八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案(人教版)

第十六章分式

16.1分式

16.1.1從分?jǐn)?shù)到分式

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解分式、有理式的概念.

2.理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件；能熟練地求出分式有意義的條件，

分式的值為零的條件.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

2.難點(diǎn)：能熟練地求出分式有意義的條件，分式的值為零的條件.

三、課堂引入

1.讓學(xué)生填寫P4［思考］,學(xué)生自己依次填出：W,士，200,V.

7433s

2.學(xué)生看P3的問題：一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江以最大航速

順流航行100千米所用實(shí)踐，與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)間相等，江水的流速為

多少？

請(qǐng)同學(xué)們跟著教師一起設(shè)未知數(shù)，列方程.

設(shè)江水的流速為x千米/時(shí).

輪船順流航行100千米所用的時(shí)間為10。小時(shí),逆流航行60千米所用時(shí)間60小時(shí),

20+v20-v

所以100=60.

20+v20-v

3.以上的式子60,￡,2,有什么共同點(diǎn)？它們與分?jǐn)?shù)有什么相同點(diǎn)和不

20+v20-vas

同點(diǎn)？

五、例題講解

P5例1.當(dāng)x為何值時(shí)，分式有意義.

［分析］已知分式有意義，就可以知道分式的分母不為零，進(jìn)一步解

出字母x的取值范圍.

［提問］如果題目為：當(dāng)x為何值時(shí)，分式無意義.你知道怎么解題嗎？這樣可以使學(xué)生

一題二用，也可以讓學(xué)生更全面地感受到分式及有關(guān)概念.

(補(bǔ)充)例2.當(dāng)m為何值時(shí)，分式的值為0?

min-2,、m-1

⑴KT⑵芯(3)QT

［分析］分式的值為0時(shí)，必須回時(shí)滿足兩個(gè)條件：①分母不能為零；②分子為零，這

樣求出的m的解集中的公共部分，就,是,這類題目的解.

［答案］(1)m=0(2)m=2(3)m=l

六、隨堂練習(xí)

2.當(dāng)x取何值時(shí)，下列分式有意義？

⑴?、频?3)窘

3.當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值為0?1

(1)X+7(2)7X(3)X2-X

5x21-3x

七、課后練習(xí)

1.列代數(shù)式表示下列數(shù)量關(guān)系，并指出哪些是正是？哪些是分式?

(1)甲每小時(shí)做X個(gè)零件，則他8小時(shí)做零件個(gè)，做80個(gè)零件需一小時(shí).

(2)輪船在靜水中每小時(shí)走a千米，水流的速度是b千米/時(shí),輪船的順流速度是

千米/時(shí)，輪船的逆流速度是千米/時(shí).

(3)x與y的差于4的商是f.

2.當(dāng)x取何值時(shí)，分式片±1無意義？

3x-2

3.當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值為0?

X2-X

八、答案：

六、1.整式：9x+4,9+y/n-4分式：2.，上2,_L

-2O-55Xy2x-9

3

2.(1)X*2(2)xW2(3)x#±2

3.(1)x=-7(2)x=0(3)x=-l

8()sx-y.

七、1.18x,—,a+b,------，-------，整式：8x,a+b,匕；

xa+b44

分式：四，工

xa+b

2.X=23.X=-1

3

16.1.2分式的基本性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解分式的基本性質(zhì).

2.會(huì)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.

~、重占、占

'1.'重點(diǎn)：質(zhì)解分式的基本性質(zhì).

2.難點(diǎn)：靈活應(yīng)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P7的例2是使學(xué)生觀察等式左右的已知的分母(或分子)，乘以或除以了什么整式，

然后應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，相應(yīng)地把分子(或分母)乘以或除以了這個(gè)整式，填到括號(hào)里作

為答案，使分式的值不變.

2.P9的例3、例4地目的是進(jìn)一步運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分、通分.值得注意的是：

約分是要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，最后的結(jié)果要是最簡分式；通分是要正確地確定各個(gè)分

母的最簡公分母，一般的取系數(shù)的最小公倍數(shù)，以及所有因式的最高次基的積，作為最簡公

分母.

教師要講清方法，還要及時(shí)地糾正學(xué)生做題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，使學(xué)生在做提示加深對(duì)相應(yīng)

概念及方法的理解.

