的簡(jiǎn)化、剛

體平衡的基本概念和基本理論。這些內(nèi)容不僅是研究物體平衡條件的重要基礎(chǔ)，也是研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)。

一、力學(xué)模型

在實(shí)際問(wèn)題中，力學(xué)的研究對(duì)象（物體）往往是十分復(fù)雜的，因此在研究問(wèn)題時(shí)，需要抓住那些帶有本質(zhì)性的主要因素，而略

去影響不大的次要因素，引入一些理想化的模型來(lái)代替實(shí)際的物體，這個(gè)理想化的模型就是力學(xué)模型。理論力學(xué)中的力學(xué)模型

有質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體和剛體系。

質(zhì)點(diǎn)：具有質(zhì)量而其幾何尺寸可忽略不計(jì)的物體。

質(zhì)點(diǎn)系：由若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。

剛體：是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，該質(zhì)點(diǎn)系中任意兩點(diǎn)間的距離保持不變。

剛體系：由若干個(gè)剛體組成的系統(tǒng)。

對(duì)于同一個(gè)研究對(duì)象，由于研究問(wèn)題的側(cè)重點(diǎn)不同，其力學(xué)模型也會(huì)有所不同。例如：在研究太空飛行器的力學(xué)問(wèn)題的過(guò)

程中，當(dāng)分析飛行器的運(yùn)行軌道問(wèn)題時(shí)，可以把飛行器用質(zhì)點(diǎn)模型來(lái)代替；當(dāng)研分析飛行器在空間軌道上的對(duì)接問(wèn)題時(shí)，就必

須考慮飛行器的幾何尺寸和方位等因素，可以把飛行器用剛體模型來(lái)代替。當(dāng)研究飛行器的姿態(tài)控制時(shí)，由于飛行器由多個(gè)部

件組成，不僅要考慮它們的幾何尺寸，還要考慮各部件間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此飛行器的力學(xué)模型就是質(zhì)點(diǎn)系、剛體系或質(zhì)點(diǎn)系與

剛體系的組合體。

二、基本定義

力是物體間相互的機(jī)械作用，從物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和物體的形狀上看，力對(duì)物體的作用效應(yīng)可分為下面兩種。

外效應(yīng)：力使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。

內(nèi)效應(yīng)：力使物體的形狀發(fā)生變化（變形）。

對(duì)于剛體來(lái)說(shuō)，力的作用效應(yīng)不涉及內(nèi)效應(yīng)。剛體上某個(gè)力的作用，可能使剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，也可能引起剛體上

其它力的變化。

圖1一1

例如一?重為WKJ箱子放在粗糙的水平地面上（如圖ITa所示），人用力水平推箱子，當(dāng)推力F為零時(shí)，箱子靜止，只受重

力V和地面支悻力「\可，方房7的作用。當(dāng)推力由小逐步增大時(shí)，箱子可能還保持靜止?fàn)顟B(tài)，但地面作用在箱子上的力就不僅

僅是支撐力，還要有摩擦力廠“，尸”的作用（如圖i-m.隨著推力的逐步增大，箱子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就會(huì)發(fā)生變化，箱子可能

平行移動(dòng)，也可能繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，或既有移動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)。

靜力學(xué)就是要研究物體在若干個(gè)力作用下的平衡條件。為此，需要描述作用于物體上力的類型和有關(guān)物理量的定義等。

力系：作用在物體上若干個(gè)力組成的集合，記為｛尸］,/2，一.，?“｝。

力偶：一種特殊的力系，該力系只有兩個(gè)力構(gòu)成｛b，戶'｝,其中尸=一尸'大小相等，方向相反），且兩個(gè)力的作用線

不重合，有時(shí)力偶也用符號(hào)M表示，如圖1-2所示。

(a)(b)

圖1-2

等效力系：若力系｛尸-尸2，,一，?“｝和力系｛尸|,尸2,,一，P"J對(duì)同一剛體產(chǎn)生相同的作用效果（運(yùn)動(dòng)、約束力等），

稱這兩個(gè)力系是等效力系,記為｛居,尸2,…，尸"｝=｛尸1，尸2,…，P,”｝，

平衡力系：不產(chǎn)生任何作用效果的力系。

例如一個(gè)剛體上沒(méi)有力的作用并且在慣性系下處于靜止，那么這個(gè)剛體將永遠(yuǎn)保持靜止?fàn)顟B(tài)；若這個(gè)剛體在某個(gè)力系作用

