函數(shù)的零點與方程的解高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

函數(shù)的零點與方程的解年級：高一年級學科：數(shù)學（人教A版）我們已經(jīng)學習了用二次函數(shù)的觀點認識一元二次方程，知道一元二次方程的根就是相應二次函數(shù)的零點.像

這樣不能用公式求解的方程，是否也能采用類似的方法，用相應的函數(shù)研究它的解的情況呢?一、新課引入一般地，對于二次函數(shù)

，我們把

的實數(shù)

叫做二次函數(shù)

的零點.復習

二次函數(shù)的零點定義問題1：你能類比二次函數(shù)的零點得出一般函數(shù)零點的定義嗎？定義

對于一般函數(shù)

，我們把使

的

實數(shù)

叫做函數(shù)

的零點.函數(shù)的零點函數(shù)的零點不是幾何意義上的點，而是實數(shù).思考：函數(shù)的零點是點嗎？二、新課講解函數(shù)的零點與方程的解

函數(shù)

的零點就是方程

的實數(shù)解，

也就是函數(shù)

的圖象與

軸的公共點的橫坐標.方程

有實數(shù)解

函數(shù)

有零點函數(shù)

的圖象與

軸有公共點（代數(shù)意義）（幾何意義）研究方程

的解，有兩種角度：角度一：（代數(shù)法）公式直接求方程

的解.角度二：（幾何法）不能用公式求解的方程

可以利用相應函數(shù)

的圖象和性質

找出零點，從而得到方程的解.數(shù)學思想：數(shù)形結合、轉化與化歸、函數(shù)與方程對于函數(shù)

，觀察它的圖象，發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間

上有零點.（1）函數(shù)圖象與

軸有什么關系？

零點附近，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并“穿過”

軸.（2）如何用具體的函數(shù)值來刻畫這種關系？探究

在

內有零點

在

內有零點問題2：若函數(shù)

在區(qū)間

上有

，

則函數(shù)

在區(qū)間

內一定有零點嗎？0yxbB0yxaA請你用幾條連續(xù)函數(shù)曲線連接如圖所示的A、B，觀察所畫曲線與x軸的關系：函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)

在區(qū)間

上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

，那么，函數(shù)

在區(qū)間

內至少有一個零點，即存在

，使得

，這個

也就是方程

的解.問題3：若函數(shù)

在區(qū)間

上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間

內有零點，能得到

嗎？“函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，且”是“函數(shù)

在區(qū)間

內有零點的充分不必要條件.

問題4：如果函數(shù)

在區(qū)間

上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且

，則函數(shù)

在區(qū)間

內有零點.請問有幾個零點？零點個數(shù)不確定xyOab0yx追問：增加什么條件可以使得函數(shù)在區(qū)間

上有唯一的零點？函數(shù)在區(qū)間

上是單調的函數(shù)零點存在定理的推論如果函數(shù)

在區(qū)間

上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

，若函數(shù)

是單調函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間

內有且僅有一個零點，即存在唯一的

，使得

.例

求方程

的實數(shù)解的個數(shù).設函數(shù)

，利用計算工具，列出函數(shù)

的對應值表，并畫出函數(shù)圖象.xy1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972三、例題講解由表和圖可知，

，

，則.由零點存在定理可知，函數(shù)

在區(qū)間

內至少有一個零點.容易證明，函數(shù)

是增函數(shù)，所以它只有一個零點，即相應方程

只有一個實數(shù)解.例

求方程

的實數(shù)解的個數(shù).因為

，

所以在區(qū)間

上，有

，由零點存在性定理可知，函數(shù)

在區(qū)間

內至少有一個零點.容易證明，函數(shù)

是增函數(shù)，所以它只有一個零點，即相應方程

只有一個實數(shù)解.

另解：例

求方程

的實數(shù)解的個數(shù).原方程可化為：

令

，.則原方程解的個數(shù)問題可轉化為

和

圖象的公共點個數(shù)問題.畫出

和

的圖象，可知兩函數(shù)圖象只有一個公共點，所以方程

只有一個實數(shù)解.另解：解題小結：方程

的解的個數(shù)

的零點的個數(shù)函數(shù)

與

軸公共點的個數(shù)

①解題小結：方程

解的個數(shù)

方程

解的個數(shù)

函數(shù)

和函數(shù)

圖象的公共點個數(shù)②問題5：能否進一步縮小函數(shù)

零點所在的范圍？四、課堂小結函數(shù)的零點

對于一般函數(shù)

，我們把使

的

實數(shù)

叫做函數(shù)

的零點.四、課堂小結函數(shù)的零點方程

有實數(shù)解

函數(shù)

有零點函數(shù)

的圖象與

軸有公共點四、課堂小結函數(shù)的零點函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)

在區(qū)間

上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有

，那么，函數(shù)

在區(qū)間

內至少有一個零點，即存在