3.P11習(xí)題16.1的第5題是：不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含

號(hào).這一類題教材里沒有例題，但它也是由分式的基本性質(zhì)得出分子、分母和分式本身的符

號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變.

“不改變分式的值，使分式的分子和分母都不含號(hào)”是分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用之一,

所以補(bǔ)充例5.

四、課堂引入

1.請(qǐng)同學(xué)們考慮：3與竺相等嗎？2與相等嗎？為什么？

420248

315a3

2.說出了與卷之間變形的過程最與；之間變形的過程，并說出變形依據(jù)？

3.提問分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，讓學(xué)生類比猜想出分式的基本性質(zhì).

五、例題講解

P7例2.填空：

［分析］應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把已知的分子、分母同乘以或除以同一個(gè)整式，使分式的值

不變.

P11例3.約分：

［分析］約分是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)把分式的分子、分母同除以同一個(gè)整式，使分式的

值不變.所以要找準(zhǔn)分子和分母的公因式，約分的結(jié)果要是最簡分式.

P11例4.通分:

［分析］通分要想確定各分式的公分母，一般的取系數(shù)的最小公倍數(shù)，以及所有因式的

最高次幕的積，作為最簡公分母.

（補(bǔ)充）例5.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含號(hào).

-6b,-x,2m,-Im,-3x。

-5a3y-n6〃-4y

［分析］每個(gè)分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號(hào)，其中兩個(gè)符號(hào)同時(shí)改變，分

式的值不變.

六、隨堂練習(xí)

1.填空：

(1)⑵

/T號(hào)8"()

x2-y2_x-y

⑶(4)

a+carisen(x+4()

2.約分：

Sm2n-41田2(x5

(2)(4)

⑴黑2mn2I6xyz5y-x

3.通分：

19apb

(1)—T和一^——和—

2ab35612b“c2xy3x2

3c十a(chǎn)1工1

——丁和------(4)----和-----

2ab2Sbe2y-\y4-1

4.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含”號(hào).

33

/、-xy小-a一5。(4)一(”片

(1)--------7-(2)-----------⑶

3abi-XIb17-13x2m

七、課后練習(xí)

1.判斷下列約分是否正確：

x-y1

(1)^^=-(2)

b+cbx2-y2x+y

(3)^1^=0

m+幾

2.通分:

12/c、X—1TrX—1

(1)和—z—(2)——和一—

3ab21a-bX-xX4-X

3.不改變分式的值，使分子第一項(xiàng)系數(shù)為正，分式本身不帶”號(hào).

-2a-b

(1)⑵后

-a+b

八、答案：

六、1.(l)2x⑵4b(3)bn+n(4)x+y

X

2.(1)—⑵也(3)------r⑷-2(x-y)2

2bcn4z2

3.通分：

15ac24b

(1)

2ab3lOa2b3cT5a2b2c10a263c

a3axb2by

(2)

2xy6x2y'3x26x2y

3c12c3aab

(3)

2ab28ab2c2Sbc2&必2c2

1_y+i1)一1

(4)

y-i(y-l)(y+l))'+l(y-i)(y+D

3⑶*

⑵一品(4)

4?⑴丸m

16.2分式的運(yùn)算

16.2.1分式的乘除(一)

教學(xué)目標(biāo)：理解分式乘除法的法則，會(huì)進(jìn)行分式乘除運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：會(huì)用分式乘除的法則進(jìn)行運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用分式乘除的法則進(jìn)行運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P13本節(jié)的引入還是用問題1求容積的高，問題2求大拖拉機(jī)的工作效率是小拖拉

機(jī)的工作效率的多少倍，這兩個(gè)引例所得到的容積的高是v上?m竺，大拖拉機(jī)的工作效率是

ahn

小拖拉機(jī)的工作效率的倍.引出了分式的乘除法的實(shí)際存在的意義，進(jìn)一步引出

\mn)

P14［觀察］從分?jǐn)?shù)的乘除法引導(dǎo)學(xué)生類比出分式的乘除法的法則.但分析題意、列式子時(shí)，不

易耽誤太多時(shí)間.

2.P14例1應(yīng)用分式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算，注意計(jì)算的結(jié)果如能約分，應(yīng)化簡到最

簡.

3.P14例2是較復(fù)雜的分式乘除，分式的分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把多項(xiàng)式分解因

式，再進(jìn)行約分.