下仍然保持靜止，這樣的力系就是平衡力系。由于平衡力系作用的效果與沒(méi)有任何力作用的效果相同，所以平衡力系也稱為零

力系。通常平衡力系表示成｛尸］,尸2,,…，尸"｝=｛0｝。

合力：與一個(gè)力系等效的力稱為該力系的合力。記為｛戶R｝Q｛尸尸2,?一，尸，,｝

如力居＜是力系｛居，/2,…，KJ的合力，則力耳（，=1,…，〃）稱為尸R的分力。將一個(gè)力系用其合力來(lái)代替

的過(guò)程稱為力的合成，將合力代換成兒個(gè)分力的過(guò)程稱為力的分解。

矢量矩：設(shè)A是一個(gè)矢量，r是由參考點(diǎn)0gq矢量A始端的矢徑（如圖17a所示），矢量A對(duì)O點(diǎn)的矩定義為：

Mo=Mo（A）^rxA

圖1-3

由上式可以看出，矢量矩也是一個(gè)矢量。應(yīng)用矢量矩的概念，如果把矢量A置換成力的矢量F*,r是由o點(diǎn)到力的作

用點(diǎn)的矢徑（如圖1Tb所示），就可以得到力對(duì)o點(diǎn)之矩的定義。

力對(duì)o點(diǎn)的矩：Mo=Mo（F）=rxF。

設(shè)｛"i，K，???，凡,）是作用在某一剛體上的力系，力系的主矢和對(duì)o點(diǎn)的主矩定義成：

F

主矢：R=EF--主矩：Mo=Er，xF/

i=li=l

一般情況，力系對(duì)不同點(diǎn)的主矩是不相同的，設(shè)M,［和MB分別是力系對(duì)任意兩點(diǎn)AB的主矩，若用%A表示從B

點(diǎn)到A點(diǎn)的矢徑，根據(jù)主矢和主矩的定義，利用矢斑運(yùn)算可以推導(dǎo)出的下列關(guān)系：

%=此+小&（1_3

當(dāng)力系給定后，力系的主矢是一個(gè)不變量，稱為第一不變量.力系對(duì)某一點(diǎn)的主矩隨著取矩點(diǎn)的不同而變化，并有關(guān)系式

（1-2）,將該式兩邊點(diǎn)積力系的主矢尸R可得

M9FM

BR=A*FR+（rBAxFR）?FR=MA^FR

由于A碗任意兩點(diǎn)，這說(shuō)明力系對(duì)任意一點(diǎn)的主矩與力系主矢的點(diǎn)積是一個(gè)不變量，這個(gè)僦稱為第二不變量。

力偶｛尸，尸'｝是一種特殊的力系（如圖1—2所示），這個(gè)力系的主矢尸R三0,由（1—2式可知，力偶對(duì)任意點(diǎn)的主

矩都是相同的。因此我們把力偶對(duì)任意一點(diǎn)的主矩稱為力偶矩，力偶矩的矢量運(yùn)算可根據(jù)力系對(duì)某點(diǎn)幽主矩定義得到：

M°=rAxF+rBxF'=rBAxF（

三、靜力學(xué)公理

靜力學(xué)公理是從實(shí)踐中得到的，是靜力學(xué)的基礎(chǔ)。根據(jù)這些公理并利用數(shù)學(xué)工具可以推導(dǎo)出力系的平衡條件。

公理一（二力平衡原理）剛體在二個(gè)力作用下平衡的充分必要條件是此二力大小相等，方向相反，作用線重合。該原理還

可表示成｛居，尸2）=｛0｝。

對(duì)于剛體，二力平衡原理總是成立的，但對(duì)于非剛體（變形體或某些剛體系）則不一定成立。例如圖ITa所示的系統(tǒng)，在

A8兩點(diǎn)作用有等值、反向、共線的兩個(gè)力，當(dāng)這兩個(gè)力的大小均為/=與sin汝（其中瓦），。為常值）時(shí)，此時(shí)系

統(tǒng)是不平衡的，因?yàn)榧词瓜到y(tǒng)的初始狀態(tài)是靜止的，那么在這兩個(gè)力的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化。如果把彈簧換為

剛性連桿（圖則系統(tǒng)可視為一?個(gè)剛體。在這兩個(gè)力的作用下，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化（若初始靜止，在這個(gè)力系

的作用下還將保持靜止）。

(a)(b)

圖1一4

公理二（加減平衡力系原理）在作用于剛體上的任意力系中，加上或減去任何平衡力系，都不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效應(yīng)。

該原理可表示成：

若他,尸2,…3｝0｛0｝，則｛居，尸2,…，"｝O/，K，…，尸.，尸1，尸2,…，匕｝

公理三（力的平行四邊形合成法則）作用在物體上某一點(diǎn)的兩個(gè)力可以用作用在該點(diǎn)的一個(gè)合力來(lái)代替，此合力的大小和

方向可由這兩個(gè)力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)確定。

公理四（作用與反作用定律）任何兩個(gè)物體間的相互作用力總是同時(shí)存在，并且等值、反向、共線，分別作用在兩個(gè)物體

上。

公理四實(shí)際上就是牛頓第三定律，該定律與參考系的選取無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，對(duì)于慣性參考系和非慣性參考系，公理四都是

成立的。

公理五（剛化原理）變形體在某一力系作用下處于平衡時(shí)，如將該變形體剛化為剛體，則平衡狀態(tài)保持不變。

圖l-4a所示系統(tǒng)，如果在兩個(gè)力作用下處于平衡，那么若使彈簧剛度系數(shù)女7十°°,也就是將彈簧換成剛性桿（如

圖1Tb所示），系統(tǒng)仍然可以保持平衡。但反之不成立。公理五說(shuō)明，剛體的平衡條件，只是變形體平衡的必要條件，而不是

充分條件。

上述5個(gè)公理中，有些對(duì)剛體是成立的，有些對(duì)物體是成立的，對(duì)物體成立的公理對(duì)剛體一定成立，反之則不然。

四、約束與約束力

工程中的一些物體可在空間自由運(yùn)動(dòng)，這些物體稱為自由體，例如空中的飛機(jī)、衛(wèi)星等。另一些物體其運(yùn)動(dòng)受到某些限制，

這些物體稱為非自由體，如跑道上的飛機(jī)、公路上的汽車、鐵道上的火車等。

約束：限制物體運(yùn)動(dòng)的條件。

構(gòu)成約束的物體稱為約束體，約束體對(duì)物體的作用力稱為約束力。那些大小和方向與約束無(wú)關(guān)的力稱為主動(dòng)力。

工程中常見(jiàn)的約束有柔索類約束、光滑面約束、各種錢鏈約束、二力桿約束和固定端約束等。不同類型的約束，對(duì)物體運(yùn)

動(dòng)的限制條件則不同，所產(chǎn)生的約束力的方向也有所不同，如繩索產(chǎn)生的約束力是沿著繩索的方向，且只能受拉力；..力構(gòu)件

產(chǎn)生的約束力的方向是沿二力構(gòu)件上兩個(gè)力的作用點(diǎn)的連線，既可以受拉力也可以受壓力；除滑動(dòng)較鏈支座外，較鏈的約束力

