2023中考數(shù)學(xué)考試試卷試題中考數(shù)學(xué)初三真題及答案解析含答案

2023中考數(shù)學(xué)考試試卷試題中考數(shù)學(xué)初中學(xué)業(yè)水平考試初三真題及答案解析(含答案和解析)滿分：150分時間：120分鐘一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相應(yīng)位置上．1.在下列四個實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：根據(jù)實(shí)數(shù)大小比較的方法，可得-2＜0＜＜，所以四個實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是-2．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)＞0＞負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而?。?.某種芯片每個探針單元的面積為，0.00000164用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】絕對值小于1的數(shù)利用科學(xué)記數(shù)法表示的一般形式為a×10-n，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：0.00000164=1.64×10-6，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小數(shù)的方法，寫成a×10n的形式是關(guān)鍵．3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則逐一計算可得．【詳解】解：A、，此選項(xiàng)錯誤；

B、，此選項(xiàng)錯誤；

C、，此選項(xiàng)錯誤；

D、，此選項(xiàng)正確；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握冪的運(yùn)算法則．4.如圖，一個幾何體由5個相同的小正方體搭成，該幾何體的俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合體的俯視圖是從上向下看的圖形，即可得到答案．【詳解】組合體從上往下看是橫著放的三個正方形．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體三視圖，熟練掌握三視圖的概念，是解題的關(guān)鍵．5.不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：移項(xiàng)得，2x≤3+1，合并同類項(xiàng)得，2x≤4，系數(shù)化為1得，x≤2，

在數(shù)軸上表示為：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集時≥，≤要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；＜，＞要用空心圓點(diǎn)表示”是解答此題的關(guān)鍵．6.某手表廠抽查了10只手表的日走時誤差，數(shù)據(jù)如下表所示（單位：）：日走時誤差0123只數(shù)3421則這10只手表的平均日走時誤差（單位：）是（）A.0 B.0.6 C.0.8 D.1.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的概念，列出算式，即可求解．【詳解】由題意得：（0×3+1×4+2×2+3×1）÷10=1.1（s）故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法，是解題的關(guān)鍵．7.如圖，小明想要測量學(xué)校操場上旗桿的高度，他作了如下操作：（1）在點(diǎn)處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋牵唬?）量得測角儀的高度；（3）量得測角儀到旗桿的水平距離．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】延長CE交AB于F，得四邊形CDBF為矩形，故CF=DB=b，F(xiàn)B=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的長和已知的角的度數(shù)，利用正切函數(shù)可求得AF的長，從而可求出旗桿AB的長．【詳解】延長CE交AB于F，如圖，根據(jù)題意得，四邊形CDBF為矩形，∴CF=DB=b，F(xiàn)B=CD=a，在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，tan∠ACF=∴AF=,AB=AF+BF=，故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查了利用了直角三角形的邊角關(guān)系來解題，通過構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解答此類題目的關(guān)鍵所在．8.如圖，在扇形中，已知，，過的中點(diǎn)作，，垂足分別為、，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接OC，易證，進(jìn)一步可得出四邊形CDOE為正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出邊長即可求得正方形的面積，根據(jù)扇形面積公式得出扇形AOB的面積，最后根據(jù)陰影部分的面積等于扇形AOB的面積剪去正方形CDOE的面積就可得出答案．【詳解】連接OC點(diǎn)為的中點(diǎn)在和中又四邊形CDOE為正方形由扇形面積公式得故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計算、正方形的判定及性質(zhì)，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在中，，將繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到．若點(diǎn)恰好落在邊上，且，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出邊和角相等，找到角之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解，即可求出答案．【詳解】解：設(shè)=x°.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠C=∠=x°，=AC,=AB.∴∠=∠B.∵，∴∠C=∠CA=x°.∴∠=∠C+∠CA=2x°.∴∠B=2x°.∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，∴x+2x+108=180.解得x=24.∴的度數(shù)為24°.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用及等腰三角形得性質(zhì).10.