324528163、微專(zhuān)題：同角三角比之間關(guān)系及其應(yīng)用-講義-2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊(cè)

【學(xué)生版】微專(zhuān)題：同角三角比之間關(guān)系及其應(yīng)用1、任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割的定義對(duì)于任意角來(lái)說(shuō)，設(shè)是終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，稱(chēng)為角的正弦，記作；稱(chēng)為角的余弦，記作，因此，；稱(chēng)為角的正切，記作；稱(chēng)為角的余切，記作，因此，；稱(chēng)為角的正割，記作；稱(chēng)為角的余割，記作，因此，；【注意】任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割統(tǒng)稱(chēng)為任意角的三角比；其中，正切、余切，正割、余割是有限制條件的；2、同角三角比公式的推導(dǎo)（1）由“，”導(dǎo)出，商數(shù)關(guān)系；，；（2）由“，，”導(dǎo)出，倒數(shù)關(guān)系；，，；（3）由“，，”導(dǎo)出，商數(shù)關(guān)系；，，；【注意】除平方關(guān)系“”外，其他等式成立都是有限制條件的；3、同角三角比公式的變形（1）對(duì)于平方關(guān)系的變形①，；②，；③；（2）對(duì)于商數(shù)關(guān)系的變形；（3）結(jié)合平方關(guān)系和上述關(guān)系，可以的恒等式；4、“六邊形”記憶方法“六邊形”的構(gòu)造：上弦、中切、下割;左正、右余、中間1；“六邊形”的特點(diǎn)：（1）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（2）倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù);（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方?！镜淅款}型1、已知一個(gè)三角比求其余三角比例1、已知，且是第三象限角，求，【提示】【答案】【解析】方法1、方法2、【說(shuō)明】題型2、同角三角比的求值、化簡(jiǎn)（3）證明三角恒等式．例2、化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3），其中是第二象限角；【說(shuō)明】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值、化簡(jiǎn)，還考查了運(yùn)算求解的能力；同角三角比的求值、化簡(jiǎn)的一般要求是：（1）函數(shù)種類(lèi)最少；（2）項(xiàng)數(shù)最少；（3）函數(shù)次數(shù)最低；（4）能求值的求出值；（5）盡量使分母不含三角函數(shù)；（6）盡量使分母不含根式；題型3、有關(guān)同角三角比的恒等式證明例3、證明下列恒等式（1）；（2）；【說(shuō)明】本題考查了三角函數(shù)的證明，意在考查學(xué)生的推斷能力；（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明時(shí)，要熟悉公式；方法有從左至右、從右至左或從兩側(cè)證明等于同一式，還可用比較法；（2）注意切化弦、弦化切及平方關(guān)系的應(yīng)用；題型4、同角與的關(guān)系的應(yīng)用例4、已知，，則的值為（）A． B． C． D．【說(shuō)明】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，解題中要注意掌握與之間的關(guān)系，注意角的范圍，以確定函數(shù)值的正負(fù)；題型5、同角正余弦齊次式的巧用例5、已知，則（1）______；（2）______；【說(shuō)明】本題是一個(gè)在通過(guò)已知可以求得的前提下，求關(guān)于的齊次式的整體代入的問(wèn)題；解決這類(lèi)問(wèn)題，需注意以下兩點(diǎn)；（1）一定是關(guān)于的齊次式（或能化為齊次式，如第（2）問(wèn)）的三角函數(shù)式；（2），這樣分子、分母才能都除以；先通過(guò)“”的變式，將被求式化為關(guān)于的表達(dá)式，再將代入，從而使問(wèn)題獲得求解；是同角三角比變換中的一種技巧，與一個(gè)重要與頻繁出現(xiàn)的“考點(diǎn)”；【歸納】1、同角三角比之間的關(guān)系利用同角三角比的定義或單位圓中的三角函數(shù)線以及勾股定理，可以推得同角三角比之間的關(guān)系：基本關(guān)系式語(yǔ)言描述商數(shù)關(guān)系同一個(gè)角的正切等于角的正弦、余弦的商；同一個(gè)角的余切等于角的余弦、正弦的商；倒數(shù)關(guān)系同一個(gè)角的正切、余切之積等于1平方關(guān)系同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1【注意】（1）根據(jù)三角比的定義，當(dāng)時(shí)，不成立；（2）是的簡(jiǎn)寫(xiě)，不能將寫(xiě)成，前者是的正弦的平方，而后者是平方的正弦；（3）利用平方關(guān)系，得，，“”號(hào)由的終邊所在象限決定；（4）“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