的方向是不能確定的；固定端的約束力實(shí)際上是一個(gè)分布力（可簡(jiǎn)化成一個(gè)力和一個(gè)力偶）。掌握各種類型約束的特點(diǎn)，畫(huà)出研

究對(duì)象的受力圖，是研究力學(xué)問(wèn)題包括靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)）的必要基礎(chǔ)。值得注意的是，約束力（或力偶）是根據(jù)約束類型的特

點(diǎn)畫(huà)的，除繩索和光滑面約束外，僅根據(jù)約束類型的特點(diǎn)，無(wú)法確定約束力（或力偶）的具體方向，更不能確定其大小，只有

利用平衡原理或平衡條件才能最終確定它們的大小和方向。

五、靜力學(xué)定理

在此，我們把由靜力學(xué)中的定義和公理（或定律）推出的一些結(jié)論稱為定理。

定理1作用在剛體上的力沿其作用線移動(dòng)到任一點(diǎn)，不改變其作用效應(yīng)。

這個(gè)定理實(shí)際上是公理一和公理二的推論。對(duì)于物體，力的作用效應(yīng)與力的三要素（大小、方向和作用點(diǎn)）有關(guān)。根據(jù)定

理1可知，作用在剛體上的力，其三要素是力的大小、方向和作用線，力對(duì)剛體的作用效應(yīng)則與這三個(gè)要素有關(guān)。對(duì)同一個(gè)剛

體而言，力的三個(gè)要素不同，力的作用效應(yīng)也就不同。力可以用矢量尸表示為

F=Fj+Fyj+F*F=||F||=飆+F；+F；

FFF

cosa-cos0—,cos/=—

F，F(xiàn)，F(xiàn)

其中,￡為力在xy,z軸上的投影，/或||尸||表示力矢量的模，。，/，7為力矢量與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角。因

此，力這個(gè)矢量的?？梢员硎酒浯笮?，矢量的方向可以用來(lái)表示力的方向（指向），但不能確定作用線的位置，還應(yīng)該用另它一

個(gè)量來(lái)確定力的作用線。

力矢量尸和力對(duì)o點(diǎn)之矩M.（尸）是力對(duì)剛體作用效應(yīng)的度量。給定了矢fftF,就能確定力的大小和指向，再給定剛體

在空間的位置和取矩點(diǎn)。的位置后，根據(jù)矢量就可以確定力的作用線（無(wú)論力的作用點(diǎn)是作用線上的哪一點(diǎn)，力對(duì)

0點(diǎn)的矩都是不變的，如圖1-5所示）。

圖1-5

定理2（合力矩定理）設(shè)作用在剛體上的力系｛尸］,尸2，,一，1'”｝存在合力戶什，則有：

也（&）=￡必（月）

1=1

定理3（力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩的關(guān)系定理）力對(duì)某一軸的矩等于力對(duì)這一軸上任一點(diǎn)之矩在該軸上的投影。

在數(shù)學(xué)上有這樣的定理，即某一矢量對(duì)任意軸的矩等于該矢量對(duì)這一軸上任一點(diǎn)之矩在該軸上的投影。定理3只是這個(gè)定

理在力學(xué)中的一個(gè)應(yīng)用，同樣在研究動(dòng)量矩時(shí)，也會(huì)有類似的應(yīng)用。

定理4（力的平移定理）作用于剛體上任意一點(diǎn)的力可平移到剛體上其它任何一點(diǎn)，若不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)，必須增加

一個(gè)附加力偶，其力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)的矩。

定理5（力系等效定理）作用于剛體上的兩個(gè)力系｛b|,戶2，???，尸〃｝和｛尸I，尸2，???，尸〃J等效的條件是：

n"Inm

（號(hào)）

Z=1J=11=1j=l

該定理可根據(jù)牛頓定律和有關(guān)力系等效的定義推導(dǎo)出來(lái)。實(shí)際上該定理是力系等效的基本定理，定理1和定理4都可由該

定理推導(dǎo)出來(lái)。由定理5還可以推導(dǎo)出力偶的等效條件，由于力偶是一個(gè)特殊的力系，它的主矢恒等于零，而且對(duì)任意一點(diǎn)的

主矩也相同，因此可由定理5推出力偶等效的條件。

定理6（力偶等效條件）作用于剛體上的兩個(gè)力偶等效的條件是它們的力偶矩相等。

由這個(gè)定理可以得到力偶的下列性質(zhì)。

力偶的性質(zhì)：

性質(zhì)一力偶不能與一個(gè)力等效（即力偶無(wú)合力），因此也不能與一個(gè)力平衡。

性質(zhì)二力偶可在其作用面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，或平移到另一平行面上，而不改變對(duì)剛體的作用

效應(yīng)如圖l-6ab所示）。

性質(zhì)三若改變力偶中的力和力偶臂的大小，而不改變力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小，

則力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)不會(huì)改變（如圖ic所示，其中=F&）。

(C)

圖1-6

定理7（三力平衡定理）作用于剛體上的三個(gè)力若平衡，則這三個(gè)力的作用線必'共面，或是平行，

或是相交于一點(diǎn)。

由該定理可推出這樣的結(jié)論：作用于剛體上共面的三個(gè)力若平衡，如果它們不平行，則必匯交于一點(diǎn)。

六、力系的簡(jiǎn)化

作用在剛體上力系｛尸1，尸2，?一，方“｝向某一點(diǎn)/簡(jiǎn)化實(shí)際上是確定一個(gè)與原力系等效的簡(jiǎn)化力系，這個(gè)簡(jiǎn)化力系一

