2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試專題03等式與不等式的性質(zhì)學生版

專題03等式與不等式的性質(zhì)一、【知識梳理】【考綱要求】1.理解用作差法比較兩個實數(shù)大小的理論依據(jù).2.理解不等式的概念.3.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用.【考點預測】1.兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）?a<b（a∈R，b>0）.))2.不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)同向可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方性：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).【常用結(jié)論】1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.2.有關(guān)分式的性質(zhì)(1)若a>b>0，m>0，則eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).【方法技巧】1.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差.2.作商法一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大?。?4)結(jié)論.3.函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.5.利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質(zhì)；二是在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運算求解范圍.二、【題型歸類】【題型一】比較兩個數(shù)(式)的大小【典例1】若a<0，b<0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關(guān)系為()A．p<qB．p≤qC．p>qD．p≥q【典例2】已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正確的是()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b【典例3】已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，則M，N的大小關(guān)系為________【題型二】不等式的性質(zhì)【典例1】若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有()A.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) B.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)C.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) D.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)【典例2】下列命題為真命題的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若a<b<0，則a2<ab<b2C．若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)<eq\f(b,c－b)D．若a>b>c>0，則eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)【典例3】(多選)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式正確的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a(chǎn)－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2【題型三】應(yīng)用性質(zhì)判斷不等式是否成立【典例1】已知a>b>0，給出下列四個不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式為()A.①②③ B.①②④C.①③④ D.②③④【典例2】已知a，b為正數(shù)，a≠b，n為正整數(shù)，則anb＋abn－an＋1－bn＋1的正負情況為()A．恒為正B．恒為負C．與n的奇偶性有關(guān)D．與a，b的大小有關(guān)【典例3】如果0＜m＜b＜a，則()A．coseq\f(b＋m,a＋m)＜coseq\f(b,a)＜coseq\f(b－m,a－m)B．coseq\f(b,a)＜coseq\f(b－m,a－m)＜coseq\f(b＋m,a＋m)C．coseq\f(b－m,a－m)＜coseq\f(b,a)＜coseq\f(b＋m,a＋m)D．coseq\f(b＋m,a＋m)＜coseq\f(b－m,a－m)＜coseq\f(b,a)【題型四】求代數(shù)式的取值范圍【典例1】若1<α<3，－4<β<2，則eq\f(α,2)－β的取值范圍是________．【典例2】若角α，β滿足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是________．【典例3】已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，則eq\f(c,a)的取值范圍是()A．－3<eq\f(c,a)<－1 B．－1<eq\f(c,a)<－eq\f(1,3)C．－2<eq\f(c,a)<－1 D．－1<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)三、【培優(yōu)訓練】【訓練一】已知實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a＜b≤c B.b≤c＜aC.b＜c＜a D.b＜a＜c【訓練二】已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c滿足f(1)＝0，且a>b>c，則eq\f(c,a)的取值范圍是________．【訓練三】某學習小組由學生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件：(1)男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)；(2)女學生人數(shù)多于教師人數(shù)；(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)．①若教師人數(shù)為4，則女學生人數(shù)的最大值為________．②該小組人數(shù)的最小值為________．【訓練四】設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個結(jié)論：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c)).其中所有正確結(jié)論的序號是()A．① B．①②C．②③ D．①②③【訓練五】(多選)設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，且a＞b＞0＞c＞d，則下列不等式正確的是()A.c2＜cd B.a－c＜b－dC.ac＞bd D.eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0【訓練六】若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.(1)求證：b＋c＞0.(2)求證：eq\f(b＋c,（a－c）2)＜eq\f(a＋d,（b－d）2).(3)在(2)的不等式中，能否找到一個代數(shù)式，滿足eq\f(b＋c,（a－c）2)＜所求式＜eq\f(a＋d,（b－d）2)？若能，請直接寫出該代數(shù)式；若不能，請說明理由.四、【強化測試】【單選題】1.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)，g(x)的大小關(guān)系是()A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)C．f(x)<g(x) D．隨x的值變化而變化2.若m<0，n>0且m＋n<0，則下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m3.已知a，b為非零實數(shù)，且a<b，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b2>a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)4.設(shè)a，b∈R，則“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5.已知下列四個條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個6.下列命題中，正確的是()A．若a>b，c>d，則ac>bdB．若ac>bc，則a>bC．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則|a|＋b<0D．若a>b，c>d，則a－c>b－d7.已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不確定8.已知實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b≤c B．b≤c<aC．b<c<a D．b<a<c【多選題】9.已知c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中，一定成立的是()A．a(chǎn)b>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．a(chǎn)c(a－c)<010.有外表一樣，重量不同的六個小球，它們的重量分別是a，b，c，d，e，f，已知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，a＋e<b.則下列判斷正確的有()A．b>c>f B．b>e>fC．c>e>f D．b>e>c11.若0<a<1，b>c>1，則()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))a>1 B.eq\f(c－a,b－a)>eq\f(c,b)C．ca－1<ba－1 D．logca<logba12.下列命題為真命題的是()A．若a>b>0，則ac2>bc2B．若a<b<0，則a2>ab>b2C．若a>b>0且c<0，則eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)D．若a>b且eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則ab<0【填空題】13.若a1<a2，b1<b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關(guān)系是________．14.若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是________．15.設(shè)a>b，有下列不等式：①eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有________．(填序號)16.已知存在實數(shù)a滿足ab2>a>ab，則實數(shù)b的取值范圍是________．【解答題】17.已知a＋b>0，試比較eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大?。?8.(1)若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c>a>b>0，求證：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).19.已知－1<x－y<4，2<x＋y<3，求3x＋2y的取值范圍.20.已知a>b>0，c<d<0，|b|>|c|，求證：(1)b＋c>0；(2)eq\f(b,a－c)<eq\f(a,b－d).21.觀察以下運算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×