中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《相似、銳角三角比、平面向量》測(cè)試卷-附帶答案

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《相似、銳角三角比、平面向量》測(cè)試卷-附帶答案學(xué)校:___________班級(jí):___________姓名:___________考號(hào):___________一．平面向量1.（2024·上海奉賢二模15）如圖，已知點(diǎn)、、在直線上，點(diǎn)在直線外，，，，那么______．（用向量、表示）2.（2024·上海虹口二模16）如圖，在梯形中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，設(shè)，，那么用向量、表示向量________．3.（2024·上海黃浦二模15）如圖，D、E分別是邊、上點(diǎn)，滿足，．記，，那么向量________（用向量a、b表示）．4.（2024·上海金山二模15）如圖，已知平行四邊形中，，，為上一點(diǎn)，，那么用，表示_________．5.（2024·上海靜安二模15）在中，點(diǎn)D、E、F分別是邊的中點(diǎn)，設(shè)，那么向量用向量表示為______．6.（2024·上海閔行二模10）計(jì)算：________.7.（2024·上海浦東二模16）如圖，已知中，中線、相交于點(diǎn)G，設(shè)，，那么向量用向量、表示為________．8.（2024·上海普陀二模16）如圖，梯形中，，過(guò)點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，，設(shè)，，那么向量用向量、表示為______．9.（2024·上海青浦二模15）如圖，在中，中線相交于點(diǎn)F，設(shè)，那么向量用向量表示為_______．10.（2024·上海松江二模15）如圖，已知梯形中，，，、交于點(diǎn)O．設(shè)，那么向量可用表示為_____．11.（2024·上海徐匯二模16）如圖，梯形中，，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）．12.（2024·上海楊浦二模14）如圖，在平行四邊形中，E是邊的中點(diǎn)，與對(duì)角線相交于點(diǎn)F，設(shè)向量，向量，那么向量______．（用含、的式子表示）13.（2024·上海嘉定二模15）如圖，在中，線段是邊上的中線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么向量____（結(jié)果用、表示）．14.（2024·上海長(zhǎng)寧二模15）如圖，在中，點(diǎn)D在邊AB上，且，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，設(shè)向量，，如果用、表示，那么___________．圖315.（2024·上海寶山二模15）如圖3，正六邊形ABCDEF，連接OE、OD，如果那么▲.圖316.（2024·上海崇明二模15）如圖，在梯形ABCD中，，，若，，用、表示▲．二．相似，銳角三角比1.（2024·上海奉賢二模17）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，連接，如果與相似，那么______．2.（2024·上海虹口二模17）如圖，在中，，，．點(diǎn)在邊上，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．如果和外切，那么的長(zhǎng)為________．3.（2024·上海黃浦二模21）如圖，D是邊上點(diǎn)，已知，，．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）如果（點(diǎn)A、C、D對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、B、D），求的度數(shù)．4.（2024·上海黃浦二模17）如圖，由4個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大正方形，內(nèi)部形成一個(gè)小正方形．如果正方形的面積是正方形面積的一半，那么．的正切值是________．5.（2024·上海靜安二模16）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與直線交于點(diǎn)，它們的夾角為．直線交x負(fù)半軸于點(diǎn)A，直線與x正半軸交于點(diǎn)，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是______．6.（2024·上海閔行二模17）如圖，在中，上的中線相交于點(diǎn)F，如果，那么的值為______．7.（2024·上海浦東二模15）小麗在大樓窗口測(cè)得校園內(nèi)旗桿底部的俯角為度，窗口離地面高度（米），那么旗桿底部與大樓的距離________米（用的三角比和的式子表示）8.（2024·上海青浦二模14）如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B的仰角為，看這棟樓底部C的俯角為，熱氣球A處與樓的水平距高為m米，那么這棟樓的高度為_______米．（用含的式子表示）9.（2024·上海徐匯二模14）小杰沿著坡比的斜坡，從坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．10.（2024·上海長(zhǎng)寧二模16）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合），且，那么的值為___________．11.（2024·上海長(zhǎng)寧二模17）在中，，將繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、點(diǎn)E，如果點(diǎn)A在DE的延長(zhǎng)線上，且，那么的余弦值為___________．12.（2024·上海寶山二模17）如圖5，邊長(zhǎng)分別為5，3，2的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的一邊在同一直線上，那么圖中陰影三角形①和②的面積之比的比值為_______．13.（2024·上海崇明二模16）如圖，點(diǎn)G是的重心，BG的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)G作，交AC于點(diǎn)E，則▲．14.（2024·上海崇明二模17）已知在矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，AB的對(duì)應(yīng)邊與邊CD相交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)，當(dāng)點(diǎn)E是CD中點(diǎn)時(shí)，▲．三．解答題1.（2024·上海浦東二模21）如圖，在中，是邊上的高．已知，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）如果點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，求的值．2.（2024·上海閔行二模21）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)、在邊上，，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：．3.（2024·上海普陀二模21）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，．