般由一個(gè)作用線通過(guò)簡(jiǎn)化點(diǎn)A的力和一個(gè)力偶構(gòu)成，這個(gè)力的大小和指向由原力系的主矢FR確定，而這個(gè)力偶的力偶矩由原

力系對(duì)砥的主矩MA來(lái)確定，將該簡(jiǎn)化力系記為｛FR,A/.｝,同理原力系｛尸i，尸2，…，萬(wàn)“｝也可以向另一個(gè)簡(jiǎn)化點(diǎn)

崎化，得到另一個(gè)簡(jiǎn)化力系是｛尸R,M/J。這兩個(gè)簡(jiǎn)化力系均是由一個(gè)力和一個(gè)力偶構(gòu)成，這兩個(gè)簡(jiǎn)化力系中的力（不包

括力偶）的大小和指向都是相同的，只是作用線不同，一個(gè)過(guò)簡(jiǎn)化點(diǎn)A另一個(gè)過(guò)簡(jiǎn)化點(diǎn)月在一般情況下，兩個(gè)簡(jiǎn)化力系中的

力偶MA和M"的力偶矩是不同的，但它們滿足關(guān)系式（IT。

力系｛bI,尸2，???，^〃｝簡(jiǎn)化的最后結(jié)果有以下四種情況：

（1）力系簡(jiǎn)化為一合力偶

若尸R=0,Mo豐0,則力系等價(jià)于一個(gè)力偶，其力偶矩等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化點(diǎn)。的主矩。

（2）力系簡(jiǎn)化為一合力

若尸R于0,Mo=0、則該力系等價(jià)于一個(gè)力，力的大小和方向由力系的主矢確定，力的作用線過(guò)O

點(diǎn)。

若尸R手O,FR,則該力系等價(jià)于一個(gè)力，力的大小和方向由力系的主矢確定，

力的作用線不過(guò)o點(diǎn)，而過(guò)。點(diǎn)（。點(diǎn)如何確定請(qǐng)讀者自己思考）。

（3力系簡(jiǎn)化為力螺旋

若FRWO,MOWO,且尸&,MO互不垂直，則力系等價(jià)于一個(gè)力螺旋。

(4力系平衡

若FR=0,M。=0,則力系等價(jià)于一個(gè)零力系(平衡力系)。

由此可知力系是平衡力系的充分必要條件是：力系的主矢和對(duì)某一點(diǎn)的主矩均為零。

同理，根據(jù)定理6和平衡力系的定義，也可以得到上述力系的平衡條件。

剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與一般運(yùn)動(dòng)

剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與?般運(yùn)動(dòng)屬于剛體的三維運(yùn)動(dòng)，在本章首先研究其運(yùn)動(dòng)學(xué)，然后在研究其動(dòng)力學(xué)

一、定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)

剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：剛體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果其或其延展體上有一點(diǎn)不動(dòng)，則稱這種運(yùn)動(dòng)為剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。

(1)剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。確定定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體在空間的位置可用歐拉(Euler)角表示，它們分別是進(jìn)動(dòng)知W,章動(dòng)角0,

自轉(zhuǎn)角8。剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為

WiQ)，歸人(。4=/3⑺(出D

(為剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的角速度可表示成

a)=yf+e+(p(…

剛體角速度0矢量平行于瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的角加速度定義為：

dO)

a=——

山(12-3

一般情況卜詢速度矢次切的大小和方向都隨時(shí)間變化，因此角加速度矢量:a和角速度矢景0)不平行。

(3定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度和加速度。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn)M勺速度可表示成

(12-4)

其中：r為由定點(diǎn)31向點(diǎn)即勺矢徑。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn)MKJ加速度可表示成

a=axr+a)xv(19_e.

x

上式中等號(hào)右端第一項(xiàng)aR-ax,定義為轉(zhuǎn)動(dòng)加速度，第二項(xiàng)a”一=ov定義為向軸加速度。

(4剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移定理：定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的任何有限位移，可以繞過(guò)定點(diǎn)的某一軸經(jīng)過(guò)一次轉(zhuǎn)動(dòng)而實(shí)現(xiàn)。

二、定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)力學(xué)

(1)定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量矩。定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)。的動(dòng)量矩定義為：

Lo=Jrxvdm=jrx(a)xr)dm

MM(12-⑥

其中：人”分別為剛體上的質(zhì)量微團(tuán)d皿的矢徑和速度，⑷為剛體的角速度。當(dāng)隨體參考系的二個(gè)軸°”為慣

量主軸時(shí)，上式可表示成

L。=t+Jy例J+八。:々

\1N—0

(0定點(diǎn)剛體的歐拉動(dòng)力學(xué)方程。應(yīng)用動(dòng)量矩定理可得到定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的歐拉動(dòng)力學(xué)方程

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Jy向y，+(J“，-JZ.)G)Z,CDX，=My，＞

—,+(J,一人.)"％=M_、

'J(12-a

(3陀螺近似理論。繞質(zhì)量對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體成為陀螺，若陀螺繞的自旋角速度為0,進(jìn)動(dòng)角速度為Q,3

為陀螺對(duì)質(zhì)量對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則陀螺的動(dòng)力學(xué)方程為

AxJ_0=

0(12-9

其中°是作用在陀螺上的力對(duì)。點(diǎn)之矩的矢量和。

三、剛體的一般運(yùn)動(dòng)

(D剛體一般運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)。確定一般運(yùn)動(dòng)剛體在空間的位置，需要確定剛體上任意一點(diǎn)。(基點(diǎn))的坐標(biāo)和

剛體相對(duì)基點(diǎn)作定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的，個(gè)歐拉角"，'，9。一般運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)方程為

x<y=fi(f)，y0=/2(f)，ZofG,

WK，)，f3,(p=f6(t)J(12_m

(4一般運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)的速度和加速度。一般運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)N的速度可表示成