4.P14例3是應(yīng)用題，題意也比較容易理解，式子也比較容易列出來，但要注意根據(jù)

問題的實(shí)際意義可知a>l,因此(aT)2=a2-2a+l〈aJ2+l,即這一點(diǎn)要給學(xué)生講清

楚，才能分析清楚“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量高.(或用求差法比較兩代數(shù)式的大小)

四、課堂引入

Vm

1.出示P13本節(jié)的引入的問題1求容積的高上?竺，問題2求大拖拉機(jī)的工作效率是

ahn

小拖拉機(jī)的工作效率的(g+2］倍.

n)

［引入］從上面的問題可知，有時(shí)需要分式運(yùn)算的乘除.本節(jié)我們就討論數(shù)量關(guān)系需要進(jìn)

行分式的乘除運(yùn)算.我們先從分?jǐn)?shù)的乘除入手，類比出分式的乘除法法則.

1.P14［觀察］從上面的算式可以看到分式的乘除法法則.

3.［提問］P14［思考］類比分?jǐn)?shù)的乘除法法則，你能說出分式的乘除法法則？

類似分?jǐn)?shù)的乘除法法則得到分式的乘除法法則的結(jié)論.

五、例題講解

P14例1.

［分析］這道例題就是直接應(yīng)用分式的乘除法法則進(jìn)行運(yùn)算.應(yīng)該注意的是運(yùn)算結(jié)果應(yīng)

約分到最簡，還應(yīng)注意在計(jì)算時(shí)跟整式運(yùn)算一樣，先判斷運(yùn)算符號(hào)，在計(jì)算結(jié)果.

P15例2.

［分析］這道例題的分式的分子、分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先把多項(xiàng)式分解因式，再進(jìn)行約分.

結(jié)果的分母如果不是單一的多項(xiàng)式，而是多個(gè)多項(xiàng)式相乘是不必把它們展開.

P15例.

［分析］這道應(yīng)用題有兩問，第一問是：哪一種小麥的單位面積產(chǎn)量最高？先分別求出

“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田的面積，再分別求出“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”

小麥試驗(yàn)田的單位面積產(chǎn)量，分別是巡、…迎.,還要判斷出以上兩個(gè)分式的值，哪一

?2-1("1》

個(gè)值更大.要根據(jù)問題的實(shí)際意義可知a>l,因此(aT)2=a2-2a+l<aJ2+l,即(a-D'/T,可

得出“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量高.

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

(1)—.￡^1(2)_匚.皿

abc2m5〃’⑶方㈢

（4）-8xy+@(5)y-4a—(6)y26y+9

2+(3-y)

5xa-la+\/+4Q+4y+2

七、課后練習(xí)

計(jì)算

⑴宗㈢(2)（3）等一（一8一），）

(4)aj/ab(5)八7：(4?(6)42(/-12)-X?

3ab2a-2bx-\x35(〉-x)3

八、答案：

六、(1)ab(2)2，”(3)一上(4)-20x2(5)S+l)("2)

5/714(〃-1)(〃+2)

(6)IzZ

y+2

七、(1)_1(2)(3)__(4)。+2b

x2c2\Oax3%

(5)上(6)6x(x+.y)

1-x5(x5

16.2.1分式的乘除（二）

一、教學(xué)目標(biāo)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘除法的混合運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P17頁例4是分式乘除法的混合運(yùn)算.分式乘除法的混合運(yùn)算先把除法統(tǒng)一成乘法

運(yùn)算，再把分子、分母中能因式分解的多項(xiàng)式分解因式，最后進(jìn)行約分，注意最后的結(jié)果要

是最簡分式或整式.

教材P17例4只把運(yùn)算統(tǒng)一乘法，而沒有把251-9分解因式，就得出了最后的結(jié)果，教

師在見解是不要跳步太快，以免學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生理解不了，造成新的疑點(diǎn).

2,P17頁例4中沒有涉及到符號(hào)問題，可運(yùn)算符號(hào)問題、變號(hào)法則是學(xué)生學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，

也是難點(diǎn)，故補(bǔ)充例題，突破符號(hào)問題.

四、課堂引入

計(jì)算

（1）Z^￡.（_Z）（2）3x3x1

XyX4,yylx

五、例題講解

（P17）例4.計(jì)算

［分析］是分式乘除法的混合運(yùn)算.分式乘除法的混合運(yùn)算先統(tǒng)一成為乘法運(yùn)算，再把

分子、分母中能因式分解的多項(xiàng)式分解因式，最后進(jìn)行約分，注意最后的計(jì)算結(jié)果要是最簡

的.

