四川省成都市中鐵二局第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

四川省成都市中鐵二局第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)非空集合A，B滿足A?B，則（）A．?x0∈A，使得x0?BB．?x∈A，有x∈BC．?x0∈B，使得x0?AD．?x∈B，有x∈A參考答案：B略2.已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sinα的值是()參考答案：C略3.已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則的解集為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D,則,在R上是減函數(shù).,的解集為.選D.4.已知函數(shù)（其中）的圖象如右圖所示，則函數(shù)的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A5.若，則向量與的夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.命題p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函數(shù)f（x）=loga（x﹣1）的圖象過點(diǎn)（2，0），命題q：?x∈N，x3＜x2．則（）A．p假q假 B．p真q假 C．p假q真 D．p真q真參考答案：B【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；4N：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及冪函數(shù)圖象和性質(zhì)，分析命題p，q的真假，可得答案．【解答】解：當(dāng)x=2時，loga（x﹣1）=loga1=0恒成立，故命題p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函數(shù)f（x）=loga（x﹣1）的圖象過點(diǎn)（2，0），為真命題；?x∈N，x3≥x2恒成立，故命題q：?x∈N，x3＜x2為假命題，故選：B7.已知命題：N,，命題：N,，

則下列命題中為真命題的是

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C因為（n為正整數(shù)）是增函數(shù)，又所以，N,成立，p正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以，q假命題，所以為真命題。8.關(guān)于函數(shù)的四個結(jié)論：

P1：最大值為；

P2：把函數(shù)的圖象向右平移個單位后可得到函數(shù)的圖象；

P3：單調(diào)遞增區(qū)間為[]，；

P4：圖象的對稱中心為()，．其中正確的結(jié)論有

A．1個

B．2個

C．3個D．4個參考答案：B略9.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是(

▲

)A．若l∥α，m?α，則l∥m

B．若l∥α，m∥α，則l∥mC．若l⊥α，l∥m，則m⊥α

D．若l⊥m，m?α，則l⊥α參考答案：C10.給出下列命題：①在區(qū)間上，函數(shù),,,中有三個是增函數(shù)；②若，則；③若函數(shù)是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；④若函數(shù)，則方程有個實數(shù)根，其中正確命題的個數(shù)為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C①在區(qū)間上,只有，是增函數(shù)，所以①錯誤。②由，可得，即，所以，所以②正確。③正確。④得，令，在同一坐標(biāo)系下做出兩個函數(shù)的圖象，如圖，由圖象可知。函數(shù)有兩個交點(diǎn)，所以④正確。所以正確命題的個數(shù)為3個。選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)最小值是___________參考答案：略12.曲線在（1，1）處的切線方程是______________.參考答案：略13.在三棱錐S-ABC中，，側(cè)面SBC與底面ABC垂直，則三棱錐S-ABC外接球的表面積是．參考答案：解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，．設(shè)為的中心，為三棱錐外接球的球心．連接，，．取的中點(diǎn)，連接．則為棱錐外接球的半徑．為矩形．．三棱錐外接球的表面積．故答案為：．14.已知，，，則的最小值為

.參考答案：2

略15.數(shù)列的前項和為,若,則________.參考答案：略16.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則

.參考答案：答案：

17.已知數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列，是其前n項和，若是數(shù)列中的唯一最小項，則數(shù)列的首項的取值范圍是

。參考答案：（-30，-27）略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)為實數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍；