=v+oxr'

M0(r(12-11)

其中為基點(diǎn)?！乃俣?，/為由°'引向M點(diǎn)的矢徑，口為剛體的角速度。一般運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)MKJ加速度可表示

成

其中0°’為基點(diǎn)°的加速度。

(》剛體一般運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程.剛體一般運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得到。

靜力學(xué)理論的應(yīng)用

應(yīng)用靜力學(xué)的基本理論與方法研究物體系統(tǒng)的平衡是本章的基本內(nèi)容，其中包括：剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題；桁架的平衡

問(wèn)題，考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題等。

一、靜定與靜不定問(wèn)題

在研究剛體或剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題中，如果未知量(包括：約束力，平衡位置等)的數(shù)目等于系統(tǒng)獨(dú)立的平衡方程的

數(shù)目時(shí)，所有未知量均可由平衡方程唯一地求解出來(lái)，這樣的問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題；如果未知量的數(shù)目大于系統(tǒng)獨(dú)立的平衡

方程的數(shù)目時(shí)，未知量不能由平衡方程唯一地求解出來(lái)(有時(shí)只能求出部分未知指)，這樣的問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題。

從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，判斷系統(tǒng)的靜定與靜不定問(wèn)題，是根據(jù)系統(tǒng)未知量的數(shù)目與獨(dú)立平衡方程數(shù)目的關(guān)系來(lái)確定。從

力學(xué)角度來(lái)看，靜不定問(wèn)題，一般是系統(tǒng)存在某種多余的約束。例如圖3-1所示系統(tǒng)是靜定的，因?yàn)檩^鏈AB處的約束

力(三個(gè)未知量)可由三個(gè)獨(dú)立的平衡方程完全確定；而圖A2所示系統(tǒng)是靜不定的，因?yàn)樵谒椒较虼嬖诙嘤嗟募s束，

AB處的約束力為四個(gè)未知量，獨(dú)立的平衡方程只有三個(gè)，不能唯一地求出所有的未知量，但可以求出部分未知量，如

可以求出約束力在鉛垂方向的兩個(gè)分量，而在水平方向的兩個(gè)分量不能唯一地確定。

在一般情況下，對(duì)于靜定的剛體系統(tǒng)，其獨(dú)立的平衡方程數(shù)目等于系統(tǒng)中每個(gè)剛體的獨(dú)立平衡方程數(shù)目之和，由這組

平衡方程可求得剛體系統(tǒng)中所有未知早:，但求解聯(lián)立的代數(shù)方程組，計(jì)算量較大，通常利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解。在理論

力學(xué)的課程學(xué)習(xí)中，則側(cè)重強(qiáng)調(diào)基本理論與基本方法的理解與掌握。在求解剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題時(shí)，突出強(qiáng)調(diào)靈活恰當(dāng)?shù)?/p>

選取研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，建立平衡方程，并盡盤避免求解聯(lián)立方程，最好一個(gè)方程求解一個(gè)未知量。

三、平面桁架的平衡問(wèn)題

桁架是特殊的剛體系統(tǒng)，其特點(diǎn)是構(gòu)成桁架的各個(gè)部件均抽象成二力桿。求解桿件內(nèi)力或約束力時(shí)的思想方法與求解

剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的相同，只是在分析過(guò)程中要利用二力桿的特點(diǎn)。

求解桁架平衡問(wèn)題的基本方法有：

(1)節(jié)點(diǎn)法：以桁架的節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，通過(guò)求解平衡方程，確定桿件內(nèi)力的方法。

(3截面法：將桁架沿某一面截出一部分作為研究對(duì)象，應(yīng)用平衡方程求解桿的內(nèi)力的方法。

四、考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題

L滑動(dòng)摩擦

兩個(gè)相接觸的物體有相對(duì)滑動(dòng)或滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，在接觸處有阻礙其滑動(dòng)的力，這種力稱為滑動(dòng)摩擦力。

滑動(dòng)摩擦的分類及其特點(diǎn)：

(1)物體處于靜止但有滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，存在靜滑動(dòng)摩擦力￡

摩擦力的方向：與相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反。

o<F<F

摩擦力的大?。阂灰籱ax,由平衡方程確定。最大靜摩擦力的大小由庫(kù)侖定律確定，即：

"max-fsFN,其中fs為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)(可由手冊(cè)查出)，為法向約束力的大小。當(dāng)摩擦力達(dá)到最

大值時(shí)，摩擦點(diǎn)即將產(chǎn)生滑動(dòng)，這種狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)

(3當(dāng)物體滑動(dòng)時(shí)，存在動(dòng)滑動(dòng)摩擦力K

摩擦力的方向：與相對(duì)滑動(dòng)的方向相反。

摩擦力的大小：F-fFN,其中/為動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)，F(xiàn)N為法向約束力的大小。

2,摩擦角與摩擦自鎖

將約束面對(duì)物體的全反力'R(R-+N)的作用線與法向約束力作用線的夾角記為“，如圖A3a所示；達(dá)

到臨界狀態(tài)時(shí)的全反力4(4="max+"')的作用線與法向約束力作用線的夾角記為“加，稱為摩擦角，如圖3-3b

圖A

由前述可知，全反力的作用線總在摩擦角以內(nèi)。當(dāng)作用在物體上主動(dòng)力的作用線也在摩擦角的范圍內(nèi)時(shí)，無(wú)論主動(dòng)力的大

小如何變化，物體總保持平衡而不滑動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為摩擦自鎖。摩擦自鎖條件是。

X滾動(dòng)摩阻

當(dāng)兩個(gè)相接觸的物體有相對(duì)滾動(dòng)或滾動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，在接觸處除了有摩擦力外，還存在滾動(dòng)摩擦力偶”這個(gè)力偶稱為滾阻力