(補(bǔ)充)例.計(jì)算

/八3cz/?*2.8xy、3x

(1)—^―-(----+---------

2x3y9a2b(-4份

_3ab2Sxy-Ab

（先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算）

2x3y9a2b3x

3ab28盯竺

（判斷運(yùn)算的符號(hào)）

9a2b3x

_l6b2

（約分到最簡分式）

9ax3

2x—6

⑵4(x+3).任+瑣匕2)

4-4x+4x23-x

2x-61(x+3)(x—2)

（先把除法統(tǒng)一成乘法運(yùn)算）

4-4x+4x2x+33-x

2(x-3)1(x+3)(x-2)

（分子、分母中的多項(xiàng)式分解因式）

(2-x)2x+33-x

2(%—3)1(x+3)(x-2)

(x-2yx+3—(x—3)

2

x—2

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

/、3b之be.2。、20c3

（1）——+—7-（---）(2)

16。26rb3O6Z3/710

⑶土耳旦⑷（孫一身/2到+/.三

（y-x）y-xxyx

七、課后練習(xí)

計(jì)算

⑴一寸.渾(一%/仆/—6。+93—a

(2)------------：-------------

4y6z4-Z?22+h3a-9

2

y24y+4.112-6y/八X+孫/、孫

(3)：(4)———-

2y-6y+39-y2x-xyy-xy

八、答案:

3a2

六.(1)⑵一默(3)(4)-y

4c3

36xz2-y

七.⑴(3)(4)——

y3⑵312X

16.2.1分式的乘除（三）

一、教學(xué)目標(biāo)：理解分式乘方的運(yùn)算法則，熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘方的運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式乘、除、乘方的混合運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P17例5第（1）題是分式的乘方運(yùn)算，它與整式的乘方一樣應(yīng)先判

斷乘方的結(jié)果的符號(hào)，在分別把分子、分母乘方.第（2）題是分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算,

應(yīng)對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順序：先做乘方，再做乘除..

2.教材P17例5中象第（1）題這樣的分式的乘方運(yùn)算只有一題，對(duì)于初學(xué)者來說，練習(xí)

的量顯然少了些，故教師應(yīng)作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充練習(xí).同樣象第（2）題這樣的分式的乘除與乘方的

混合運(yùn)算，也應(yīng)相應(yīng)的增加幾題為好.

分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算是學(xué)生學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，故補(bǔ)充例題，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算順

序，不要盲目地跳步計(jì)算,提高正確率，突破這個(gè)難點(diǎn).

四、課堂引入

計(jì)算下列各題:

⑴鏟?)⑵鏟哈）

aa

（3）)

鏟?'b"b

［提問］由以上計(jì)算的結(jié)果你能推出（左）"（n為正整數(shù)）的結(jié)果嗎？

五、例題講解

（P17）例5.計(jì)算

［分析］第（1）題是分式的乘方運(yùn)算，它與整式的乘方一樣應(yīng)先判斷乘方的結(jié)果的符號(hào)，

再分別把分子、分母乘方.第（2）題是分式的乘除與乘方的混合運(yùn)算，應(yīng)對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)

算順序：先做乘方，再做乘除.

六、隨堂練習(xí)

1.判斷下列各式是否成立，并改正.

3b-9b2

⑴02ad2a~匕7）一寸

3x_9x2

(4)2

x-hx2-b2

2.計(jì)算

⑴好⑵守⑶(3)"梟)3

3xy2x

232

⑷(N):(W)25)(-與.(上)十孫4)

-zzyx

⑹七)"||)”靠

七、課后練習(xí)

計(jì)算

⑴(-號(hào)(.22

⑵(一市)

a

⑶(總4々)2.(3)3.d_的

(4)(

abb-a

八、答案：

b

&b“、，一3久29b2

六、1.(1)不成立,(2)不成立，(---)~二——

2aAa~2a4a2

2

3QrQr

(4)=-2

(3)不成立,(4)不成立，(―)=^—一7

-3x27%3x-bx2-2bx+b2

27a6/8a晨4y3

2.(2)(3)(4)

⑴器4

8c99y2z

(6)“V

⑸二⑹7F

X

-勸6c2,、a+h

七、(1)⑵缶(3)(4)-----

a9a2b

16.2.2分式的加減(一)

一、教學(xué)目標(biāo)：(1)熟練地進(jìn)行同分母的分式加減法的運(yùn)算.