如圖，平行四邊形的頂點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在對角線上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點(diǎn)．已知平行四邊形的面積是，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出反比例函數(shù)解析式，設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，得到點(diǎn)B縱坐標(biāo)，利用相似三角形性質(zhì)，用表示求出OA，再利用平行四邊形的面積是構(gòu)造方程求即可．【詳解】解：如圖，分別過點(diǎn)D、B作DE⊥x軸于點(diǎn)E，DF⊥x軸于點(diǎn)F，延長BC交y軸于點(diǎn)H∵四邊形是平行四邊形∴易得CH=AF∵點(diǎn)在對角線上，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點(diǎn)∴即反比例函數(shù)解析式為∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為∵∴∴∴∴∴，點(diǎn)B坐標(biāo)為∵平行四邊形的面積是∴解得（舍去）∴點(diǎn)B坐標(biāo)為故應(yīng)選：B【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，涉及到相似三角形的的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造方程求解．第Ⅱ卷非選擇題（共102分）注意事項(xiàng)：必須使用0.5毫米黑色墨水鉛簽字筆在答題卡上題目所指示區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后用0.5毫米黑色墨水鉛簽字筆描清楚，答在試題卷上無效．二.填空題(共6個小題，每題4分，共24分)13.分解因式：=．【答案】．【解析】試題分析：要將一個多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，先提取公因式3后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：．考點(diǎn)：提公因式法和應(yīng)用公式法因式分解．14.與最接近的自然數(shù)是________．【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)得到，進(jìn)而得到，因?yàn)?4更接近16，所以最接近的自然數(shù)是2．【詳解】解：，可得，∴，∵14接近16，∴更靠近4，故最接近的自然數(shù)是2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的估算，找到無理數(shù)相鄰的兩個整數(shù)是解題的關(guān)鍵．15.某中學(xué)新建食堂正式投入使用，為提高服務(wù)質(zhì)量，食堂管理人員對學(xué)生進(jìn)行了“最受歡迎菜品”的調(diào)查統(tǒng)計，以下是打亂了的調(diào)查統(tǒng)計順序，請按正確順序重新排序（只填番號）_________________．①.繪制扇形圖；②.收集最受學(xué)生歡迎菜品的數(shù)據(jù)；③.利用扇形圖分析出受歡迎的統(tǒng)計圖；④.整理所收集的數(shù)據(jù)．【答案】②④①③【解析】【分析】根據(jù)統(tǒng)計的一般順序排列即可．【詳解】統(tǒng)計的一般步驟，一般要經(jīng)過收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計圖表，分析圖表得出結(jié)論，故答案為：②④①③．【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計的一般步驟，一般要經(jīng)過收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，繪制統(tǒng)計圖表，分析圖表得出結(jié)論．16.如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形，∥,長為6米，坡角為45°，的坡角為30°，則的長為________米（結(jié)果保留根號）【答案】【解析】【分析】過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分別在Rt△CEB與Rt△DFA中使用三角函數(shù)即可求解.【詳解】解：過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB與Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形和矩形，注意理解坡度與坡角的定義．17.如圖，在矩形中，是上的一點(diǎn)，連接,將△進(jìn)行翻折，恰好使點(diǎn)落在的中點(diǎn)處，在上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長為半徑作半圓與相切于點(diǎn);若,則圖中陰影部分的面積為____．【答案】.【解析】【分析】連接OG，證明△DOG∽△DFC，得出，設(shè)OG=OF=r，進(jìn)而求出圓的半徑，再證明△OFQ為等邊三角形，則可由扇形的面積公式和三角形的面積公式求出答案．【詳解】解：連接OG，過O點(diǎn)作OH⊥BC于H點(diǎn)，設(shè)圓O與BC交于Q點(diǎn)，如下圖所示：設(shè)圓的半徑為r，∵CD是圓的切線，∴OG⊥CD，∴△DOG∽△DFC，∴，由翻折前后對應(yīng)的線段相等可得DF=DA=4，∵F是BC的中點(diǎn)，∴CF=BF=2，代入數(shù)據(jù)：∴，∴，∴，∴，∴∠ODG=30°，∴∠DFC=60°，且OF=OQ，∴△OFQ是等邊三角形，∴∠DOQ=180°-60°=120°，同理△OGQ也為等邊三角形，∴OH=，且S扇形OGQ=S扇形OQF∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計算，切線的性質(zhì)，翻折變換，熟練掌握基本圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與雙曲線在第三象限交于兩點(diǎn)，且；下列等邊三角形，，，……的邊，，，……在軸上，頂點(diǎn)……在該雙曲線第一象限的分支上，則=____，前25個等邊三角形的周長之和為_______．【答案】(1).；(2).60【解析】【分析】設(shè)，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為H，先求解的坐標(biāo)，得到∠HAO=30°，用含的代數(shù)式表示，聯(lián)立函數(shù)解析式利用根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于的方程，從而可得第一空的答案；過分別向軸作垂線，垂足分別為先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與反比例函數(shù)的性質(zhì)求解的邊長，依次同法可得后面等邊三角形的邊長，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再前25個等邊三角形的周長之和即可．