2024年南航蘇州附中高三數(shù)學(xué)4月二模檢測試卷附答案解析

2024年南航蘇州附中高三數(shù)學(xué)4月二模檢測試卷時間120分鐘滿分150分2024.04一、單選題（本大題共8小題，共40分）1．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，已知集合，則陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．3．2024年3月19日，新加坡共和理工學(xué)院代表團一行3位嘉賓蒞臨我校，就拓寬大學(xué)與中學(xué)間的合作、深化國際人才培養(yǎng)等議題與我校進行了深入的交流.交流時嘉賓席位共有一排8個空座供3位嘉賓就坐，若要求每位嘉賓的兩旁都有空座，且嘉賓甲必須坐在3位嘉賓中間，則不同的坐法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種4．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸5．已知，則（

）A．48 B．192 C．128 D．726．早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何中項以及調(diào)和中項，畢達哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前項和為，，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，則下列說法正確的是（

）A．若點是圓上一點，則的最大值是B．圓關(guān)于直線對稱C．若點是圓上一點，則的最小值是D．直線與圓相交10．在中，角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．若，則為直角三角形C．若為銳角三角形，的最小值為1D．若為銳角三角形，則的取值范圍為11．如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（

）

A．動點軌跡的長度為B．三棱錐體積的最小值為C．與不可能垂直D．當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．袋中有5個球，其中紅黃藍白黑球各一個，甲乙兩人按序從袋中有放回的隨機摸取一球，記事件：甲和乙至少一人摸到紅球，事件：甲和乙摸到的球顏色不同，則．13．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)四點，已知，，與的夾角為，M為AB的中點，，則的最大值為．14．已知定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角；(2)若，點為的重心，且，求的面積．16．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．17．如圖，在五面體中，底面為正方形，.

(1)求證：；(2)若為的中點，為的中點，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分18．近年來，某大學(xué)為響應(yīng)國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學(xué)生開放了兩個健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當?shù)捏w育鍛煉.(1)該校學(xué)生甲?乙?丙三人某周均從兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲?乙?丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；(2)該校學(xué)生丁每周六?日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身中心的其中一個，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；(3)現(xiàn)用健身指數(shù)來衡量各學(xué)生在一個月的健身運動后的健身效果，并規(guī)定值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取一人，其值低于1分的概率為0.02.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過.若抽取次數(shù)的期望值不超過23，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：.19．過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點是圓上的動點，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點，且．

(1)求拋物線的方程；(2)利用題給的結(jié)論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；(3)設(shè)是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動點（異于A，B兩點），過D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：．1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和共軛復(fù)數(shù)定義計算即可【詳解】由題知，復(fù)數(shù)．故選:B．2．B【分析】由陰影部分為以全集為A的集合A與集合B交集的補集求解.【詳解】解：因為，所以，，即陰影部分表示的集合為，故選：B3．A【分析】排列問題，用插空法根據(jù)要求即可解決.【詳解】共有8個座位，3個人就坐，所以還剩下5個座位；因為要求每個人左右都有空座，所以在5個座位的4個空隙中插入3個人，共有種，又嘉賓甲必須坐在3位嘉賓中間，所以共有種，故選：A.4．C【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因為積水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.5．B【分析】令，求導(dǎo)，然后令求解.【詳解】解：令，則，令，得．故選：B．6．D【分析】令，，結(jié)合基本不等式可得，化簡可得，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.【詳解】不妨設(shè)，，則，，所以，當且僅當時取等號，即，當且僅當時取等號，所以，（）所以當時，取得最小值，故選：D．7．B【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，再按為奇數(shù)、偶數(shù)分類求解即可得的范圍.【詳解】由，得，當時，，則，整理得，即，而，解得，于是，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，由，得，當為奇數(shù)時，，即，顯然為遞增數(shù)列，當時，，于是，當為偶數(shù)時，，即，顯然恒有，于是，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B8．A【分析】先利用導(dǎo)數(shù)研究當時，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象及絕對值的意義作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意及一元二次方程根的分布得到關(guān)于的不等式，解不等式即可得到實數(shù)的取值范圍．【詳解】當時，，，令，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，，當趨近于時，趨近于0，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象及絕對值的意義可作出函數(shù)的圖象如圖所示．

令，則，數(shù)形結(jié)合可知要使有6個零點，則有兩個不相等的實數(shù)根、，不妨令，有如下兩種情況：若，但，故排除此種情況，若，對于二次函數(shù)開口向上，又，則，得，綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此類問題需注意以下幾點：（1）會轉(zhuǎn)化，即會將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，然后利用函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系進行解答；（2）會作圖，即會根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象、圖象的平移變換法則或函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系畫出相關(guān)函數(shù)的大致圖象；（3）會觀察，即會利用數(shù)形結(jié)合思想列方程（組）或不等式（組）．9．AB【分析】根據(jù)點關(guān)于直線對稱可得，進而可得圓方程，根據(jù)斜率的意義，結(jié)合直線與圓相切即可求解A，根據(jù)圓心在直線上即可求解B，根據(jù)點到直線的距離公式即可求解CD.【詳解】設(shè)圓的圓心為．因為圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，圓的圓心為，半徑為2，所以圓的半徑為2，兩圓的圓心關(guān)于直線對稱，則解得所以，故圓的方程為．對于A，的幾何意義為圓上的點與坐標原點連線的斜率，如圖，過原點作圓的切線，當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，所以圓心到直線的距離，解得，故由圖可知的最大值是，故A正確；