(2)會(huì)把異分母的分式通分，轉(zhuǎn)化成同分母的分式相加減.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P18問題3是一個(gè)工程問題，題意比較簡單，只是用字母n天來表示甲工程隊(duì)完成

一項(xiàng)工程的時(shí)間，乙工程隊(duì)完成這一項(xiàng)工程的時(shí)間可表示為n+3天，兩隊(duì)共同工作一天完成

這項(xiàng)工程的L+—L.這樣引出分式的加減法的實(shí)際背景，問題4的目的與問題3一樣，

n〃+3

從上面兩個(gè)問題可知，在討論實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要進(jìn)行分式的加減法運(yùn)算.

2.P19［觀察］是為了讓學(xué)生回憶分?jǐn)?shù)的加減法法則，類比分?jǐn)?shù)的加減法，分式的加減

法的實(shí)質(zhì)與分?jǐn)?shù)的加減法相同，讓學(xué)生自己說出分式的加減法法則.

3.P20例6計(jì)算應(yīng)用分式的加減法法則.第（1）題是同分母的分式減法的運(yùn)算，第二

個(gè)分式的分子式個(gè)單項(xiàng)式，不涉及到分子變號(hào)的問題，比較簡單，所以要補(bǔ)充分子是多項(xiàng)式

的例題，教師要強(qiáng)調(diào)分子相減時(shí)第二個(gè)多項(xiàng)式注意變號(hào)；

第（2）題是異分母的分式加法的運(yùn)算，最簡公分母就是兩個(gè)分母的乘積，沒有涉及分

母要因式分解的題型.例6的練習(xí)的題量明顯不足，題型也過于簡單，教師應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充一些

題，以供學(xué)生練習(xí)，鞏固分式的加減法法則.

（4）P21例7是一道物理的電路題，學(xué)生首先要有并聯(lián)電路總電阻R與各支路電阻L,

Rz,…，R”的關(guān)系為_L=_L+_L+…+_L.若知道這個(gè)公式，就比較容易地用含有R的式子

R鳥R?R”

表示R”列出_L=_L+」_,下面的計(jì)算就是異分母的分式加法的運(yùn)算了，得到

RR4+50

1=24+5（）,再利用倒數(shù)的概念得到R的結(jié)果.這道題的數(shù)學(xué)計(jì)算并不難，但是物理的知

R/?,（/?,+50）

識(shí)若不熟悉，就為數(shù)學(xué)計(jì)算設(shè)置了難點(diǎn).鑒于以上分析，教師在講這道題時(shí)要根據(jù)學(xué)生的物

理知識(shí)掌握的情況，以及學(xué)生的具體掌握異分母的分式加法的運(yùn)算的情況，可以考慮是否放

在例8之后講.

四、課堂堂引入

1.出示P18問題3、問題4,教師引導(dǎo)學(xué)生列出答案.

引語：從上面兩個(gè)問題可知，在討論實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，需要進(jìn)行分式的加減法運(yùn)

算.

2.下面我們先觀察分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算，請(qǐng)你說出分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算的法則嗎？

3.分式的加減法的實(shí)質(zhì)與分?jǐn)?shù)的加減法相同，你能說出分式的加減法法則？

4.請(qǐng)同學(xué)們說出一的最簡公分母是什么？你能說出最簡公分母的

2x2y33x4y29xy2

確定方法嗎？

五、例題講解

（P20）例6.計(jì)算

［分析］第（1）題是同分母的分式減法的運(yùn)算，分母不變，只把分子相減，第二個(gè)分式

的分子式個(gè)單項(xiàng)式，不涉及到分子是多項(xiàng)式時(shí)，第二個(gè)多項(xiàng)式要變號(hào)的問題，比較簡單；第

（2）題是異分母的分式加法的運(yùn)算，最簡公分母就是兩個(gè)分母的乘積.

（補(bǔ)充）例.計(jì)算

x+3yx+2y2x-3y

1

2）22----22

%―y%一）》—y

［分析］第（1）題是同分母的分式加減法的運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)分子為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)把多項(xiàng)事看

作一個(gè)整體加上括號(hào)參加運(yùn)算，結(jié)果也要約分化成最簡分式.