偶。

(1)物體處于靜止但有滾動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，存在滾阻力偶M

滾阻力偶的轉(zhuǎn)向：與滾動(dòng)趨勢(shì)的轉(zhuǎn)向相反。

滾阻力偶矩的大?。?<一M一<Mmax,由平衡方程確定e最大滾阻力偶矩的大小由關(guān)系式Mmax=5FNz

確定，其中3為滾阻系數(shù)(可由手冊(cè)查出)，F(xiàn)N為法向約束力的大小。當(dāng)滾阻力偶達(dá)到最大值時(shí)，物體即將滾

動(dòng)，這種狀態(tài)也稱為臨界狀態(tài)。

(2)當(dāng)物體滾動(dòng)時(shí)，存在滾阻力偶M

潦阻力偶的轉(zhuǎn)向：與滾動(dòng)轉(zhuǎn)向相反。

滾阻力偶矩的大?。航频赜申P(guān)系式Mmax=8FN確定。

虛位移原理

虛位移原理提供了靜力學(xué)問(wèn)題的一種全新的解法，它還是分析力學(xué)的基礎(chǔ)。

虛位移原理是設(shè)計(jì)用來(lái)消除平衡方程中的約束力，主要是用來(lái)求解平衡系統(tǒng)的主動(dòng)力之間的關(guān)系或平衡位置。另外，通過(guò)解

除約束，將內(nèi)力或約束力轉(zhuǎn)化為主動(dòng)力，則虛位移原理也可用來(lái)求解內(nèi)力和約束力，而且這比以前的列平衡方程的常規(guī)方法更

有效。

一、力的功

元功：力在微小位移上所做的功稱為元功。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：dWuF'.yd'或＜5\"二'.”，其中y和dr分

別為力戶作用點(diǎn)的速度和微小位移。

變力在曲線路徑上做的功可以用曲線積分計(jì)算。

等效力系做功定理：等效力系在剛體的位移上所做的功相等。

即：若｛用=｛尸……,則￡卬（￡）=f卬（舄）。

i=lj=l

在計(jì)算力的功時(shí)，為計(jì)算方便，可以利用上述定理。

例如：圖―13所示鼓輪上纏繞有柔索，在力尸（大小和方向不變）作用下在地面上純滾動(dòng)。計(jì)算在輪心沿直線移動(dòng)S距

離過(guò)程中力下所做的功。

編?

圖4-1

由于力耶作用點(diǎn)的位移不易計(jì)算，我們可將坪移到輪心，同時(shí)附加一力偶M其力偶矩的大小為M，如圖4

IF）=（FM][FM]

一此所示）以保持力系等效，即i1i新的力系i'在輪心沿直線移動(dòng)時(shí)巨離過(guò)程中所作的功較易計(jì)算：

W=FScQse+M（p

（P—s

其中：+為圓盤輪心移動(dòng)s距離時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，即，于是上式可寫成

R

S

W=FScos6+?—

R

它等于在輪心沿直線位移s距離過(guò)程中力下所做的功。

二、約束及其分類

約束：對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)所加的限制。如某質(zhì)點(diǎn)被限制在固定曲面上運(yùn)動(dòng)，則該質(zhì)點(diǎn)就是受到了約束。

約束體對(duì)被約束體的運(yùn)動(dòng)是通過(guò)力的作用稱為約束力）來(lái)加以限制的，但是約束與受力是應(yīng)區(qū)別對(duì)待的兩個(gè)不同概念，這可

以通過(guò)下面的例子來(lái)區(qū)分.

◎?

圖4-2

對(duì)圖A2中所示的系統(tǒng)：

在份中，質(zhì)點(diǎn)邱固定在剛性桿上并球餃鏈連接接在固定點(diǎn)Q顯然質(zhì)點(diǎn)月受到r約束，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)國(guó)勺運(yùn)動(dòng)被限制在一個(gè)

固定球面上球面中心在。點(diǎn)，半徑為桿長(zhǎng)九它的運(yùn)動(dòng)受到了限制。

在伽中，將剛桿換成r一條不可伸長(zhǎng)的柔索，則質(zhì)點(diǎn)仍然受到了約束，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)力被限制在一個(gè)固定球面內(nèi)運(yùn)動(dòng)這是一

個(gè)單面約束，約束方程用不等式表示），它不能運(yùn)動(dòng)到球面之外。

在?中，剛桿又換成了彈簧，則質(zhì)點(diǎn)力就變成了一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)。盡管它受彈簧力的作用，但它的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有受到限制，理論

上它可以運(yùn)動(dòng)到空間中任何一個(gè)位置，所以圖?中的質(zhì)點(diǎn)破受到約束。

總而言之，受約束質(zhì)點(diǎn)必然受力，但受力不等于受約束。

三、約束的分類

約束如按系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類，也就是從物理方面來(lái)進(jìn)行分類，就有?「柔索類、較鏈類、光滑面支撐類、固定端類等。

另外，約束的理想與非理想之分，也是從物理方面來(lái)分類的。

約束如按約束方程的形式，也就是從數(shù)學(xué)方面來(lái)進(jìn)行分類，我們就有單面與雙面之分、定常與非定常之分、兒何完整）與非

完整之分。

四、自由度與廣義坐標(biāo)

自由度：自由度是確定質(zhì)點(diǎn)系的空間位置所需的獨(dú)立參數(shù)的個(gè)數(shù)。

對(duì)于一個(gè)具有〃個(gè)質(zhì)點(diǎn)的自由質(zhì)點(diǎn)系,可用各點(diǎn)的空間坐標(biāo)來(lái)確定它的空間位置，所以它的自由度是3n如果給該質(zhì)點(diǎn)系再

