第6講 等差數(shù)列與等比數(shù)列江西省贛州市厚德外國語學(xué)校2021年強(qiáng)基計(jì)劃拔尖人才選拔培優(yōu)數(shù)學(xué)講義

一：等差數(shù)列1.判定一個數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法①定義法：（常數(shù)）是等差數(shù)列；②中項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列；③通項(xiàng)公式法：（p，q為常數(shù)）是等差數(shù)列；④前n項(xiàng)和公式法：（A，B為常數(shù)）是等差數(shù)列.對于探索性較強(qiáng)的問題，則應(yīng)注意從特例入手，歸納猜想一般特性.2.等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：（2）若，則；特別，若，則（3）等差數(shù)列中，若（），則.（4）公差為d的等差數(shù)列中，連續(xù)k項(xiàng)和，…組成新的等差數(shù)列.（5）等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；；；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；；.（6）等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，則（m、n∈N*，且m≠n）.（7）等差數(shù)列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），則.（8）等差數(shù)列中，公差d，依次每k項(xiàng)和：，，成等差數(shù)列，新公差.3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：等差數(shù)列中=1\*GB3①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式組來確定n；=2\*GB3②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式組來確定n，也可由前n項(xiàng)和公式來確定n.等差數(shù)列的求和中的函數(shù)思想是解決最值問題的基本方法.要點(diǎn)二：等比數(shù)列1.判定一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法（1）定義法：（q是不為0的常數(shù)，n∈N*）是等比數(shù)列；（2）通項(xiàng)公式法：（c、q均是不為0的常數(shù)n∈N*）是等比數(shù)列；（3）中項(xiàng)公式法：（，）是等比數(shù)列.2.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：（1）通項(xiàng)公式的推廣：（2）若，則.特別，若，則（3）等比數(shù)列中，若（）成等比數(shù)列，則成等比數(shù)列.（4）公比為q的等比數(shù)列中，連續(xù)k項(xiàng)和，…組成新的等比數(shù)列.（5）等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.（6）等比數(shù)列中，公比為q，依次每k項(xiàng)和：，，…成公比為qk的等比數(shù)列.（7）若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則（a＞0且a≠1）為等差數(shù)列；反之，若為等差數(shù)列，則（a＞0且a≠1）為等比數(shù)列.（8）等比數(shù)列前n項(xiàng)積為，則3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)：⑴方程觀點(diǎn)：知二求一；⑵函數(shù)觀點(diǎn)：①，時(shí)，是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)；時(shí)，是常數(shù)函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；若，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，若，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是擺動數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是非零常數(shù)列.要點(diǎn)三：等差等比數(shù)列綜合問題1.公共項(xiàng)問題;（1）求兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)常用整除討論的方法；（2）求等差數(shù)列與等比數(shù)列的公共項(xiàng)常用到二項(xiàng)式定理．2.互相添減、穿插數(shù)問題3.分群數(shù)列問題4.最值問題例1.(2018北大自招)18.設(shè)三個實(shí)數(shù)組成等比數(shù)列，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.前三個答案都不對解析：記公比為，由，知，又得，即，得或。所以，故選B。例2.(2018清華)22.數(shù)列滿足：，（），則下列正確的是（）A.B.C.D.解析：可得，得，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以可得。所以，，故AB錯誤；對CD，注意到，且，所以，所以，故C對，接著單調(diào)性，知，故D對。綜上，選CD。例3.2019B8.設(shè)等差數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)，且對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得．這樣的數(shù)列的個數(shù)為．◆答案：★解析：設(shè)的公差為．由條件知（是某個正整數(shù)），則，即，因此必有，且．這樣就有，而此時(shí)對任意正整數(shù)，，確實(shí)為中的一項(xiàng)．因此，僅需考慮使成立的正整數(shù)k的個數(shù)．注意到，易知可取這個值，對應(yīng)得到個滿足條件的等差數(shù)列．例4.（2018年貴州預(yù)賽）已知等差數(shù)列及，設(shè)，，若對，有，則（）A．B．C．D．【解析】：為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和之比，故可設(shè)從而故選B例5.（2018上海交大）3.已知等差數(shù)列，滿足，求的最大值。解析：由，令，，，則，則。例6.1996*2、等比數(shù)列的首項(xiàng),公比是．用表示它的前項(xiàng)之積，則()最大的是____________A.B.C.D.◆答案：C★解析：由題意得，故．作商比較：又，．故選C．例7.在等差數(shù)列中，公差，是與的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)．?分析與解答：依題設(shè)得，∴，整理得∵，∴,得[所以，由已知得是等比數(shù)列．由于，所以數(shù)列也是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為，由此得等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，所以．