2023屆江蘇省南通市海門區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023屆江蘇省南通市海門區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化簡集合，再利用并集的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為，，，故.故選：D.2．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部為（）A．1 B． C．i D．【答案】B【分析】復(fù)數(shù)的分子分母同乘，化簡后，根據(jù)的虛部為求解.【詳解】的虛部為故選：B3．已知底面半徑為的圓錐的側(cè)面積與半徑為1的球的表面積相等，則圓錐的母線長為（）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)底面半徑為的圓錐的側(cè)面積與半徑為1的球的表面積相等，利用圓錐的側(cè)面積公式和球的表面積公式求解.【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為l，半徑為1的球的表面積為，因為底面半徑為的圓錐的側(cè)面積與半徑為1的球的表面積相等，所以，解得，故選：C4．若向量，滿足，，且，則（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】對兩邊平方,結(jié)合，計算即可求出答案．【詳解】由可得，即，，故選：B．5．我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動.如圖（2），傘完全收攏時，傘圈已滑到的位置，且，，三點共線，，為的中點，當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動的距離為24cm，則當(dāng)傘完全張開時，的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求出，，，再根據(jù)余弦定理求出，最后由二倍角的余弦公式可求出結(jié)果.【詳解】依題意分析可知，當(dāng)傘完全張開時，，因為為的中點，所以，當(dāng)傘完全收攏時，，所以，在中，，所以.故選：A6．、兩組各3人獨立的破譯某密碼，組每個人譯出該密碼的概率均為，組每個人譯出該密碼的概率均為，記、兩組中譯出密碼的人數(shù)分別為、，且，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由題意分析，均服從二項分布，利用二項分布的均值和方差公式直接求得.【詳解】由題意可知：服從二項分布，所以.同理：服從二項分布，所以.因為，所以，所以.對于二次函數(shù)，對稱軸，所以在上函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有，即.故選：B7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點，點滿足，又點在曲線上，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷出點兩個圓的公共點，求出，進(jìn)而求出.【詳解】設(shè).因為點，點，且，所以，整理化簡得：.而點在曲線上，方程平方后，整理為一個圓，所以曲線為圓在x軸上方部分.則兩個圓的公共弦為兩圓的方程相減，整理得：.所以滿足，解得：.即.所以.故選：B8．兩條曲線與存在兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可得有兩個不等正根，令，即有兩個不等正根，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】由題可知有兩個不等正根，即有兩個不等正根，令，則，又，在上單調(diào)遞增，所以有兩個不等正根，設(shè)，則，由可得單調(diào)遞增，由可得單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)和的大致圖象，由圖象可知當(dāng)時，有兩個正根，即時，兩條曲線與存在兩個公共點.故選：C.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的問題.二、多選題9．已知在正四面體中，、、、分別是棱，，，的中點，則（）A．平面 B．C．平面 D．、、、四點共面【答案】ABD【分析】把正四面體放到正方體里，對于A項根據(jù)線面平行的判定定理證明對于B項，從正方體的角度上看易得對于D項，證明四邊形是平行四邊形可驗證對于C項，反證法證明，矛盾點是與的夾角.【詳解】把正四面體放到正方體里，畫圖為：對于A項，、分別為，的中點，又平面且平面平面，故A正確對于B項，從正方體的角度上看易得，故B正確.對于D項，、、、分別是棱，，，的中點且且所以所以四邊形是平行四邊形，故、、、四點共面，所以D正確.對于C項，若平面成立，即平面又因為平面所以又因為、分別為，的中點，所以所以而為等邊三角形，與矛盾，所以C不正確.故選：ABD10．已知雙曲線的左右焦點分別是，，過的直線交雙曲線的右支于、兩點，若為等腰直角三角形，則的離心率可能為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分和與軸不垂直兩種情況，結(jié)合幾何關(guān)系以及雙曲線的定義、性質(zhì)可求解.【詳解】當(dāng)軸時，將代入得解得，所以，且，因為為等腰直角三角形，所以所以，所以，則有，即，解得（舍）或，當(dāng)與軸不垂直時，由于對稱性，不妨設(shè)傾斜角為銳角，且在軸上方，則可得，所以由為等腰直角三角形可得，根據(jù)雙曲線的定義可得所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，在直角三角形中，，即，整理得，解得，故選:BC.11．