（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值．4.（2024·上海松江二模21）如圖，已知中，．點(diǎn)O在邊上，以O(shè)為圓心，為半徑的弧經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．（1）求的半徑長(zhǎng)；（2）P是上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)．求的正切值．5.（2024·上海徐匯二模21）如圖，和⊙相交于點(diǎn)、，連接、、，已知，，．（1）求的半徑長(zhǎng)；（2）試判斷以為直徑的是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并說(shuō)明理由．6.（2024·上海楊浦二模21）如圖，已知在中，，，點(diǎn)G是的重心，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)D，以G為圓心，為半徑的圓分別交邊、于點(diǎn)E、F．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng)．7.（2024·上海嘉定二模21）某東西方向的海岸線上有、兩個(gè)碼頭，這兩個(gè)碼頭相距千米（），有一艘船在這兩個(gè)碼頭附近航行．（1）當(dāng)船航行了某一刻時(shí)，由碼頭測(cè)得船在北偏東，由碼頭測(cè)得船在北偏西，如圖，求碼頭與船的距離（的長(zhǎng)），其結(jié)果保留位有效數(shù)字；（參考數(shù)據(jù)∶，，，）（2）當(dāng)船繼續(xù)航行了一段時(shí)間時(shí)，由碼頭測(cè)得船在北偏東，由碼頭測(cè)得船在北偏西，船到海岸線的距離是（即），如圖，求的長(zhǎng)，其結(jié)果保留根號(hào)．8.（2024·上海長(zhǎng)寧二模21）（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）如圖，經(jīng)過(guò)平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B、C、D，點(diǎn)O在邊AD上，．（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）求的正弦值．參考答案一．平面向量1.（2024·上海奉賢二模15）如圖，已知點(diǎn)、、在直線上，點(diǎn)在直線外，，，，那么______．（用向量、表示）【答案】##【分析】本題考查平面向量，在中，利用三角形法則求得；然后結(jié)合求得；最后在中，再次利用三角形法則求得答案．【詳解】解：，，，，，故答案為：．2.（2024·上海虹口二模16）如圖，在梯形中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接，設(shè)，，那么用向量、表示向量________．【答案】【分析】本題考查了平面向量的問(wèn)題，熟練掌握三角形法則是解題的關(guān)鍵，根據(jù)梯形的中位線定理及向量的三角形法則解答即可．【詳解】解：，，，，，,點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，，，，故答案為：．3.（2024·上海黃浦二模15）如圖，D、E分別是邊、上點(diǎn)，滿足，．記，，那么向量________（用向量a、b表示）．【答案】【分析】本題主要考查了平行線的判定，相似三角形的判定以及性質(zhì)，向量的知識(shí)．由判定出，由平行線的得出，再根據(jù)向量得知識(shí)即可得出．【詳解】解：∵，∴，∴,∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．4.（2024·上海金山二模15）如圖，已知平行四邊形中，，，為上一點(diǎn)，，那么用，表示_________．【答案】【分析】此題考查了平面向量的知識(shí)．注意掌握三角形法則的應(yīng)用。利用三角形法則，可求得，由平行四邊形的對(duì)邊平行且相等和已知條件可以推知：，求得答案【詳解】解：，，．，．在中，，，，．．．故答案為：．5.（2024·上海靜安二模15）在中，點(diǎn)D、E、F分別是邊的中點(diǎn)，設(shè)，那么向量用向量表示為______．【答案】【分析】首先利用三角形中位線定理求得，則；然后由三角形法則求得．代入求值即可．【詳解】解：在中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，

是的中位線．．．，，．．故答案為：．6.（2024·上海閔行二模10）計(jì)算：________.【答案】【分析】向量的加減法計(jì)算．【詳解】原式=故答案為：．7.（2024·上海浦東二模16）如圖，已知中，中線、相交于點(diǎn)G，設(shè)，，那么向量用向量、表示為________．【答案】【分析】本題考查了三角形的重心，三角形法則等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．根據(jù)重心的性質(zhì)可得，，利用三角形法則求出，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：∵中線、交于點(diǎn)G，∴，，∴，∵，即，∴．故答案為：．8.（2024·上海普陀二模16）如圖，梯形中，，過(guò)點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，，設(shè)，，那么向量用向量、表示為______．