角（在使函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立，與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如等；2、同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式主要用于：（1）已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；（3）證明三角恒等式；常用的等價(jià)變形有：，，，，，；【注意】已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，在使用求它的其余三角函數(shù)值時(shí)，要注意角的終邊所在的象限．求解過(guò)程中一般有以下三種情況：=1\*GB3①如果已知三角函數(shù)值，且角所在的象限已知，那么只有一組解；=2\*GB3②如果已知三角函數(shù)值，但沒(méi)有指定角在哪個(gè)象限，那么先由已知三角函數(shù)值的正負(fù)確定角可能在的象限，再求解，這種情況一般有兩組解；=3\*GB3③如果所給的三角函數(shù)值是由字母給出的，且沒(méi)有指明角在哪個(gè)象限，那么就需要進(jìn)行討論；【即時(shí)練習(xí)】1、已知，且為第四象限角，則（）A． B． C． D．2、已知，則（）A． B． C． D．3、已知sinα＝，tanα＝，則cosα＝4、已知，其中為三角形內(nèi)角，則5、已知，且，則6、設(shè)且，若，則__________．7、化簡(jiǎn)________．8、已知，則的值是________．9、已知，求．10、已知，，求：實(shí)數(shù)；【教師版】微專(zhuān)題：同角三角比之間關(guān)系及其應(yīng)用1、任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割的定義對(duì)于任意角來(lái)說(shuō)，設(shè)是終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，稱(chēng)為角的正弦，記作；稱(chēng)為角的余弦，記作，因此，；稱(chēng)為角的正切，記作；稱(chēng)為角的余切，記作，因此，；稱(chēng)為角的正割，記作；稱(chēng)為角的余割，記作，因此，；【注意】任意角的正弦、余弦，正切、余切，正割、余割統(tǒng)稱(chēng)為任意角的三角比；其中，正切、余切，正割、余割是有限制條件的；2、同角三角比公式的推導(dǎo)（1）由“，”導(dǎo)出，商數(shù)關(guān)系；，；（2）由“，，”導(dǎo)出，倒數(shù)關(guān)系；，，；（3）由“，，”導(dǎo)出，商數(shù)關(guān)系；，，；【注意】除平方關(guān)系“”外，其他等式成立都是有限制條件的；3、同角三角比公式的變形（1）對(duì)于平方關(guān)系的變形①，；②，；③；（2）對(duì)于商數(shù)關(guān)系的變形；（3）結(jié)合平方關(guān)系和上述關(guān)系，可以的恒等式；4、“六邊形”記憶方法“六邊形”的構(gòu)造：上弦、中切、下割;左正、右余、中間1；“六邊形”的特點(diǎn)：（1）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（2）倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù);（3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方?！镜淅款}型1、已知一個(gè)三角比求其余三角比例1、已知，且是第三象限角，求，【提示】注意：“是第三象限角”；【答案】；【解析】方法1、由，可得，由且是第三象限角，所以，；方法2、因?yàn)?，是第三象限角，所以，，；?shù)值由直角三角形與確定，得；【說(shuō)明】同角三角比關(guān)鍵是“符號(hào)”，所以，平方關(guān)系優(yōu)先考慮是解這類(lèi)的策略之一；題型2、同角三角比的求值、化簡(jiǎn)（3）證明三角恒等式．例2、化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3），其中是第二象限角；【提示】（1）利用“”的代換化簡(jiǎn)即可；（2）先利用商數(shù)關(guān)系，切化弦得到，再通分利用平方關(guān)系求解；（3）先由角是第二象限角確定出的符號(hào)，利用對(duì)含根號(hào)的式子化簡(jiǎn)，結(jié)合的符號(hào)去掉根號(hào)，再由把式子化簡(jiǎn)；【答案】（1）1；（2）1；（3）1；【解析】（1）；（2）原式；（3）因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，，故；【說(shuō)明】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值、化簡(jiǎn)，還考查了運(yùn)算求解的能力；同角三角比的求值、化簡(jiǎn)的一般要求是：（1）函數(shù)種類(lèi)最少；（2）項(xiàng)數(shù)最少；（3）函數(shù)次數(shù)最低；（4）能求值的求出值；（5）盡量使分母不含三角函數(shù)；（6）盡量使分母不含根式；題型3、有關(guān)同角三角比的恒等式證明例3、證明下列恒等式（1）；（2）；【提示】注意：公式的特征與變形；【解析】（1）左邊右邊；所以，原等式成立；（2）左邊=．