加上A個(gè)獨(dú)立的雙面幾何約束：

力（當(dāng)，/，芍，…,x〃，y〃，z〃/）=O,i=L???,k

則由于通過(guò)該方程組可將其中的k個(gè)坐標(biāo)表示成另外3M個(gè)坐標(biāo)參數(shù)獨(dú)立）的函數(shù)，所以該受約束質(zhì)點(diǎn)系的自由度為3Z

對(duì)于圖4-2?所示的質(zhì)點(diǎn)，如果說(shuō)是球較，它的約束方程（質(zhì)點(diǎn)到球較。的距離為桿長(zhǎng)）的個(gè)數(shù)是L所以該系統(tǒng)的自由

度是3-1=2＞如果將廉成柱較，則約束方程則為

X24-3；24-Z2-I2=0

z=0

有兩個(gè)約束方程，則系統(tǒng)的自由度就是+L

對(duì)于圖4-1?所示的質(zhì)點(diǎn)，由于這是一個(gè)單面約束，當(dāng)柔索未拉直時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)未受到限制，確定質(zhì)點(diǎn)力的位置仍需要

它的三個(gè)空間坐標(biāo)，所以它的自由度是3；當(dāng)柔索處于拉直狀態(tài)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到限制，可列寫一個(gè)等式約束方程，所以其自

由度是2

對(duì)于圖4-1?所示的質(zhì)點(diǎn)，由于彈簧不構(gòu)成約束，所以自由度是3.

對(duì)于剛體系統(tǒng)，r解各種運(yùn)動(dòng)狀況下的剛體所具有的自由度對(duì)于判定系統(tǒng)的自由度是有幫助的，下面列出各種運(yùn)動(dòng)的剛體所

具有的自由度。

空間運(yùn)動(dòng)的自由剛體：6

空間平動(dòng)的剛體：3

定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：3

平面運(yùn)動(dòng)的剛體：3

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：1

對(duì)于剛體系統(tǒng)，也可以用位置參數(shù)減去獨(dú)立雙面）約束方程個(gè)數(shù)的方法判定自由度。下面以例示之。

如圖4-3所示的平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，兩輪被限制在水平直線上作純滾動(dòng)，桿小桿BC之間以柱）較鏈連接，桿與輪之間也用柱）

錢鏈連接。確定系統(tǒng)的自由度。

分析：該系統(tǒng)由兩根桿和兩個(gè)輪組成，計(jì)有4個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體，每個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體需3個(gè)位置參數(shù)，該機(jī)構(gòu)共需4X3=12個(gè)參

數(shù)描述其位置。但是這12個(gè)位置參數(shù)又受以下約束：

0

E

圖?

桿他與桿0C的C點(diǎn)位置坐標(biāo)重檢：可列2個(gè)幾何約束方程G坐標(biāo)與y坐標(biāo)）；

桿柜與輪A的輪心A點(diǎn)位置坐標(biāo)重疊：可列2個(gè)幾何約束方程Q坐標(biāo)與y坐標(biāo)）；

桿BC與輪B的輪心B點(diǎn)位置坐標(biāo)重疊：可列2個(gè)幾何約束方程僅坐標(biāo)與y坐標(biāo)）；

輪Af乍純滾動(dòng)：可列1個(gè)可積的運(yùn)動(dòng)約束相當(dāng)于1個(gè)幾何約束）方程；

輪B作純滾動(dòng)：可列1個(gè)可積的運(yùn)動(dòng)約束相當(dāng)于1個(gè)幾何約束）方程；

輪A中心Af乍直線運(yùn)動(dòng)：可列1個(gè)幾何約束方程；

輪B中心漸乍直線運(yùn)動(dòng)：可列1個(gè)幾何約束方程。

這樣一來(lái)，系統(tǒng)約束方程的個(gè)數(shù)為1Q則整個(gè)系統(tǒng)的自由度為：12-10=2,

也可以這樣來(lái)判定：通過(guò)觀察，A3桿與BC桿間的夾角阿決定系統(tǒng)的形狀，一旦硼定，則輪和勺中心坐標(biāo)可決定系統(tǒng)

的位置及兩輪的轉(zhuǎn)角，故描述該系統(tǒng)的位置獨(dú)立參數(shù)可取（'"'），所以這是一個(gè)2自由度系統(tǒng)。

廣義坐標(biāo)：確定系統(tǒng)位置或形狀的獨(dú)立參數(shù)。

系統(tǒng)的自由度是唯一的，但確定位置或形狀的獨(dú)立參數(shù)卻有多種取法，故廣義坐標(biāo)的取法不唯一，但是廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)是確

定的。當(dāng)系統(tǒng)受到完整約束時(shí)，廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。

例如在上面的例子中，可以取（乙4‘°）為廣義坐標(biāo)，或?。ā?,°）為廣義坐標(biāo)，也可以取兩輪的輪心的水平位置坐標(biāo)

（乙4，*8）為廣義坐標(biāo)，因?yàn)樗鼈兌际仟?dú)立參數(shù)。但不能取輪心A的坐標(biāo)和輪A的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo),因?yàn)檫@兩者不

獨(dú)立。

位形空間：廣義坐標(biāo)構(gòu)成的空間稱為位形空間，也稱構(gòu)形空間。位形空間中的點(diǎn)描述了質(zhì)點(diǎn)系的位置或形狀。取質(zhì)點(diǎn)系的廣義

坐標(biāo)為名，…q,則⑷….,外）就是位形空間。

五、虛位移與虛功

虛位移：在給定瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系為約束容許的任何無(wú)限小位移。

在靜力學(xué)中，考慮的是完整、雙面、定常約束，但在動(dòng)力學(xué)中，盡管運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)點(diǎn)系大都也是受定常約束，但也可能受非定

