質(zhì)點動力學(xué)功和能

質(zhì)點動力學(xué)功和能2.力的空間累積效應(yīng):質(zhì)點動能定理hm

質(zhì)點動能定理說明:合外力對質(zhì)點所作的功等于質(zhì)點動能的增量。

功率

例：重力對m的功:

地面參考系：A=mgh

物體m參考系：A=0dA=f.dr(1)功是標(biāo)量,且有正負。(2)功是相對量,其大小隨所選參考系的不同而不同。第2頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

(3)在直角坐標(biāo)系中

功是沿質(zhì)點運動軌道進行積分計算的。一般地說,功的值既與質(zhì)點運動的始末位置有關(guān),也與運動路徑的形狀有關(guān)。

(4)應(yīng)當(dāng)明白,動能定理只在慣性系中成立,相應(yīng)的功也只能在同一慣性系中計算。

學(xué)習(xí)要點：變力的功。第3頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例題今有一倔強系數(shù)為k的輕彈簧，豎直放置，下端連接一質(zhì)量為m的物體，開始時使彈簧為原長而物體m恰好與地面接觸。今將彈簧上端緩慢地提起，直到物體m剛能脫離地面時止，求此過程中外力作的功。

解將彈簧上端緩慢地提起的過程中，需要用多大的外力？x(原長)xomF

外力:F=kx

，這是一個變力。

物體m脫離地面的條件是什么？

kxo

mg所以外力作的功為第4頁,共54頁，2024年2月25日，星期天完成積分得：

=10(m/s)。

解

因力是坐標(biāo)的函數(shù)，應(yīng)用動能定理

例題2質(zhì)量m=4kg的物體在力F=(2x+5)i(SI)的作用下,沿x軸作直線運動,初速

o

=5i(m/s);求物體從x=0到x=10(m)時的速度。第5頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

解

因:x=acost,y=bsint

當(dāng)t=0時，x=a,

y=0;

當(dāng)t=/(2)時，x=0,y=b。合外力的功為合外力:=-m2(xi+yj)

例題一質(zhì)量為m的質(zhì)點在xoy平面上運動，其位置矢量為(SI),式中a、b、

是正值常數(shù)，且a>b。求：t=0到t=/(2)時間內(nèi)合外力的功及分力Fx、Fy的功。分力：Fx=-m2x,Fy=-m2y第6頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

分力Fx、Fy的功為

(1)顯然合外力的功等于分力的功之和：

(2)合外力的功也可由動能定理直接求出。Fx=-m2xFy=-m2y第7頁,共54頁，2024年2月25日，星期天由動能定理得合外力的功為當(dāng)t=0時，

o=bj,大小:

o=b;當(dāng)t=/(2)時,

=-ai,大小

=a

。第8頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例題在光滑的水平桌面上，平放著如圖所示的固定的半圓形屏障。質(zhì)量為m的滑塊以初速度

0沿切線方向進入屏障內(nèi)，滑塊和屏障間的摩擦系數(shù)為μ。求滑塊滑過屏障的過程中，摩擦力的功。

解滑塊在水平面內(nèi)受兩個力的作用：摩擦力fr、屏障給它的支持力N,如圖所示。

法向：(1)

切向：(2)

將式(1)代入式(2),有在自然坐標(biāo)系中，o

0

Nfr第9頁,共54頁，2024年2月25日，星期天化簡后得：d=-μ

d

由于支持力N不作功，由動能定理得摩擦力的功為o

0圖3-3

Nfr第10頁,共54頁，2024年2月25日，星期天o

0圖3-3

Nfr求滑塊滑過屏障的過程中，運動時間為

第11頁,共54頁，2024年2月25日，星期天求滑塊滑過屏障的過程中，運動時間為

用角動量定理求

o

0圖3-3

Nfr第12頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

質(zhì)點m沿曲線L從a到b(高度分別為ha和hb)，重力對質(zhì)點m作的功為

重力作功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān),而與質(zhì)點所經(jīng)過的實際路徑形狀無關(guān)。CLabmghbhaoyx圖3-4

二.保守力場中的勢能1.保守力作功的特點重力的功

第13頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

小球由a到b的過程中，彈性力所作的功為

由此可見，彈性力的功和重力的功一樣，只與運動質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而與其經(jīng)過的實際路徑形狀無關(guān)。彈性力的功xa