(2)求的最小值；(3)設(shè)函數(shù)，求不等式的解集.參考答案：解:（1）若，則

2分（2）當(dāng)時，

當(dāng)時，

綜上

8分19.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足(2a-c)cosB=bcosC，.(1)求角B的大??；(2)若△ABC為銳角三角形，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：(1)因為(2a-c)cosB=bcosC，由正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，……1分所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，2sinAcosB=sin(B+C)=sinA， ……3分因為sinA≠0，所以. ……4分因為，所以. ……6分(2)因為，由正弦定理得：，所以， ……8分因為，且三角形為銳角三角形， ……10分所以，所以. ……12分20.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣e1﹣x，g（x）=a（x2﹣1）﹣．（1）判斷函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；（2）記h（x）=g（x）﹣f（x）+，討論h（x）的單調(diào)性；（3）若f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題；根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f（e）的值，求出零點(diǎn)個數(shù)即可；（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）問題等價于a（x2﹣1）﹣lnx＞﹣在（1，+∞）恒成立，設(shè)k（x）=﹣=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．【解答】解：（1）由題意得：x＞0，∴f′（x）=+＞0，故f（x）在（0，+∞）遞增；又f（1）=﹣1，f（e）=1﹣e1﹣e=1﹣＞0，故函數(shù)y=f（x）在（1，e）內(nèi)存在零點(diǎn)，∴y=f（x）的零點(diǎn)個數(shù)是1；（2）h（x）=a（x2﹣1）﹣﹣lnx+e1﹣x+﹣=ax2﹣a﹣lnx，h′（x）=2ax﹣=（x＞0），當(dāng)a≤0時，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）遞減，當(dāng)a＞0時，由h′（x）=0，解得：x=±（舍取負(fù)值），∴x∈（0，）時，h′（x）＜0，h（x）遞減，x∈（，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）遞增，綜上，a≤0時，h（x）在（0，+∞）遞減，a＞0時，h（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（3）由題意得：lnx﹣＜a（x2﹣1）﹣，問題等價于a（x2﹣1）﹣lnx＞﹣在（1，+∞）恒成立，設(shè)k（x）=﹣=，若記k1（x）=ex﹣ex，則（x）=ex﹣e，x＞1時，（x）＞0，k1（x）在（1，+∞）遞增，k1（x）＞k1（1）=0，即k（x）＞0，若a≤0，由于x＞1，故a（x2﹣1）﹣lnx＜0，故f（x）＞g（x），即當(dāng)f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立時，必有a＞0，當(dāng)a＞0時，設(shè)h（x）=a（x2﹣1）﹣lnx，①若＞1，即0＜a＜時，由（2）得x∈（1，），h（x）遞減，x∈（，+∞），h（x）遞增，故h（）＜h（1）=0，而k（）＞0，即存在x=＞1，使得f（x）＜g（x），故0＜a＜時，f（x）＜g（x）不恒成立；②若≤1，即a≥時，設(shè)s（x）=a（x2﹣1）﹣lnx﹣+，s′（x）=2ax﹣+﹣，由于2ax≥x，且k1（x）=ex﹣ex＞0，即＜，故﹣＞﹣，因此s′（x）＞x﹣+﹣＞=＞0，故s（x）在（1，+∞）遞增，故s（x）＞s（1）=0，即a≥時，f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，綜上，a∈[，+∞）時，f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立．21.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求實數(shù)m的值。參考答案：（1）由，得：，∴，即，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為

……3分由，得，即，∴直線l的普通方程為

……5分（2）將代入，得：，整理得：，由，即，解得：-1<m<3設(shè)t1、t2是上述方程的兩實根，則，

……8分又直線l過點(diǎn)，由上式及t的幾何意義得，解得：或，都符合-1<m<3，因此實數(shù)m的值為1或或

……10分22.（本小題滿分12分）四棱錐P-ABCD,側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形,底面ABCD為菱形,∠BDA=60°(Ⅰ)證明:∠PBC=90°;（Ⅱ）若PB=3,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值參考答案：(1)略（Ⅱ）【知識點(diǎn)】空間向量及運(yùn)算G9(1)取AD中點(diǎn)O,連OP.OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,又OP∩OB=O,∴AD⊥平面POB,∵BC∥AD,∴BC⊥平面POB,∵PB?平面POB,∴BC⊥PB,即∠PBC=90°

(2)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(1,0,0),B(0