解：x+3yx+2yI2x-3y

x2-y2x2-y2x2-y2

_(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)

22

x-y

_2x-2y

2-

x-y

2(x-y)

(x-y)(x+y)

2

x+y

/c、11-x6

(2)——+---------；—

x—36+2xx—9

［分析］第(2)題是異分母的分式加減法的運(yùn)算，先把分母進(jìn)行因式分解，再確定最簡

公分母，進(jìn)行通分，結(jié)果要化為最簡分式.

x-32(x+3)(x+3)(%-3)

_2(x+3)+(1—x)(x—3)—12

2(x+3)(x-3)

-(x2-6冗+9)

2(x+3)(x-3)

-(x-3)2

-2(x+3)(x-3)

_x—3

2x+6

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

/、3Q+2力a+hh-am+2nn2m

\A/r(2)

5a~b5a2b5a2bn-mm-nn-m

ra)1-u.63a-6b5a-6b4a-5b7a-Sb

(4)

Q+3a2-9a+ha-ba+ha-b

七、課后練習(xí)

計(jì)算

5。+663b-4a。+3b3b-aa+2b3a—4h

---------------1------------------------------

3a2be3ba2c3cbei2a1-b2a2-b2b2-a2

2

b2113x

(3)-----+-+--。--+b+1(4)

a—bb-a6x-4y6x-4y4y2-6x2

八、答案:

四?⑴有⑵3m+3〃

(3)----(4)1

n-mci—3

五⑴高a-3b/C、

⑵F—r⑶1

a2-b2a"

16.2.2分式的加減（二）

一、教學(xué)目標(biāo)：明確分式混合運(yùn)算的順序，熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

2.難點(diǎn)：熟練地進(jìn)行分式的混合運(yùn)算.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P21例8是分式的混合運(yùn)算.分式的混合運(yùn)算需要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的

混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意最后的

結(jié)果要是最簡分式或整式.

例8只有一道題，訓(xùn)練的力度不夠，所以應(yīng)補(bǔ)充一些練習(xí)題，使學(xué)生熟練掌握分式的混

合運(yùn)算.

2.P22頁練習(xí)1：寫出第18頁問題3和問題4的計(jì)算結(jié)果.這道題與第一節(jié)課相呼應(yīng),

也解決了本節(jié)引言中所列分式的計(jì)算，完整地解決了應(yīng)用問題.

四、課堂引入

1.說出分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序.

2.教師指出分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算與分式的混合運(yùn)算的順序相同.

五、例題講解

（P21）例8.計(jì)算

［分析］這道題是分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序：

先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要是最簡分

式.

（補(bǔ)充）計(jì)算

X2—lxx1-4x+4x

［分析］這道題先做括號(hào)里的減法，再把除法轉(zhuǎn)化成乘法，把分母的號(hào)提到分式本

身的前邊..

解：——盧^—）--

x"-2xx2-4x+4x

x+2x-1ix

—ir---------------1--------

x(x-2)(x-2)2-(x-4)

.(x+2)(x-2)x(x-l)x

=-----------------------q--------

x(x-2)2x(x-2)2-(x-4)

龍？—4—X2+XX

M%-2)2-(x-4)

——------1-----

x2-4x+4

2

/c、％yx4yx2

〈(乙2)，____________________________!-----------------

x-yx+yx4-y4,x?+y-?

［分析］這道題先做乘除，再做減法，把分子的號(hào)提到分式本身的前邊.

242

解：-

x-yx+yx-yx+y

2472

xy___________￡2_______%+「

x-yx+y(%2+y2)(x2-y2)x2

22

一孫-y

(x-y)(x+y)x2-j2

xy{y-x)

(x-y)(x+y)

_孫

x+y

六、隨堂練習(xí)

計(jì)算

..x24,x+2

(1)(z--+--)-^—

x-22-x2x

2

(3)

a-2a+2

七、課后練習(xí)

1.計(jì)算

(1)(1+^-)(1-一—)

x-yx+y

/八\/。+2a—1.ci—24—a

(2)(―------z-------)------^―

ci~-2。ci~-4Q+4aci~

(3)(卓+3.—

xyzxy+yz+zx

114

2.計(jì)算(一^——=)+今，并求出當(dāng)。=-1的值.

。+2u-2ci

八、答案：

六、(1)2x(2)(3)3

a-b

16.2.3整數(shù)指數(shù)募

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知道負(fù)整數(shù)指數(shù)累a-"=e(aWO,n是正整數(shù)).