(原長)oxbabx第14頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

質(zhì)點m在M的引力場中,由a點到b點,萬有引力對質(zhì)點m所作的功為

由上式可見,萬有引力的功也只與質(zhì)點始末位置有關(guān),而與質(zhì)點所經(jīng)過的實際路徑形狀無關(guān)。萬有引力的功注意：dscos(-)=dr。mrarbabMrfdr

ds第15頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

如果一個力的功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān),而與路徑形狀無關(guān)，這種力稱為保守力。相應(yīng)的力場稱為保守力場。否則叫做非保守力。顯然重力、彈性力、萬有引力都是保守力。

因為保守力作的功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān),故保守力F保沿任意閉合路徑L所作的功總為零,亦即上式表明：保守力的環(huán)流(沿任意閉合路徑L的線積分)為零。這也是保守力的一種定義和數(shù)學(xué)判據(jù)。2.保守力和非保守力

第16頁,共54頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的斯托克斯公式在直角坐標(biāo)系中，第17頁,共54頁，2024年2月25日，星期天這是力為保守力的判據(jù)。如果給出了力的表達式，對保守力而言，第18頁,共54頁，2024年2月25日，星期天滑動摩擦力的功ab

設(shè)一質(zhì)點在粗糙的臺面上運動，其滑動摩擦力與質(zhì)點的運動方向相反,可表示為：當(dāng)質(zhì)點從a處運動到b處，摩擦力做功：結(jié)論：摩擦力做功不僅與始末位置有關(guān)，而且與路徑有關(guān)。摩擦力是非保守力。第19頁,共54頁，2024年2月25日，星期天重力的功彈性力的功引力的功

定義：Epa是系統(tǒng)在位置a的勢能;

Epb是系統(tǒng)在位置b的勢能?？梢?，保守力的功可寫為3.勢能的定義第20頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

式的意義是:保守力的功等于勢能增量的負值。含義：系統(tǒng)在位置a的勢能等于系統(tǒng)從該位置移到勢能零點時保守力所作的功。這就是計算勢能的方法。原則上講，勢能的零點是可以任意選擇的，因此勢能僅具有相對的意義。若取b點為零勢點，則由上式我們得到系統(tǒng)在位置a的勢能為第21頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

重力勢能

(1)零勢面可任意選擇,由問題的方便而定。

(2)重力勢能為Ep=±m(xù)gh(3)物體在零勢面以上,重力勢能為正,否則為負。(3)彈性勢能總是正值。彈性勢能(1)通常規(guī)定彈簧無形變(即未伸長也未壓縮)時的勢能為零。xx

(原長)aok4.勢能零點的選擇(2)彈簧伸長或壓縮x時的彈性勢能,按定義應(yīng)為第22頁,共54頁，2024年2月25日，星期天xo

(原長)oxabx

如選x=xo處為勢能零點，則彈性勢能第23頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

(1)通常選取兩物體相距無窮遠時(此時引力為零)的勢能為零。

(3)引力勢能總是負值。應(yīng)當(dāng)注意：勢能是屬于相互作用著的物體所組成的系統(tǒng)的,不應(yīng)把它看作是屬于某一個物體的。引力勢能

(2)兩物體M、m相距r時的引力勢能,按定義式為

Ep=±m(xù)ghrfM圖3-8drm第24頁,共54頁，2024年2月25日，星期天這一對內(nèi)力所作的元功之和為三.系統(tǒng)動能定理f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn2.內(nèi)力的功外力—系統(tǒng)以外的物體對系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點的作用力。1.質(zhì)點系內(nèi)力和外力質(zhì)點系(系統(tǒng))—作為研究對象的質(zhì)點的集合。內(nèi)力—系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間的相互作用力。

系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點j對質(zhì)點i相互作用力。

系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點i對質(zhì)點j相互作用力。

第25頁,共54頁，2024年2月25日，星期天這一對內(nèi)力所作的元功之和為(1)通常,故一對內(nèi)力所作的功之和一般也不為零。(2)因相對位移和相對元位移與參考系無關(guān)，故一對內(nèi)力所作的功之和也與參考系無關(guān)。drij是第i個質(zhì)點對第j個質(zhì)點的相對元位移?？梢?，一對內(nèi)力的元功之和轉(zhuǎn)化為其中一個力的功。o圖3-9質(zhì)點i質(zhì)點j人在船上行，船在靜水中退。o’第26頁,共54頁，2024年2月25日，星期天人在船上行，船在靜水中退。一對內(nèi)力做功轉(zhuǎn)化為一個力的功第27頁,共54頁，2024年2月25日，星期天VoLmM

