2024年湖南省長(zhǎng)沙市芙蓉區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市芙蓉區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列四個(gè)漢字是軸對(duì)稱圖形的是（

）A. B. C. D.2.據(jù)統(tǒng)計(jì)我國(guó)每年浪費(fèi)的糧食約35000000噸，我們要勤儉節(jié)約，反對(duì)浪費(fèi)，積極的加入“光盤行動(dòng)”中來.用科學(xué)記數(shù)法表示35000000是（

）A. B. C. D.3.下列計(jì)算正確的是（

）A. B.C. D.4.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）

（1）有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似（2）斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似

（3）兩個(gè)等邊三角形一定相似（4）任意兩個(gè)矩形一定相似A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.在

中，，則的余弦值為（

）A.3 B. C. D.6.如圖，點(diǎn)在上，，則的度數(shù)為（

）A.15°B.30°C.50°D.60°7.二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為（

）A.B.或C. D.或8.如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A.54°B.36°C.27°D.18°9.如圖所示，一次函數(shù)（是常數(shù)，）與正比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像相交于點(diǎn)，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A.關(guān)于的方程的解是B.關(guān)于的不等式的解集是C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值比函數(shù)的值大D.關(guān)于的方程組的解是10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，過作軸于，軸于，連接，當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A.B.C.D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.因式分解：___________.12.如圖，轉(zhuǎn)盤中有6個(gè)面積都相等的扇形，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，“指針?biāo)渖刃沃械臄?shù)為奇數(shù)”發(fā)生的概率為______.13.如圖，將“笑臉”圖標(biāo)向右平移3個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______.14.如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______.15.如圖，與的邊相切，切點(diǎn)為.將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在上，邊交線段于點(diǎn).若，則______度.16.由沈康身教授所著，數(shù)學(xué)家吳文俊作序的《數(shù)學(xué)的魅力》一書中記載了這樣一個(gè)故事：如圖，三姐妹為了平分一塊邊長(zhǎng)為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥海葘⒌靥悍指畛善邏K，再拼成三個(gè)小正方形（陰影部分).則圖中的長(zhǎng)應(yīng)是______.三、答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.（本小題6分）計(jì)算：.18.（本小題7分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中19.（本小題7分）如圖，在中，，，的平分線交于點(diǎn).（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交于點(diǎn).（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）求的度數(shù)．20.（本小題8分）購物支付方式日益增多，主要有：微信，支付寶，現(xiàn)金，其他.數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)消費(fèi)者的支付方式進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得到如兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：（1）本次一共調(diào)查了多少名消費(fèi)者？（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù).21.（本小題8分）如圖，某學(xué)校門口安裝了體溫監(jiān)測(cè)儀器，體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域長(zhǎng)為6米，當(dāng)身高為米的學(xué)生進(jìn)入識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)處測(cè)得攝像頭的仰角為30°，在點(diǎn)處測(cè)得攝像頭M的仰角為60°，求學(xué)校大門的高是多少米.22.（本小題8分）如圖，中，分別是的中點(diǎn)，，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).（1）求證：四邊形是菱形．（2）若，，求菱形的面積．23.（本小題9分）在村村通公路某項(xiàng)目建設(shè)中，計(jì)劃修建公路共15千米，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)可供選擇，已知甲隊(duì)每天比乙隊(duì)每天多修路0.5千米，乙隊(duì)單獨(dú)完成修路所需時(shí)間是甲隊(duì)單獨(dú)完成修路所需時(shí)間的1.5倍．（1）求甲、乙兩隊(duì)每天修路多少米？（2）已知甲隊(duì)每天工作費(fèi)用7500元，乙隊(duì)每天工作費(fèi)用6000元，若該項(xiàng)目由甲、乙兩隊(duì)合作完成，且工程總工作費(fèi)用不超過78000元，求甲隊(duì)至少要工作多少天？24.（本小題9分）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和.給出如下定義：如果，那么稱點(diǎn)為點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”.例如點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn).（1）若直線上點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”是，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若雙曲線上點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)，且，求的值；（3）若點(diǎn)在函數(shù)上，其“沉毅點(diǎn)”的縱坐標(biāo)的取值范圍是，結(jié)合圖象寫出的取值范圍.25.（本小題10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于點(diǎn)和.過作軸于，交于，且.（1）求直線和雙曲線的解析式；（2）點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作軸于，連接，若面積為，求的取值范圍（如圖2）；（3）經(jīng)過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（如圖3）.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、漢字中是軸對(duì)稱圖形，故A符合題意；B、C、D選項(xiàng)中的漢字都不是軸對(duì)稱圖形，故B、C、D不符合題意．