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，平面向量的線性運(yùn)算，先證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)已知得出，進(jìn)而證明得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形法則，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴∵，∴，∴，則，∵，，∴，∴故答案為：．9.（2024·上海青浦二模15）如圖，在中，中線相交于點(diǎn)F，設(shè)，那么向量用向量表示為_______．【答案】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和相似三角形的判定和性質(zhì)可得，利用三角形法則求出即可．【詳解】解：連接，∵中線相交于點(diǎn)F，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，又∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，故答案為：．10.（2024·上海松江二模15）如圖，已知梯形中，，，、交于點(diǎn)O．設(shè)，那么向量可用表示為_____．【答案】【分析】本題考查向量的線性計(jì)算．熟練掌握三角形法則，是解題的關(guān)鍵．先證明，再利用三角形法則，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故答案為：11.（2024·上海徐匯二模16）如圖，梯形中，，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）．【答案】【分析】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，向量的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)．根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，推出，結(jié)合，可得，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：設(shè)，平分，，，，，，，，，，故答案為：．12.（2024·上海楊浦二模14）如圖，在平行四邊形中，E是邊的中點(diǎn)，與對(duì)角線相交于點(diǎn)F，設(shè)向量，向量，那么向量______．（用含、的式子表示）【答案】【分析】本題主要考查平面向量的知識(shí)，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．利用平行四邊形的性質(zhì)可先證明，然后用三角形法則表示出，即可得到．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，∴，，∵E是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，故答案為：13.（2024·上海嘉定二模15）如圖，在中，線段是邊上的中線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)向量，，那么向量____（結(jié)果用、表示）．【答案】【分析】本題考查了平面向量的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用三角形法則是解題的關(guān)鍵．先用的線性組合表示，再表示即可．【詳解】解：∵，線段是邊上的中線，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，故答案為：．14.（2024·上海長(zhǎng)寧二模15）如圖，在中，點(diǎn)D在邊AB上，且，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，設(shè)向量，，如果用、表示，那么___________．【答案】【分析】本題考查向量的運(yùn)算，及三角形法則的應(yīng)用，過(guò)程見詳解【詳解】由題意得15.（2024·上海寶山二模15）如圖3，正六邊形ABCDEF，連接OE、OD，如果那么▲.圖3【答案】圖3【分析】【詳解】∵正六邊形ABCDEF∴AB∥DE∴答案為16.（2024·上海崇明二模15）如圖，在梯形ABCD中，，，若，，用、表示▲．【答案】【分析】本題考查向量的運(yùn)算，及三角形法則的應(yīng)用，過(guò)程見詳解【詳解】∵，∴∴所以答案為二．相似，銳角三角比1.（2024·上海奉賢二模17）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，連接，如果與相似，那么______．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)可得，即，求出，得到，再根據(jù)正切的定義計(jì)算即可求解，利用相似三角形的性質(zhì)求得是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，則∵，與相似，∴，∴，∴，解得，（不合，舍去），∴，∴，故答案為：．2.（2024·上海虹口二模17）如圖，在中，，，．點(diǎn)在邊上，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．點(diǎn)在邊上，以點(diǎn)為圓心，為半徑作．如果和外切，那么的長(zhǎng)為________．【答案】##【分析】本題考查的是圓和圓的位置關(guān)系、解直角三角形的知識(shí)，作于點(diǎn)H，連接，先求出，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理列方程即可解決．【詳解】解：作于點(diǎn)H，連接，，，，在中，，，，設(shè)，和外切，半徑為2，，在中，，，解得：，故答案為：．3.（2024·上海黃浦二模21）如圖，D是邊上點(diǎn)，已知，，．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）如果（點(diǎn)A、C、D對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、B、D），求的度數(shù)．【答案】（1）6（2）【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)．（1）證明，由相似的性質(zhì)可得出，然后計(jì)算出，代入求值即可．（2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，進(jìn)一步得出，由等量代換即可求出，即的度數(shù)．【小問(wèn)1詳解】解：∵，，∴，∴，∴∵，，∴，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴，∵，即∴是直角三角形，且，∴，∴，∵，∴，即．4.