即得到數(shù)列的通項(xiàng)為例8.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．設(shè)集合，．若等差數(shù)列任一項(xiàng)是中的最大數(shù)，且，求的通項(xiàng)公式．對任意，，∴，∴ ∵是中的最大數(shù)，∴，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則∴，即，又是一個以為公差等差數(shù)列， ∴，∴，∴．例9.已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為．若將數(shù)列{}，{}中相同的項(xiàng)按從小到大的順序排列后看作數(shù)列{}，（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）961；（2）設(shè)，考察模7的余數(shù)問題；若時(shí)經(jīng)驗(yàn)證可得：當(dāng)時(shí)，存在滿足條件的存在故{}中的項(xiàng)目依次為：可求得數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：例10.已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，.將與中的公共項(xiàng)按照從小到大的順序排列構(gòu)成一個新數(shù)列記為.（1）試寫出，，，的值，并由此歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明你在（1）所猜想的結(jié)論.解：（1），，，，由此歸納：.（2）由，得，，由二項(xiàng)式定理得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有整數(shù)解，.例11.已知數(shù)列，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；（3）設(shè)，其中為常數(shù)，且，，求.解：⑴∵=，∴，∵∴為常數(shù)∴數(shù)列為等比數(shù)列⑵取數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，∵，，∴，即，∴數(shù)列中不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；⑶當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)；而為奇數(shù)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面證明唯一性（即只有符合要求）。由得，設(shè)，則是上的減函數(shù)，∴的解只有一個從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；綜上，當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。例12.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列的每兩項(xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列，在兩項(xiàng)之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求的值；（3）對于（2）中的數(shù)列，若，并求（用表示）．19．解：（1）當(dāng)時(shí)，由.又與相減得：，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以；…………4分（2）設(shè)和兩項(xiàng)之間插入個數(shù)后，這個數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，則，又，故（3）依題意，，考慮到，令，則，所以例13.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列滿足，（1）證明：數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列、的公差均是，并且存在正整數(shù)，使得是整數(shù)，求的最小值?！锝馕觯海?）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則所以數(shù)列也是等差數(shù)列.（2）由已知條件及（1）的結(jié)果知：，因?yàn)?，故，這樣若正整數(shù)滿足，則.記，則，且是一個非零的整數(shù)，故，從而.又當(dāng)時(shí)，有，綜上所述，的最小值為.例14.（2004年春季北京卷)下表給出一個“等差數(shù)陣”：47（）（）（）………712（）（）（）………（）（）（）（）（）………（）（）（）（）（）[來源:學(xué).科.網(wǎng)]………………其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第行第列的數(shù)．（I）寫出的值；（II）寫出的計(jì)算公式以及2008這個數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個位置．（III）證明：正整數(shù)在該等差數(shù)列陣中的充要條件是可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積．解析：（I）;（II）該等差數(shù)陣中：第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列：;第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列：……第i行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此，要找2008在該等差數(shù)陣中的位置，也就是要找正整數(shù)、，使得,所以,當(dāng)時(shí)，得。所以2008在等差數(shù)陣中的一個位置是第1行第669列．（III）“必要性”：若在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)，使得從而即正整數(shù)可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積．“充分性”：若可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)、，使得,從而可見N在該等差數(shù)陣中．綜上所述，正整數(shù)在該等差數(shù)陣中的充要條件是可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積．例15.(2010北約)5．是否存在，使得為組成等差數(shù)列的四個數(shù)（即某種排列可以構(gòu)成等差數(shù)列），請說明理由（25分）解析：不存在；否則有，則或者．若，有．而此時(shí)不成等差數(shù)列；若，有．解得有．而，矛盾！例16.設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對任意都有，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3），，試找出所有即在數(shù)列中又在數(shù)列中的項(xiàng)．解：（1）令，則，即，所以或或．又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以．