【詳解】解：設(shè)，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為H，令則令則∴H（），又A（0，b），∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，過作軸于過作軸于，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，∴AB=，AC=，∴，聯(lián)立得到?！?，由已知可得，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，過分別向軸作垂線，垂足分別為設(shè)由等邊三角形的性質(zhì)得：得：（舍去）經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，可得的邊長為4，同理設(shè)，解得：（舍去）經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，的邊長為，同理可得：的邊長為，的邊長為．∴前25個等邊三角形的周長之和為=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，同時考查與反比例函數(shù)相關(guān)的規(guī)律題，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．三.解答題(共8個題，共78分)19.計算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的絕對值、零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的知識進(jìn)行計算即可．【詳解】解：原式=【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的絕對值、零指數(shù)冪、和負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計算．20.先化簡，再求值：，其中為不等式組的整數(shù)解．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則化簡式子，再解不等式組得到不等式組的整數(shù)解，代入即可．【詳解】解：，解不等式組可得，∵，即，且為整數(shù)，∴，代入．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值、不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是取值時，注意分式的分母不能為0．21.如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊的延長線上，點(diǎn)在邊的延長線上，且,連接和相交于點(diǎn)．求證：．【答案】證明見解析．【解析】【分析】利用正方形的性質(zhì)證明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再證明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，又∵CE=DF，∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，在△BCF和△ABE中，∴（SAS），∴AE=BF．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．22.某校為了響應(yīng)市政府號召，在“創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)”活動周中，設(shè)置了“:文明禮儀；：環(huán)境保護(hù)；；衛(wèi)生保潔；:垃圾分類”四個主題，每個學(xué)生選一個主題參與；為了解活動開展情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．⑴.本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是人，=；⑵.請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；⑶.學(xué)校要求每位同學(xué)從星期一至星期五選擇兩天參加活動，如果小張同學(xué)隨機(jī)選擇連續(xù)兩天，其中有一天是星期一的概率是；小李同學(xué)星期五要參加市演講比賽，他在其余四天中隨機(jī)選擇兩天，其中一天是星期三的概率是．【答案】（1）60，30；（2）畫圖見解析；（3），【解析】【分析】(1)由B的人數(shù)是12人，所占的百分比為20%即可求出總的學(xué)生人數(shù)，再用18除以總?cè)藬?shù)即可得到m的值；(2)總?cè)藬?shù)減去A、B、D的人數(shù)即可得到C的人數(shù)；(3)采用列舉的形式，將所有可能的情況按照從星期一到星期五的順序列出來，然后再用符合題意要求的情況除以總的情況即可得到概率.【詳解】（1），∴本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為60人，，故m=30．故答案為：60，m=30.（2）C的人數(shù)為：60-18-12-9=21(人)，補(bǔ)全圖形如下所示：（3）星期一到星期五連續(xù)的兩天為（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期四），（星期四、星期五）共4種情況，符合題意的只有（星期一、星期二）這一種情況，故概率為；在星期一到星期四任選兩天的所有情況如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共6種情況，其中有一天是星期三的情況有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3種情況，所以概率是.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題考查了列表法、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖以及概率公式：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．23.甲、乙兩家商場平時以同樣價格出售相同商品，新冠疫情期間，為了減少庫存，甲、乙兩家商場打折促銷，甲商場所有商品按9折出售，乙商場對一次購物中超過100元后的價格部分打8折．⑴.以（單位：元）表示商品原價，（單位：元）表示實(shí)際購物金額，分別就兩家商場的讓利方式寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；⑵.新冠疫情期間如何選擇這兩家商場去購物更省錢？【答案】（1）；（2）當(dāng)購買商品原價金額小于200時，選擇甲商場更劃算；當(dāng)購買商品原價金額等于200時，選擇甲商場和乙商場購物一樣劃算；當(dāng)購買商品原價金額大于200時，選擇乙商場更劃算.