（2024·上海黃浦二模17）如圖，由4個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大正方形，內(nèi)部形成一個(gè)小正方形．如果正方形的面積是正方形面積的一半，那么．的正切值是________．【答案】【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，設(shè)，，則，根據(jù)面積可列出，整理得，求得，即可解得答案．【詳解】解：設(shè)，，則，∴，，∵，即整理得：，變形得：，令，則，∴原始，解得，，∴，∴（舍去），∴．5.（2024·上海靜安二模16）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與直線交于點(diǎn)，它們的夾角為．直線交x負(fù)半軸于點(diǎn)A，直線與x正半軸交于點(diǎn)，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】本題考查了兩直線相交的問(wèn)題，點(diǎn)的坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)已知條件證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：，，軸軸，，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．6.（2024·上海閔行二模17）如圖，在中，上的中線相交于點(diǎn)F，如果，那么的值為______．【答案】【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，先證明，再證明，則，證明，則，設(shè)，則，得到（負(fù)值舍去），進(jìn)一步得到，則，即可得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∴，∵上的中線相交于點(diǎn)F，∴，∴∴，∵∴∴∵，，∴∴∴設(shè)，則，∴，∴（負(fù)值舍去），∴∴，∴∴故答案為：7.（2024·上海浦東二模15）小麗在大樓窗口測(cè)得校園內(nèi)旗桿底部的俯角為度，窗口離地面高度（米），那么旗桿底部與大樓的距離________米（用的三角比和的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)題意可得，∠ACB=α，AB=h，然后利用三角函數(shù)求出BC的長(zhǎng)度．【詳解】在Rt△ABC中，∵∠ACB=α，AB=h，∴BC==．故答案．8.（2024·上海青浦二模14）如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B的仰角為，看這棟樓底部C的俯角為，熱氣球A處與樓的水平距高為m米，那么這棟樓的高度為_______米．（用含的式子表示）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的仰角俯角問(wèn)題，首先過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)題意得，，米，然后利用三角函數(shù)求解即可求得答案．【詳解】解：首先過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，如下圖所示，則，，米，在中，米，在中，米，∴米．故答案為：9.（2024·上海徐匯二模14）小杰沿著坡比的斜坡，從坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握坡比的定義．設(shè)坡度的高為米，根據(jù)勾股定理列方程求解．【詳解】解：設(shè)坡度的高為米，則水平距離為米，，解得：，故答案為：．10.（2024·上海長(zhǎng)寧二模16）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合），且，那么的值為___________．【答案】【分析】本題主要考查正方形背景下的相似三角形的判定，及對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而求得比例線段的值【詳解】∵正方形ABCD，得∠BAC=45°，又∠EAF=45°，∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=45°∴∠BAE=∠CAF∵∠ABD=∠ACF=45°∴△ABE∽△ACF∴∴的值為11.（2024·上海長(zhǎng)寧二模17）在中，，將繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D、點(diǎn)E，如果點(diǎn)A在DE的延長(zhǎng)線上，且，那么的余弦值為___________．【答案】【分析】本題主要考查圖形的運(yùn)動(dòng)：旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)?！驹斀狻坑尚D(zhuǎn)性質(zhì)得CA=CD，CB=CE，∠A=∠D，∠DCE=∠ACB=90°∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE，又∠ACE=∠CAE∴∠CED=2∠ACE∠CED+∠A=90°，即3∠A=90°，∠A=30°∴∠CAE=30°，的余弦值為12.（2024·上海寶山二模17）如圖5，邊長(zhǎng)分別為5，3，2的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的一邊在同一直線上，那么圖中陰影三角形①和②的面積之比的比值為_______．【答案】【分析】通過(guò)A型和X型，求解得出的比值【詳解】由圖設(shè)AD，BC交于點(diǎn)P，∵AB∥CD，由比例關(guān)系，經(jīng)過(guò)計(jì)算得△①的底邊長(zhǎng)為，△②的底邊長(zhǎng)為，由面積比等于相似比的平方得13.（2024·上海崇明二模16）如圖，點(diǎn)G是的重心，BG的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)G作，交AC于點(diǎn)E，則▲．【答案】【分析】本題考查重心的性質(zhì)，三角形一邊平行線的性質(zhì)，面積比與邊比的關(guān)系等【詳解】∵點(diǎn)G是的重心∵14.（2024·上海崇明二模17）已知在矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，AB的對(duì)應(yīng)邊與邊CD相交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)，當(dāng)點(diǎn)E是CD中點(diǎn)時(shí)，▲．【答案】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及應(yīng)用。通過(guò)解直角三角形求得正切值?！