常約束即約束方程中顯含時(shí)間do

對(duì)于定常約束，有無(wú)“給定瞬時(shí)”沒(méi)有區(qū)別，但對(duì)于非定常約束，“給定瞬時(shí)”意味著什么呢？我們以下面的例子來(lái)闡明這

個(gè)概念。

對(duì)于一個(gè)限制在固定曲面上R上的質(zhì)點(diǎn)M它的虛位移是在峨的切面上任意方向的無(wú)限小位移，而闞無(wú)限小

實(shí)位移會(huì)和某個(gè)方向上的虛位移重合。

如果該曲面在運(yùn)動(dòng)，不妨設(shè)在z方向以速度呼動(dòng)：這種情況下，“給定瞬時(shí)”的虛位移就是在給定時(shí)亥ij,

曲面所在位置峨的切面上任意方向的無(wú)限小位移。相當(dāng)于將正在運(yùn)動(dòng)的曲面在該瞬時(shí)“定格”，然后考慮該“固定曲面”所容

許的無(wú)限小位移如圖I。在數(shù)學(xué)上，意味著時(shí)間6泊勺變分為零：3曰對(duì)于定常約束，無(wú)限小實(shí)位移同某一方向的虛位

移重合，但對(duì)非定常約束，無(wú)限小實(shí)位移不同任何虛位移重合。

t時(shí)刻曲面所處位置

圖4—4

虛功：虛功是力在質(zhì)點(diǎn)系的虛位移上所做的功.

虛功是一個(gè)假想的功，按定義，虛位移是微小位移，所以虛功屬于元功。

理想約束：約束力虛功之和等于零的約束。理論力學(xué)中常見(jiàn)的理想約束有：

?光滑固定或移動(dòng)）支撐面約束和滾動(dòng)較鏈支座；

?光滑固定銀鏈支座和軸承；

?連接物體的光滑較鏈；

?無(wú)重剛桿；

?連接兩物體的不可伸長(zhǎng)的柔索；

?不計(jì)滾動(dòng)摩擦阻力時(shí)，剛體在固定或移動(dòng)）曲面上的無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。

虛位移原理：具有定常、雙面、完整、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充要條件是，對(duì)于系統(tǒng)的任何一個(gè)虛位移,作用于質(zhì)點(diǎn)系

上的所有主動(dòng)力所做的虛功之和等于零。

虛位移原理寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式：

3W=ZB?涼,=。（4-1）

3tF

其中1是主動(dòng)力’的作用點(diǎn)的虛位移。由此建立的方程也可稱為平衡方程。

對(duì)于一個(gè)受約束的質(zhì)點(diǎn)系，各“4并不是獨(dú)立的。所以在實(shí)際應(yīng)用中必須補(bǔ)充一組虛位移的約束方程。所以，虛位移原理

就將求平衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求虛位移的關(guān)系問(wèn)題。

仔細(xì)審視一下虛位移原理，請(qǐng)注意其中加點(diǎn)的“任意”二字。在對(duì)多自由度系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用虛位移原理時(shí)，可以選取幾個(gè)特殊

的虛位移，令主動(dòng)力做的虛功之和為零，以建立平衡方程。如果所選取的虛位移是線性無(wú)關(guān)的，則得到的平衡方程就是獨(dú)立的。

對(duì)于多自由度系統(tǒng)，用虛位移原理建立的平衡方程的個(gè)數(shù)等于系統(tǒng)的自由度。

六、求解虛位移之間的關(guān)系

如果質(zhì)點(diǎn)系的約束方程具有形式

則各質(zhì)點(diǎn)的虛位移之間滿足如下關(guān)系：

+處,+我句）=0，i=Lfk

對(duì)于理論力學(xué)中常見(jiàn)的剛體系統(tǒng)，剛體的約束條件是:對(duì)于剛體上的任何兩點(diǎn)，有：

h-勺/=常量，

即：剛體上任意兩點(diǎn)間的距離保持為常埴。上式還可表示成：

⑵一〃）?（匚.一乙）二常量

對(duì)于上式兩邊取變分，則有:2（匚一々）?（比一氏）=0

即：

比?（匚-。）=

由此，我們得到一個(gè)重要結(jié)論：剛體上任意兩點(diǎn)的虛位移在它們的連線上的投影相等。這是剛體系統(tǒng)常用的一個(gè)虛位移關(guān)系（也

稱投影定理）。

根據(jù)上述投影定理可以得到卜面兩個(gè)推論：

推論1：對(duì)于可作平面運(yùn)動(dòng)的剛體（此時(shí)剛體視為平面圖形），若已知在給定瞬時(shí)其上AB兩點(diǎn)虛位移垂線相交于P點(diǎn)（如圖4

-5a所示），則在該瞬時(shí)，剛體上的P點(diǎn)的虛位移為零。

推論2對(duì)于可作平面運(yùn)動(dòng)的剛體（此時(shí)剛體視為平面圖形），若已知在給定瞬時(shí)其上AB兩點(diǎn)虛位移的垂線相互平行且不相交

（如圖4-5b所示），則在該瞬時(shí)，剛體上所有點(diǎn)的虛位移都相同。

圖4—5

里-黑，由推論2可知，在該瞬

由推論1可知，在該瞬時(shí)，剛體的虛位移可視為繞P點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),其轉(zhuǎn)角為38=

APBP

時(shí)，剛體的虛位移是平移。

七、廣義力

取質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)為…％,設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有虛位移（q、，…，的D則作用在質(zhì)點(diǎn)上的所有力…’F〃）所做

的虛功之和可以寫成如下形式：

E6%=，（七甌+K?+屋氏）=ZQM

/=1/=1j=l

其中：（玉0/’號(hào)）是力耳的作用點(diǎn)位置的直角坐標(biāo)，它是廣義坐標(biāo)的函數(shù)。

°j稱為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力，它的表達(dá)式為