設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（）A． B．C．在上單調(diào)遞增 D．在上存在唯一的極值點【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，討論求出值，判斷A，B；再探討函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性、極值點判斷C，D作答.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，由及得：，則，而，即有，解得，即或，當(dāng)時，，由得，有，而，顯然不存在整數(shù)，使得，當(dāng)時，，由得，有，而，于是得，符合題意，所以，A不正確，B正確；，當(dāng)時，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；當(dāng)時，，而函數(shù)在上兩個極值點，一個極大值點，一個極小值點，所以函數(shù)在上有兩個極值點，一個極大值點，一個極小值點，D不正確.故選：BC12．若函數(shù)是定義在上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的，均滿足：，，記，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A選項，賦值即可判斷；對于B選項，可根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造函數(shù)，求出解析式，即可判斷；對于C選項，通過對求導(dǎo)可得，即可判斷；對于D選項，通過構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合裂項相消法以及等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】令，得，即，故A正確；因為，則，又因為，是定義在上不恒為零的可導(dǎo)函數(shù)，所以可設(shè)，因為，所以，即，則，所以，則，故B錯誤；令，所以，所以，所以，所以，則，所以，，，，累加得：，所以選項C正確；因為，所以，，，，累加得：，即，設(shè)，則，所以，即，所以，，，，累加得，所以，即所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題屬于綜合題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)和構(gòu)造數(shù)列，需熟悉基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)知識以及熟練運用數(shù)列求和的方法.三、填空題13．已知某班高三模擬測試數(shù)學(xué)成績，若，則______.【答案】【分析】由對稱性得出所求概率.【詳解】因為，所以.故答案為：14．函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的封閉三角形的面積為______.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，求出切線與坐標(biāo)軸的交點，再求三角形得面積.【詳解】，，即切線的斜率為，又，即切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線方程為，即，切線與軸的交點為，與軸的交點為，所以圍成三角形的面積為，故答案為：15．已知平行四邊形中，，，.若沿對角線將折起到的位置，使得，則此時三棱錐的外接球的體積大小是______.【答案】##【分析】求得，根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，將其補成一個長方體，設(shè)出其棱長，表示出，求得外接球半徑，即可求得答案.【詳解】如圖示：在平行四邊形中，，，，則,所以,則在三棱錐中，，故可將三棱錐中補成一個長方體，如圖示：則，故，由題意可知三棱錐的外接球即為該長方體的外接球，設(shè)球的半徑為r,則，故外接球體積為，故答案為：16．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫成《計算之書》，其中第12章提出兔子問題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計算______.【答案】3【分析】根據(jù)圖示規(guī)律和數(shù)列遞推關(guān)系即可求解.【詳解】從圖（2）可得到正三角形的面積等于三個等腰梯形的面積加上小正三角形的面積，所以，整理可得，由此可推斷出也可構(gòu)成以下正三角形，所以，整理可得，所以故答案為：3.四、解答題17．已知公差大于0的等差數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)在與之間插入個2，構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前110項的和.【答案】(1)(2)244【分析】（1）設(shè)公差為，利用基本量代換求出，再利用通項公式即可得到答案；（2）先判斷出當(dāng)有次插入新數(shù)，共有個項，從而判斷出110項應(yīng)該介于和之間，即可求和.【詳解】（1）設(shè)公差為，，由題意得，化簡得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）知在與之間插入個2，所以當(dāng)忽略數(shù)列中的項，則當(dāng)有次插入新數(shù)，共有個項，當(dāng)時，有62個數(shù)；當(dāng)時，共有126個數(shù)，所以110項應(yīng)該介于和之間，即，表示共有104個2和原先中前6項之和，所以.18．某公司開發(fā)了一款可以供（或）個人同時玩的跳棋游戲.