驹斀狻拷猓深}意知CE=3，從而A’E=A’B-BE=AB-BE=6-5=1過(guò)A’作A’H⊥CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠A’EH=∠CEB∴sin∠A’EH=sin∠CEB=∴∴A’G=EG=∴所以答案為三．解答題1.（2024·上海浦東二模21）如圖，在中，是邊上的高．已知，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）如果點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，求的值．【答案】（1）（2）【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵；（1）由可設(shè)，則，則，，再利用勾股定理求解，從而可得答案；（2）如圖，過(guò)作于，由（1）得：，，，利用等面積法求解，可得，可得，再結(jié)合余切的定義可得答案．【小問(wèn)1詳解】解：∵，∴，∴設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∵，是邊上的高，∴，解得：（負(fù)根舍去），∴；【小問(wèn)2詳解】如圖，過(guò)作于，∵由（1）得：，，，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∴．2.（2024·上海閔行二模21）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)、在邊上，，，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：．【答案】（1）見詳解（2）見詳解【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明四邊形是平行四邊形是解題關(guān)鍵．（1）首先證明，然后利用“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”證明四邊形是平行四邊形即可；（2）首先由平行四邊形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而證明，由相似三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；小問(wèn)2詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．3.（2024·上海普陀二模21）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，．

（1）求的長(zhǎng)；（2）求的值．【答案】（1）（2）【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)；（1）利用三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合等角對(duì)等邊即可解決問(wèn)題．（2）過(guò)點(diǎn)作垂線構(gòu)造出直角三角形即可解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】解：，，又，．又，，．，，．【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，，，．在中，，．4.（2024·上海松江二模21）如圖，已知中，．點(diǎn)O在邊上，以O(shè)為圓心，為半徑的弧經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．（1）求的半徑長(zhǎng)；（2）P是上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)．求的正切值．【答案】（1）5（2）【分析】本題主要考查了解直角三角形，圓的基本性質(zhì)，勾股定理：（1）聯(lián)結(jié)，設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理，求出x的值，即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作，垂足為H．根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，，再由，可得，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：聯(lián)結(jié)，設(shè)，∵，∴，∵，∴解得：，∴的半徑長(zhǎng)是5．【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作，垂足為H．∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴．5.（2024·上海徐匯二模21）如圖，和⊙相交于點(diǎn)、，連接、、，已知，，．（1）求的半徑長(zhǎng)；（2）試判斷以為直徑的是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，見解析【分析】本題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)．（1）連接，設(shè)與的交點(diǎn)為，根據(jù)題意可得，，在中，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出，在中，根據(jù)勾股定理求出，即可求解；（2）根據(jù)題意并結(jié)合（1）可得，可證明，得到，取的中點(diǎn)，連接、，推出，結(jié)合垂直平分，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：連接，設(shè)與的交點(diǎn)為．和⊙相交于點(diǎn)、，，，，在中，，；，在中，，；即的半徑長(zhǎng)為；【小問(wèn)2詳解】以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)．，，，又，，，取的中點(diǎn)，連接、，，又垂直平分，，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)．6.（2024·上海楊浦二模21）如圖，已知在中，，，點(diǎn)G是的重心，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)D，以G為圓心，為半徑的圓分別交邊、于點(diǎn)E、F．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【分析】（1）先證明，，，結(jié)合，可得，再利用勾股定理可得答案；（2）過(guò)作于，可得，證明，求解，可得，從而可得答案．【小問(wèn)1詳解】解：∵，點(diǎn)G是的重心，∴，，，∵，∴，∴，