Tmg車對球的拉力和球?qū)嚨睦κ且粚?nèi)力(M和m)做功為：第28頁,共54頁，2024年2月25日，星期天質(zhì)點之間有相互作用力，但是沒有相互運動，一對內(nèi)力的功也為零。剛體就是這樣。Zoij第29頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)系統(tǒng)由n個質(zhì)點組成,對mi應(yīng)用動能定理,有

這就是系統(tǒng)動能定理：外力的功與內(nèi)力的功之和等于系統(tǒng)動能的增量。寫成：A內(nèi)

+

A外=

Ek

—

Ek0式中：i=1,2,3,……。對上式求和得f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn3.系統(tǒng)動能定理表述第30頁,共54頁，2024年2月25日，星期天注意：1對系統(tǒng)而言，，人在船上行，船在靜水中退。m1m22系統(tǒng)所受外力的矢量和為零，但A內(nèi)

+

A外=

Ek

—

Ek0系統(tǒng)動能定理：第31頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

將上述結(jié)果代入動能定理:A內(nèi)+A外=

Ek-

Ek0二.功能原理內(nèi)力的功A內(nèi)也可以寫成

A內(nèi)=A保守內(nèi)力+A非保守內(nèi)力

式中:E=Ek+Ep是系統(tǒng)的機械能。上式表明:系統(tǒng)外力和非保守內(nèi)力的功的代數(shù)和等于系統(tǒng)機械能的增量。這一結(jié)論稱為系統(tǒng)的功能原理。A外+A非保守內(nèi)力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)第32頁,共54頁，2024年2月25日，星期天A外+A非保守內(nèi)力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)注意：1、用功能原理時，只須計及所有外力和非保守內(nèi)力的功。無須計算保守內(nèi)力的功。因為保守內(nèi)力的功已經(jīng)用勢能表示了。2、功能原理只適用于慣性系。第33頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

A外+A非保守內(nèi)力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)

如果外力的功與非保守內(nèi)力的功之和為零(即A外+A非保守內(nèi)力=0)時,則

Ep+Ek=Ep0+Ek0

這一結(jié)論稱為機械能守恒定律。三.機械能守恒定律應(yīng)當(dāng)指出，機械能守恒的條件是A外+A非保守內(nèi)力=0,這當(dāng)然是對慣性系而言的。還應(yīng)看到,在某一慣性系中系統(tǒng)的機械能守恒,并不能保證在另一慣性系中系統(tǒng)的機械能也守恒,因為A非保守內(nèi)力雖然與參考系的選擇無關(guān),但A外卻取決定于參考系的選擇。第34頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機械能守恒定律的條件：A外+A非保守內(nèi)力=0討論機械能守恒的條件a系統(tǒng)受內(nèi)力，系統(tǒng)受外力，但均不做功。b有兩種情況：2對系統(tǒng)而言，，1對系統(tǒng)而言，，再次強調(diào)：第35頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例題如圖所示，一輛質(zhì)量為M的平頂小車靜止在光滑的水平軌道上，今有一質(zhì)量為m的小物體以水平速度

o滑向車頂。設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為，求:(1)從物體滑上車頂?shù)较鄬図旍o止需多少時間？(2)要物體不滑下車頂，車長至少應(yīng)為多少？人在車上走，摩擦力的方向如何？為什么人的摩擦力可以做正功。

M

0m

解

(M+m):水平方向不受外力，故動量守恒：

m

o=(M+m)

式中

是相對靜止時的速度。

(1)對物體m應(yīng)用動量定理，有

-mg.t=m

-m

o解得第36頁,共54頁，2024年2月25日，星期天M

m

解：由于一對內(nèi)力(摩擦力)的功與參考系無關(guān),可取車為參考系來計算摩擦力的功,由系統(tǒng)動能定理得

要物體不滑下車頂,車的最小長度為m

o=(M+m)

第37頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例題如圖所示，一鏈條總長為L、質(zhì)量為m，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的長度為a，鏈條與桌面之間的滑動摩擦系數(shù)為μ,令鏈條由靜止開始運動，求鏈條末端離開桌面時的速率。