2.掌握整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì).

3.會(huì)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：掌握整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

2.難點(diǎn)：會(huì)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P23思考提出問題，引出本節(jié)課的主要內(nèi)容負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì).

2.P24觀察是為了引出同底數(shù)的事的乘法：am-an=a",+n,這條性質(zhì)適用于m,n是

任意整數(shù)的結(jié)論,說明正整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)具有延續(xù)性.其它的正整數(shù)指數(shù)第的運(yùn)算性

質(zhì)，在整數(shù)范圍里也都適用.

3.P24例9計(jì)算是應(yīng)用推廣后的整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，教師不要因?yàn)檫@部分知識(shí)已

經(jīng)講過，就認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)掌握，要注意學(xué)生計(jì)算時(shí)的問題，及時(shí)矯正，以達(dá)到學(xué)生掌握整數(shù)

指數(shù)第的運(yùn)算的教學(xué)目的.

4.P25例10判斷下列等式是否正確？是為了類比負(fù)數(shù)的引入后使減法轉(zhuǎn)化為加法，

而得到負(fù)指數(shù)累的引入可以使除法轉(zhuǎn)化為乘法這個(gè)結(jié)論，從而使分式的運(yùn)算與整式的運(yùn)算統(tǒng)

一起來.

5.P25最后一段是介紹會(huì)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).用科學(xué)計(jì)算法表示小于1的

數(shù)，運(yùn)用了負(fù)整數(shù)指數(shù)募的知識(shí).用科學(xué)計(jì)數(shù)法不僅可以表示小于1的正數(shù)，也可以表示一

個(gè)負(fù)數(shù).

6.P26思考提出問題，讓學(xué)生思考用負(fù)整數(shù)指數(shù)幕來表示小于1的數(shù)，從而歸納出：

對(duì)于一個(gè)小于1的數(shù)，如果小數(shù)點(diǎn)后至第一個(gè)非0數(shù)字前有幾個(gè)0,用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示這個(gè)

數(shù)時(shí)，10的指數(shù)就是負(fù)幾.

7.P26例11是一個(gè)介紹納米的應(yīng)用題，使學(xué)生做過這道題后對(duì)納米有一個(gè)新的認(rèn)識(shí).

更主要的是應(yīng)用用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

四、課堂引入

1.回憶正整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)：

(1)同底數(shù)的基的乘法：am?a"=a'n+"(m,n是正整數(shù))；

(2)一的乘方:(a'")"=amn(m,n是正整數(shù))；

(3)積的乘方：①與"=anbn(n是正整數(shù))；

(4)同底數(shù)的事的除法：儲(chǔ)〃+優(yōu)=。2〃(aWO,m,n是正整數(shù),

m>n)；

(5)商的乘方：=》(n是正整數(shù));

2.回憶0指數(shù)幕的規(guī)定，即當(dāng)aWO時(shí)，a°=l.

即1納米=，

3.你還記得1納米=10°米,米嗎？

4.計(jì)算當(dāng)aWO時(shí)，/+。5=5=一￡丁=4,再假設(shè)正整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

優(yōu)"十優(yōu)’(aWO,m,n是正整數(shù)，m>n)中的m>n這個(gè)條件去掉，那么

/十45=/-5=/2.于是得到/2=_^,就規(guī)定負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)n是

a

正整數(shù)時(shí)，a~"=—(a#0).

a"

五、例題講解

(P24)例9.計(jì)算

［分析］是應(yīng)用推廣后的整數(shù)指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，與用正整數(shù)

指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算一樣，但計(jì)算結(jié)果有負(fù)指數(shù)幕時(shí)，要寫成分式形式.

(P25)例10.判斷下列等式是否正確？

［分析］類比負(fù)數(shù)的引入后使減法轉(zhuǎn)化為加法，而得到負(fù)指數(shù)累的引入可以使除法轉(zhuǎn)化

為乘法這個(gè)結(jié)論,從而使分式的運(yùn)算與整式的運(yùn)算統(tǒng)一起來,然后再判斷下列等式是否正確.

(P26)例11.

［分析］是一個(gè)介紹納米的應(yīng)用題，是應(yīng)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示小于1的數(shù).