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別寫出兩家商場對應(yīng)的關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)關(guān)系式，可以得到相應(yīng)的不等式，從而可以得到新冠疫情期間如何選擇這兩家商場去購物更省錢．【詳解】解：（1）由題意可得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由上可得，；（2）由題意可知，當(dāng)購買商品原價小于等于100時，甲商場打9折，乙商場不打折，所以甲商場購物更加劃算；當(dāng)購買商品原價超過100元時，若，即此時甲商場花費(fèi)更低，購物選擇甲商場；若，即，此時甲乙商場購物花費(fèi)一樣；若，即時，此時乙商場花費(fèi)更低，購物選擇乙商場；綜上所述：當(dāng)購買商品原價金額小于200時，選擇甲商場更劃算；當(dāng)購買商品原價金額等于200時，選擇甲商場和乙商場購物一樣劃算；當(dāng)購買商品原價金額大于200時，選擇乙商場更劃算．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)解答．24.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)與2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)?，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)與所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．⑴.發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？⑵.探究問題：如圖，點(diǎn)分別表示的是，．∵的幾何意義是線段與的長度之和∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時，;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)的右側(cè)時∴最小值是3．⑶.解決問題：①.的最小值是；②.利用上述思想方法解不等式：③.當(dāng)為何值時，代數(shù)式的最小值是2．【答案】①6；②或；③或【解析】【分析】(3)①根據(jù)絕對值的幾何意義可知，變成數(shù)軸上的點(diǎn)到-2的距離和到4的距離之和的最小值；②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，確定出所求不等式的解集即可；③根據(jù)原式的最小值為2，得到3左邊和右邊，且到3距離為2的點(diǎn)即可．【詳解】解：(3)①設(shè)A表示的數(shù)為4，B表示的數(shù)為-2，P表示的數(shù)為x，∴表示數(shù)軸上的點(diǎn)P到4的距離，用線段PA表示，表示數(shù)軸上的點(diǎn)P到-2的距離，用線段PB表示，∴的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時取得最小值為AB，且線段AB的長度為6，∴的最小值為6.故答案為：6.②設(shè)A表示-3，B表示1，P表示x，∴線段AB的長度為4，則，的幾何意義表示為PA+PB，∴不等式的幾何意義是PA+PB＞AB，∴P不能在線段AB上，應(yīng)該在A的左側(cè)或者B的右側(cè)，即不等式的解集為或．故答案為：或．③設(shè)A表示-a，B表示3，P表示x，則線段AB的長度為，的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時PA+PB取得最小值，∴∴或，即或；故答案為：或.【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式，數(shù)軸，絕對值，以及數(shù)學(xué)常識，掌握絕對值的幾何意義，學(xué)會分類討論是解決本題的關(guān)鍵．25.如圖，⊙是△的外接圓，為直徑，點(diǎn)是⊙外一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，延長交⊙于點(diǎn)．⑴.證明：=；⑵.若，證明：是⊙的切線；⑶.在⑵的條件下，連接交⊙于點(diǎn),連接;若，求的長．【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（3）【解析】【分析】（1）連接CO，易證△PCO≌△PAO，得PO為∠APC的角平分線，根據(jù)條件證出F為優(yōu)弧中點(diǎn)，即可證明=；（2）因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACB=90°，由tan∠ABC=可求得∠ABC的正弦和余弦，設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，根據(jù)三角函數(shù)表示出BC，AC的長度，由勾股定理表示出OD的長度，易得PA=PC=，，PO=PD+OD=3r，由可得PA⊥OA，即可證明是⊙的切線；（3）連接AE，過E作EN⊥PD于N，過B作BH⊥PF于H，由（2）可得，，PB=，證出△PEA∽△PAB，可得，證出四邊形BCDH是矩形，得BH=CD=，在Rt△BPH和Rt△PEN中表示出sin∠BPH，可得，，ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，代入r=3即可【詳解】解：（1）證明：如圖，連接CO，在△PCO和△PAO中，∴△PCO≌△PAO（SSS），∴∠CPO=∠APO，即PO為∠APC的角平分線，∵PA=PC，∴CD=AD，PF⊥AC，∵AC為⊙O的弦，PF過圓心O，∴F為優(yōu)弧中點(diǎn)，∴=，（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，且弦AB所對圓周角為∠ACB，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴sin∠ABC=，cos∠ABC=，設(shè)⊙O的半徑為r，則AB=2r，∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC=，∴，∵PA=PC=AB，∴PA=PC=，∴，∴PO=PD+OD=3r，∴，即PA⊥OA，又∵OA是⊙O半徑，∴PA是⊙O的切線；（3）由（2）可得，∴，在Rt△PBA中，，連接AE，可得∠AEB=90°，∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，∴△PEA∽△PAB，∴，∴，過E作EN⊥PD于N，過B作BH⊥PF于H，如圖所示，∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四邊形BCDH是矩形，∴BH=CD=，在Rt△BPH中，sin∠BPH=，在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，∴，∴ND=PD-PN=，在Rt△NED中，DE=，∵，∴DE=．【點(diǎn)睛】此題考