解鏈條受三個力作用：摩擦力、重力(保守力)以及桌面對它的支持力(此力不作功)。此題宜用功能原理求解。L-xxox建立如圖所示的坐標(biāo)ox,先求摩擦力(變力)的功：第38頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

取桌面為零勢面，由功能原理:解得A外+A非保守內(nèi)力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)

對鏈條、細棒這樣一些有一定長度的物體，計算重力勢能和重力的力矩時可將其質(zhì)量集中在質(zhì)心，從而當(dāng)作一個質(zhì)點處理。L-aa圖3-11ox第39頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例題如圖所示，光滑地面上有一輛質(zhì)量為M的靜止的小車，小車上一長為L的輕繩將小球m懸掛于o點。把繩拉直，將小球由靜止釋放，求小球運動到最低點時的速率。

解小球受兩個力：繩的張力T，重力mg。解得：這個解法對嗎？oLmM

Tmg

因為小球繞o點作圓運動，張力T與運動方向垂直，因此它不作功，只有重力(保守力)作功，所以小球機械能守恒：第40頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

說小球繞o點作圓運動，張力T不作功，因而機械能守恒，這是以小車為參考系作的結(jié)論。這里有兩個錯誤:錯!錯在那里？

對系統(tǒng)(小車、小球):

一對內(nèi)力(張力T)作功之和為零，只有保守力—重力作功，則該系統(tǒng)機械能守恒。VoLmM

Tmg一是小車是非慣性系(有加速度)，機械能守恒定律是不成立！二是機械能守恒條件中的功，應(yīng)該在慣性系中計算。在慣性系(地面)上看,張力T要作功,小球的機械能是不守恒的。但一對張力(內(nèi)力）做功為零。第41頁,共54頁，2024年2月25日，星期天(1)

豎直方向的動量顯然不守恒，只有在水平方向(根本不受外力)動量守恒

0=MV-m

(2)

解式(1)、(2)得小球運動到最低點時的速率為(M+m)：VoLmM

Tmg系統(tǒng)動量守恒嗎？第42頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例題半徑為R、質(zhì)量為M且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一質(zhì)量為m的小物體，當(dāng)小物體從頂端無初速地下滑，在如圖所示的

角位置處，開始脫離球面，試求：

(1)

角滿足的關(guān)系式；

(2)分別討論m/M<<1和m/M>>1時cos

的取值。

解

(1)小物體脫離球面的條件是：N=0。(1)

小物體離開球面的瞬間相對球面作圓運動，而此時球面是慣性系，于是沿法向有RM

mmVx

rmgN為m相對于M的速度第43頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

取地面為慣性系,以m、M和地球為系統(tǒng)，機械能守恒,于是有(2)

取地面為慣性系,以m、M和地球為系統(tǒng),水平方向動量守恒:(3)

應(yīng)當(dāng)注意：式(2)、(3)中的

x、

是m相對地面的速度。RM

mmVx

rmgN第44頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

由速度合成定理:xy(5)解上述式子得:(2)(3)(1)RM

mmVx

rmgN(4)第45頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

(2)當(dāng)m/M<<1，即M>>m時,cos=2/3這相當(dāng)于M不動的情況。當(dāng)m/M>>1,即m>>M時,有

cos3-3cos+2=0分解因式得

(cos-1)2(cos+2)=0cos=1,=0°這表明m豎直下落。RM

mmVx

rmgN第46頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例題若從地面以一定初速度

o發(fā)射一質(zhì)量為m的衛(wèi)星,并使衛(wèi)星進入離地心為r的圓軌道。設(shè)地球的質(zhì)量和半徑分別為me和Re，不計空氣阻力，則

o=？

解

圓軌道：機械能守恒：第47頁,共54頁，2024年2月25日，星期天討論：(1)當(dāng)r=Re時,=7.9km/s,稱為第一宇宙速度。若以這個速度垂直地球半徑方向發(fā)射，衛(wèi)星將貼近地面沿圓軌道飛行。

稱為第二宇宙速度。以此速度發(fā)射的衛(wèi)星將飛離地球。(2)當(dāng)r

時，第48頁,共54頁，2024年2月25日，星期天一質(zhì)點在平方反比引力作用下做圓周運動,證明：平方反比引力是保守力第49頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例題一質(zhì)點在方向指向圓心的力