右邊====所以左邊=右邊，即原等式成立；【說(shuō)明】本題考查了三角函數(shù)的證明，意在考查學(xué)生的推斷能力；（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明時(shí)，要熟悉公式；方法有從左至右、從右至左或從兩側(cè)證明等于同一式，還可用比較法；（2）注意切化弦、弦化切及平方關(guān)系的應(yīng)用；題型4、同角與的關(guān)系的應(yīng)用例4、已知，，則的值為（）A． B． C． D．【提示】已知式平方后可確定的正負(fù)，從而求得的值，得；【答案】D【解析】由已知，又由，，又，所以，，在結(jié)合，解得，或（舍去），所以，；故選：D；【說(shuō)明】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，解題中要注意掌握與之間的關(guān)系，注意角的范圍，以確定函數(shù)值的正負(fù)；題型5、同角正余弦齊次式的巧用例5、已知，則（1）______；（2）______；【提示】注意：本題在同角的前提下，最大的特點(diǎn)是關(guān)于的齊次式；【答案】（1）；（2）1；【解析】由已知，變式得；（1）；（2）；【說(shuō)明】本題是一個(gè)在通過(guò)已知可以求得的前提下，求關(guān)于的齊次式的整體代入的問(wèn)題；解決這類(lèi)問(wèn)題，需注意以下兩點(diǎn)；（1）一定是關(guān)于的齊次式（或能化為齊次式，如第（2）問(wèn)）的三角函數(shù)式；（2），這樣分子、分母才能都除以；先通過(guò)“”的變式，將被求式化為關(guān)于的表達(dá)式，再將代入，從而使問(wèn)題獲得求解；是同角三角比變換中的一種技巧，與一個(gè)重要與頻繁出現(xiàn)的“考點(diǎn)”；【歸納】1、同角三角比之間的關(guān)系利用同角三角比的定義或單位圓中的三角函數(shù)線以及勾股定理，可以推得同角三角比之間的關(guān)系：基本關(guān)系式語(yǔ)言描述商數(shù)關(guān)系同一個(gè)角的正切等于角的正弦、余弦的商；同一個(gè)角的余切等于角的余弦、正弦的商；倒數(shù)關(guān)系同一個(gè)角的正切、余切之積等于1平方關(guān)系同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1【注意】（1）根據(jù)三角比的定義，當(dāng)時(shí)，不成立；（2）是的簡(jiǎn)寫(xiě)，不能將寫(xiě)成，前者是的正弦的平方，而后者是平方的正弦；（3）利用平方關(guān)系，得，，“”號(hào)由的終邊所在象限決定；（4）“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角（在使函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立，與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如等；2、同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式主要用于：（1）已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；（3）證明三角恒等式；常用的等價(jià)變形有：，，，，，；【注意】已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，在使用求它的其余三角函數(shù)值時(shí)，要注意角的終邊所在的象限．求解過(guò)程中一般有以下三種情況：=1\*GB3①如果已知三角函數(shù)值，且角所在的象限已知，那么只有一組解；=2\*GB3②如果已知三角函數(shù)值，但沒(méi)有指定角在哪個(gè)象限，那么先由已知三角函數(shù)值的正負(fù)確定角可能在的象限，再求解，這種情況一般有兩組解；=3\*GB3③如果所給的三角函數(shù)值是由字母給出的，且沒(méi)有指明角在哪個(gè)象限，那么就需要進(jìn)行討論；【即時(shí)練習(xí)】1、已知，且為第四象限角，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，在第四象限，則；故選：A；2、已知，則（）A． B． C． D．【提示】把左右兩邊進(jìn)行平方，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可得到答案.【答案】B；【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，；故選：B；3、已知sinα＝，tanα＝，則cosα＝【答案】【解析】因?yàn)?，所以?、已知，其中為三角形內(nèi)角，則【答案】【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以解得：或，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以；5、已知，且，則________【答案】；【解析】因?yàn)椋?，所以，，又因?yàn)?，，所以，，又因?yàn)椋?，，即?、設(shè)且，若，則__________．【答案】1【解析】設(shè)且，若，所以，所以，又，所以，又由，則，所以，7、化簡(jiǎn)________．【答案】1【解析】；故答案：18、已知，則的值是________．【答案】【解析】由已知可得，＝．9、已知，求．