令，則，即，解得或或．又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以．（2）因?yàn)?1)所以()(2)由(1)－(2)得，因?yàn)?所以(3)所以()(4)由(3)－(4)得，即()，又，所以()．所以數(shù)列是一個以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．所以．（3），所以,．不妨設(shè)數(shù)列中的第項(xiàng)和數(shù)列中的第項(xiàng)相同，則．即，即．1o若，則，所以，當(dāng)時(shí),，無解；當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)；時(shí),令,則，所以單調(diào)增，所以,所以無解；當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，．2o若，即．由1知，當(dāng)時(shí)，。因此，當(dāng)時(shí)，或．當(dāng)時(shí)，無解，當(dāng)時(shí),無解．綜上即在數(shù)列中又在數(shù)列中的項(xiàng)僅有．1.(2018北大自招)4.設(shè)為一等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則的最小值為（）A.B.C.D.前三個答案都不對解析：易得，所以，導(dǎo)數(shù)可得時(shí)，有最小，故選D。2.2016B9、（本題滿分16分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是方程的兩個不同的解，求的值．★解析：對，有即因此，是一元二次方程的兩個不同實(shí)根，從而即由等比數(shù)列的性質(zhì)知，3.(2015清華)2、設(shè)為等差數(shù)列，為正整數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：記該數(shù)列的公差為，則等價(jià)于，由于可正可負(fù)，所以“”是“”的既不充分也不必要條件。故選D。4.【2016年山西預(yù)賽】設(shè)集合A=nn+1n=1,2,?,B=3m?1m=1,2,?,若將集合A∩B解析：易知，，.若，則.于是，為某個奇平方數(shù)的3倍．設(shè).則，所以，.故.5.(2012北大保送)1.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，求的最小值．解析：設(shè)數(shù)列的公比為，則，．由知．，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，有最小值．6.(2015清華)10、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則（）A.可能為等差數(shù)列B.可能為等比數(shù)列C.的任意一項(xiàng)均可寫成的兩項(xiàng)之差D.對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得解析：取滿足A對；時(shí)，D不滿足。若是等比數(shù)列，則，下面記，則，即，若，則，則，顯然不成立；若，則，但當(dāng)時(shí)，矛盾，其它范圍同理。所以B錯；對于C，注意到，故C對，綜上選AC。7.2007*10、已知等差數(shù)列的公差不等于，等比數(shù)列的公比是小于的正有理數(shù)，若，，且是正整數(shù)，則等于解析：因?yàn)?，故由已知條件知道：為，其中m為正整數(shù)。令，則。由于是小于的正有理數(shù)，所以，即且是某個有理數(shù)的平方，由此可知。8.（2011復(fù)旦）設(shè)有4個數(shù)的數(shù)列為，前3個數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列，其和為，后3個數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，其和為9，且公差非零。對于任意固定的，若滿足條件的數(shù)列的個數(shù)大于1，則應(yīng)滿足（）（B）（C）（D）其他條件解析：由于前3個數(shù)成等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為，后三個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，依題意，。。所以，即。依題意知，此關(guān)于的方程的根不是唯一的，且。所以，，，且。故選D。9.（2009上海交大），為等比數(shù)列，求的最大值。解析：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為正（），。當(dāng)時(shí)，，故只需比較與的大小。（因?yàn)椋?，故?0.（07江蘇）已知是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，記為數(shù)列的前項(xiàng)和（1）若（是大于2的整數(shù)），求證：；（2）若是某個正整數(shù)），求證：是整數(shù)，且數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；（3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個的值，并加以說明；若不存在，請說明理由。解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題設(shè)得由，故等式成立.（2）（i）證明為整數(shù)：由移項(xiàng)得因故為整數(shù).（ii）證明數(shù)列中的任一項(xiàng)，只要討論的情形.令，得.因，當(dāng)時(shí)，為－1或0，則為1或2；而，否則，矛盾.當(dāng)時(shí)，為正整數(shù)，所以正整數(shù)，從而.故數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng).（3）取，11.已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別是和()．（1）當(dāng)時(shí)，①試問，分別是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？②記，若是數(shù)列中的第項(xiàng)()，試問是數(shù)列中的第幾項(xiàng)？請說明理由；（2）對給定自然數(shù)，試問是否存在，使得數(shù)列和有公共項(xiàng)？若存在，求出的值及相應(yīng)的公共項(xiàng)組成的數(shù)列；若不存在，說明理由．解(1)由條件可得，.①令，得，故是數(shù)列中的第1項(xiàng)．令，得，故是數(shù)列中的第19項(xiàng)．②由題意知，，由為數(shù)列中的第項(xiàng)，則有，那么，因，所以是數(shù)列中的第項(xiàng)．(2)設(shè)在上存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列和有公共項(xiàng)，即存在正整數(shù)使，∴，因自然數(shù)，為正整數(shù)，∴能被整除．①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)，*時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即能被整除．此時(shí)數(shù)列和有公共項(xiàng)組成的數(shù)列；顯然，