六、隨堂練習(xí)

1.填空

(1)-22=(2)(-2>=(3)(-2)°=

(4)2°=(5)2三(6)(-2)'3=

2.計(jì)算

(1)(xY2)2(2)x2y2-(x2y)3(3)(3xV2)2^(x2y)3

七、課后練習(xí)

1.用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示下列各數(shù)：

0.00004,-0.034,0.00000045,0.003009

2.計(jì)算

(1)(3X10-8)X(4X103)(2)(2義10”+(10”

八、答案：

六、1.(1)-4(2)4(3)1(4)1(5)-(6)--

88

2.(1)二(2)3(3)^―

y尤y

七、1.(1)4X10-5(2)3.4X102(3)4.5X107(4)3.009X103

2.(1)1.2X105(2)4X103

課后反思：

16.3分式方程(一)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.了解分式方程的概念，和產(chǎn)生增根的原因.

2.掌握分式方程的解法，會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)檢

驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是原方程的增根.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是

原方程的增根.

2.難點(diǎn)：會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是

原方程的增根.

三、例、習(xí)題的意圖分析

1.P31思考提出問題，引發(fā)學(xué)生的思考，從而引出解分式方程的解法以及產(chǎn)生增根的

原因.

2.P32的歸納明確地總結(jié)了解分式方程的基本思路和做法.

3.P33思考提出問題，為什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程

的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析產(chǎn)生增根

的原因，及P33的歸納出檢驗(yàn)增根的方法.

4.P34討論提出P33的歸納出檢驗(yàn)增根的方法的理論根據(jù)是什么？

5.教材P38習(xí)題第2題是含有字母系數(shù)的分式方程，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，教師可以

點(diǎn)撥一下解題的思路與解數(shù)字系數(shù)的方程相似，只是在系數(shù)化1時(shí)，要考慮字母系數(shù)不為

0,才能除以這個(gè)系數(shù).這種方程的解必須驗(yàn)根.

四、課堂引入

1oOr—3

1.回憶一元一次方程的解法，并且解方r程士-與上=1

46

2.提出本章引言的問題：

一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行100千米所用

時(shí)間，與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？

分析：設(shè)江水的流速為/千米/時(shí)，根據(jù)“兩次航行所用時(shí)間相同”這一等量關(guān)系，得

10060

到方程

20+v20-v

像這樣分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.

五、例題講解

(P34)例1.解方程

［分析］找對(duì)最簡公分母x(x-3),方程兩邊同乘x(x-3),把分式方程轉(zhuǎn)化

為整式方程，整式方程的解必須驗(yàn)根

這道題還有解法二：利用比例的性質(zhì)“內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積”，這樣做也比較簡便.

(P34)例2.解方程

［分析］找對(duì)最簡公分母(xT)(x+2),方程兩邊同乘(x-l)(x+2)時(shí)，學(xué)生容易把整數(shù)1漏

乘最簡公分母(x-1)(x+2),整式方程的解必須驗(yàn)根.

六、隨堂練習(xí)

解方程

32⑵236

(1)-=—---------1---------

xx-6X+1X-1尤2-

x+142x

1(4)21+之=2

x—1x2-1

七、課后練習(xí)

1.解方程

1614尤—7

(1)—0⑵

5+x1+x3x—88—3x

e23453

⑶-------+------0(4)—

X+xX-xX2-1x+12x+24

2x+912

2.1為何值時(shí)，代數(shù)式--的值等于2?

x+3x-3x

八、答案:

4

六、(1)x=18(2)原方程無解(3)x=l(4)x=—

5

3

七、1.(1)x=3(2)x=3(3)原方程無解(4)x=l2.x=-

2

16.3分式方程(二)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.會(huì)分析題意找出等量關(guān)系.

2.會(huì)列出可化為一元一次方程的分式方程解決實(shí)際問題.

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：利用分式方程組解決實(shí)際問題.

2.難點(diǎn)：列分式方程表示實(shí)際問題中的等量關(guān)系.

三、例、習(xí)題的意圖分析

本節(jié)的P35例3不同于舊教材的應(yīng)用題有兩點(diǎn)：(1)是一道工程問題應(yīng)用題，它的問

題是甲乙兩個(gè)施工隊(duì)哪一個(gè)隊(duì)的施工速度快？這與過去直接問甲隊(duì)單獨(dú)干多少天完成或乙

隊(duì)單獨(dú)干多少天完成有所不同，需要學(xué)生根據(jù)題意，尋找未知數(shù)，然后根據(jù)題意找出問題