對于B，圓心在直線上，則圓關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，表示圓上任意一點到直線的距離的倍，圓心到直線的距離為，所以的最小值是，故C錯誤；對于D，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，故D錯誤．故選:AB．10．ABD【分析】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得，即可得，所以A正確；再利用由正弦定理計算可得，可得，B正確；由銳角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C錯誤；由正弦定理可得，結(jié)合的范圍并利用函數(shù)單調(diào)性可得D正確.【詳解】對于中，由正弦定理得，由，得，即，由，則，故，所以或，即或（舍去），即，A正確；對于B，若，結(jié)合和正弦定理知，又，所以可得，B正確；對于，在銳角中，，即.故，C錯誤；對于，在銳角中，由，，令，則，易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，D正確；故選：ABD.11．ABD【分析】對A由平面，聯(lián)想到存在一個過的平面與平面平行，利用正方體特征找到平面平面,進而得到的軌跡為線段，對B，根據(jù)棱錐體積公式分析即可，對C舉反例即可；對D，利用勾股定理求出外接球半徑即可.【詳解】對A，如圖，令中點為,中點為,連接，又正方體中，為棱的中點，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又為正方形內(nèi)一個動點（包括邊界），平面平面，而平面平面，，即的軌跡為線段.由棱長為2的正方體得線段的長度為，故選項A正確；對B，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時，體積最小，如圖，，易得在處時最小，此時,所以體積最小值為，故選項B正確；對C，當為線段中點時，由可得,又中點為,中點為,，而，,故選項C不正確；對D，如圖，當在處時，三棱錐的體積最大時，由已知得此時,所以在底面的射影為底面外心，,,,所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,由,,可得外接球半徑，外接球的表面積為，故選項D正確.故選：ABD.

12．【分析】求出和的值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】依題意，事件甲、乙只有一人摸到紅球，則，而，所以.故答案為：13．【分析】建立平面直角坐標系，確定點的軌跡方程，設(shè)的坐標，分別求出向量，的坐標，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求解．【詳解】以A為原點，所在直線為軸，過作的垂線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，因為，，與的夾角為，，由于，故，所以，因為為的中點，，所以在以為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)，則，，得，所以當，即時，最大，最大值為，此時，則．故答案為：．

14．【分析】先判斷為不等式的解，再當時，根據(jù)題意令，求導(dǎo)后結(jié)合已知條件可得在上遞增，且為偶函數(shù)，由，得，則將轉(zhuǎn)化為，再利用的奇偶性和單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】當時，由，得，則，所以成立，所以符合，當時，令，則，因為，當時，，所以在上遞增，因為定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，因為，定義在上的偶函數(shù)，所以，所以由，得，所以，所以，因為在上遞增，所以，且，得，且，綜上，，即不等式的解集是，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性解不等式，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解;（2）根據(jù)重心的性質(zhì)可得，進而根據(jù)余弦定理可得，由面積公式即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得．又因為，所以．（2）設(shè)的延長線交于點，因為點為的重心，所以點為中點，又因為，所以．在中，由和，可得．在和中，有，由余弦定理可得故，所以，所以的面積為．16．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，再分和兩種情況討論即可．（2）由（1）知，從而，即證明，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得證．【詳解】（1），當在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；當時，令得；令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）知，當時，，所以．令，則．令，則．因為，所以，所以在上單調(diào)遞增．又，所以，所以在上單調(diào)遞減．因為，所以，所以，即當時，．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)證明；（2）選①②：證明平面，建立以M為原點的空間坐標系，求出平面的法向量，利用線面角公式求解【詳解】（1）證明：底面為正方形,則，又平面，平面，則平面，又平面平面，平面，故.（2）選①，取中點G,連接，因為，所以，易知為梯形的中位線，則，又平面，故平面，平面，則平面，且必相交，故平面，延長GM交BC于P,則P為中點，易得，故為矩形.以M為原點，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為.

選②：取中點G,連接，易知為梯形的中位線，，則，由題，，則，故又平面，故平面，延長GM交BC于P,則P為中點，易得，故為矩形.以M為原點，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為..18．(1)(2)(3)30【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式進行計算；（2）設(shè)出事件，利用全概率公式進行求解；（3）設(shè)抽取次數(shù)為，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望，利用錯位相減法求出，