故選：A如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，由此即可判斷．本題考查軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的定義．2.【答案】B

【解析】解：將35000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：故選：B科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)．此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．3.【答案】C

【解析】解：A、與不是同類項(xiàng)，不能合并，不符合題意；B、原式，不符合題意；C、原式，符合題意；D、原式，不符合題意，故選：C.A、利用合并同類項(xiàng)法則判斷；B、根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算判斷；C、利用同底數(shù)冪除法運(yùn)算法則計(jì)算判斷；D、利用平方差公式計(jì)算判斷．此題考查了整式的混合運(yùn)算，平方差公式，冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算法則及公式是解本題的關(guān)鍵．4.【答案】C

【解析】解：（1）有一個(gè)銳角相等，再加上一個(gè)直角相等可以利用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似判定相似，故本選項(xiàng)正確；（2）斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例滿足兩邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似；∵設(shè)比例為，斜邊是直角邊則另外一條直角邊就是，對(duì)應(yīng)另外一個(gè)三角形的斜邊是，直角邊是.另外一條直角邊就是，這樣三條對(duì)應(yīng)邊都成相同的比例，就相似了，故本選項(xiàng)正確；（3）兩個(gè)等邊三角形滿足三邊對(duì)應(yīng)成比例，能判定相似，故本選項(xiàng)正確；（4）任意的兩個(gè)矩形滿足對(duì)應(yīng)角相等但不滿足對(duì)應(yīng)邊的比相等，故不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故真命題有（1）（2）（3）一共3個(gè)，故選：C.

利用相似三角形的判定方法對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行判定即可．本題考查了相似三角形的判定及相似多邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理及相似多邊形的判定方法．5.【答案】C

【解析】解：如圖．在中，，∴∴.故選：C.

根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)余弦值的定義求得本題主要考查勾股定理、余弦值，熟練掌握勾股定理以及余弦值的定義是解決本題的關(guān)鍵．6.【答案】D

【解析】解：∵，，∴故選：D.根據(jù)圓周角定理即可得出答案．本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．7.【答案】D

【解析】解：把代入得，把代入得，∴拋物線如圖，把代入得，∴，把代入得，解得，當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過滿足題意，∴，解得或（舍），∴如圖，令，整理得，∴，解得∴或.故選：D.

由可得線段端點(diǎn)坐標(biāo)為，然后通過數(shù)形結(jié)合求解．本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合方法，通過分類討論，根據(jù)拋物線與線段只有1個(gè)交點(diǎn)和拋物線與直線相切兩種情況求解．8.【答案】D

【解析】解：由尺規(guī)作圖可知，，∴，∵，∴，∴∴故選：D.由尺規(guī)作圖可知，，則，由，可得，即可得，在中，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．本題考查尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握垂線的基本作圖方法是解答本題的關(guān)鍵．9.【答案】B

【解析】解：∵一次函數(shù)（是常數(shù)，）與正比例函數(shù)（是常數(shù)，）的圖像相交于點(diǎn)，∴關(guān)于的方程，的解是，選項(xiàng)A判斷正確，不符合題意；關(guān)于的不等式的解集是，選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值比函數(shù)的值大，選項(xiàng)C判斷正確，不符合題意；關(guān)于的方程組的解是，選項(xiàng)D判斷正確，不符合題意．故選：B.

根據(jù)條件結(jié)合圖象對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)．方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．10.【答案】C

【解析】解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即，，∴，故當(dāng)時(shí)，最短，，直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故選：C.