每局游戲開始，采用擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子（骰子出現(xiàn)的點數(shù)為1，2，3，4，5，6），兩個骰子的點數(shù)之和除以的余數(shù)0，1，2，，分別對應(yīng)游戲者，，，，.(1)當(dāng)時，在已知兩個骰子的點數(shù)之和為偶數(shù)的條件下，求先走第一步的概率；(2)當(dāng)時，求兩顆骰子點數(shù)之和除以的余數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望，并說明該方法對每個游戲者是否公平.【答案】(1)(2)分布列見解析，，不公平【分析】（1）列舉基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解；（2）根據(jù)試驗，分析出當(dāng)時，兩顆骰子點數(shù)之和除以的余數(shù)可能為0，1，2，3，分別求概率，得到分布列，即可判斷.【詳解】（1）因為擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子所得點數(shù)之和有如下36種基本樣本點（表）：123456123456723456783456789456789105678910116789101112在已知兩個骰子點數(shù)之和為偶數(shù)的條件下，共有基本事件18個，設(shè)事件“先走第一步”為，表示和被除后的余數(shù)為2的基本事件有和為2，8對應(yīng)的情形有6個，依據(jù)古典概型可知：，即先走第一步的概率為.（2）當(dāng)時，兩顆骰子點數(shù)之和除以的余數(shù)可能為0，1，2，3，且所以隨即變量的概率分布為0123故；由于和被4除所得余數(shù)（即隨即變量取值）的概率大小不完全相同，說明該方法對每個游戲者不公平.19．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面，，，，分別為，的中點，且.(1)證明：；(2)若四棱錐的體積為1，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面平面得到，再根據(jù)得到平面即可.（2）以為坐標(biāo)原點，，方向為，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求解.【詳解】（1）證明：如圖，連接，因為，為中點，所以，由平面，平面平面，平面平面，故平面；因為平面，所以；因為，，且，平面所以平面；而平面，所以.（2）由（1），且為平行四邊形，所以，因為，所以由于四棱錐的體積為，故，解得；如圖，以為坐標(biāo)原點，，方向為，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為為的中點，且，所以，所以，設(shè)異面直線與所成角為，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為20．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，，點滿足.(1)若為的角平分線，求的周長；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由和，根據(jù)為的角平分線，得到，再與求解.(2)由和，得到，再結(jié)合，得到求解.【詳解】（1）在中，，①在中，，②因為為的角平分線，所以，所以，因為，所以，所以，又因為，所以，又因為，所以，，所以的周長為.（2）在中，，在中，，因為，所以，所以，因為，所以，因為，所以所以所以，令，則，則，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，所以的取值范圍為.21．已知拋物線經(jīng)過點.(1)求拋物線的方程；(2)動直線與拋物線交于不同的兩點，，是拋物線上異于，的一點，記，的斜率分別為，，為非零的常數(shù).從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①點坐標(biāo)為；②；③直線經(jīng)過點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將代入拋物線即可求解；（2）選擇①②，證③：設(shè)直線，與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得，，利用兩點的斜率公式即可求證；選擇①③，證②和選擇②③，證①，設(shè)設(shè)直線的方程為，與拋物線進(jìn)行聯(lián)立可得，，利用兩點的斜率公式即可求證；【詳解】（1）因為拋物線經(jīng)過點，所以，所以，所以拋物線的方程為；（2）設(shè)，，方案一：選擇①②，證③因為，，所以，所以，由已知可知與軸不平行，設(shè)直線，聯(lián)立消去可得，，所以，，所以，所以直線的方程為，所以經(jīng)過；方案二：選擇①③，證②設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去可得，所以，，，因為，，所以；方案三：選擇②③，證①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去可得，所以，，，設(shè)，則，，所以，所以，整理可得，因式分解可得對任意的恒成立，所以，所以點坐標(biāo)為.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的兩個極值點為，，證明：.【答案】(1)，無極小值(2)證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令得，列表判斷兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號，進(jìn)而可得答案；（2）當(dāng)時，設(shè)