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即，根據(jù)勾股定理表示出的長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)求出最小值即可．本題考查了一次數(shù)點(diǎn)的特征，勾股定理，利用二次函數(shù)解決最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)列出的二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】解：，

故答案為：先提公因式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．本題考查提公因式法和平方差公式因式分解，掌握公因式的提取方法和公式法的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．12.【答案】【解析】解：指針指向的可能情況有6種，而其中是奇數(shù)的有3種，∴“指針?biāo)渖刃沃械臄?shù)為奇數(shù)”發(fā)生的概率為，故答案為：直接利用概率公式求解．本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．13.【答案】

【解析】解：由圖可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，∵圖標(biāo)向右平移3個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，∴點(diǎn)橫坐標(biāo)加3，縱坐標(biāo)減5，即，即的坐標(biāo)為故答案為：.根據(jù)“左減右加，上加下減”的原則即可求解．本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化-平移，掌握“左減右加，上加下減”的原則是解答本題的關(guān)鍵．14.【答案】【解析】解：∵菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，∴，∵，∴，

∴為的中位線，∴，在中，由勾股定理得：，∴.由菱形的性質(zhì)可得：，借助勾股定理求出，再證明是的中位線即可求解．本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線定理等知識(shí)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.【答案】85

【解析】解：∵與的邊相切，∴，∴，連接，如圖，∵繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴.故答案為85.根據(jù)切線的性質(zhì)得到，連接，如圖，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則判斷為等邊三角形得到，所以，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算.本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．16.【答案】

【解析】【分析】本題考查圖形的拼剪，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)，屬于中考?？碱}型．根據(jù)裁剪和拼接的線段關(guān)系可知，在中應(yīng)用勾股定理即可求解．【解答】解：∵地毯面積被平均分成了3份，∴每一份的邊長(zhǎng)為，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，又根據(jù)剪裁可知，∴.17.【答案】解：原式.

【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而計(jì)算得出答案．此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．18.【答案】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式.

【解析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把的值代入計(jì)算即可求出值．此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．19.【答案】解：（1）如圖，即為所求；（2）∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴.

【解析】（1）根據(jù)角平分線的作法即可作的平分線交于點(diǎn)；（2）根據(jù)角平分線定義和內(nèi)角和定理即可求的度數(shù)本題考查了作圖-基本作圖，三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的作法．20.【答案】解：（1）（名），答：本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為200名；（2）支付方式的人數(shù)為（名），支付方式的人數(shù)為（名），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中種支付方式所對(duì)應(yīng)的圓心角為.

【解析】（1）由支付方式及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)；（2）總?cè)藬?shù)乘以對(duì)應(yīng)百分比可得其人數(shù)，根據(jù)各支付方式的人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)求出支付方式的人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；（3）用360°乘以對(duì)應(yīng)人數(shù)所占比例即可．本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．21.【答案】解：由題意得：米，米，，

∵是的一個(gè)外角，∴∴，∴，∴米，在中，（米），∴米，∴學(xué)校大門的高是米．

【解析】根據(jù)題意得：米，米，，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22.【答案】（1）證明：∵分別是、的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是菱形；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由（1）知，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴.【解析】（1）先證四邊形是平行四邊形．再證，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)解答即可．此題主要考查菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：（1）設(shè)乙隊(duì)每天修路千米，則甲隊(duì)每天修路千米，由題意可得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，∴，答：乙隊(duì)每天修路1千米，甲隊(duì)每天修路1.5千米；（2）設(shè)甲隊(duì)需要工作天，則甲隊(duì)修路千米，乙隊(duì)修路千米，∵乙隊(duì)每天修路1千米，∴乙隊(duì)修路天數(shù)為：，∵程總工作費(fèi)用不超過78000元，∴，解得，答：甲隊(duì)至少要工作8天．

【解析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要檢驗(yàn)；（2）根據(jù)題意和（1）中的結(jié)果，可以先設(shè)甲需要工作的天數(shù)，然后即可表示出乙工作的天數(shù)，再根據(jù)總費(fèi)用不超過78000元，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可．本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和不等式．24.【答案】解：（1）∵直線上點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”是，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，根據(jù)“沉毅點(diǎn)”的定義可得：，解得：，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，根據(jù)“沉毅點(diǎn)”的定義可得：，

解得：，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；（2）由題意可設(shè)點(diǎn)，且，根據(jù)“沉毅點(diǎn)”的定義可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，∵，∴，∴；（3）如圖為“沉毅點(diǎn)”函數(shù)圖象：從函數(shù)圖象看，“沉毅點(diǎn)”的縱坐標(biāo)的取值范圍是，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或-2，當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去負(fù)值），觀察圖象可知滿足條件的的取值范圍為.

【解析】（1）先根據(jù)題中條件寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)“沉毅點(diǎn)”的定義分和兩種