弧度制教學設計（人教A版）

【新教材】5.1.2弧度制教學設計（人教A版）

教材分析

前一節(jié)已經(jīng)學習了任意角的概念，而本節(jié)課主要依托圓心角這個情境學習一種用長度度量角的

方法一弧度制，從而將角與實數(shù)建立一一對應關系，為學習本章的核心內(nèi)容一三角函數(shù)掃平障礙，

打下基礎.

教學目標與核心素養(yǎng)

課程目標

i.了解弧度制，明確1弧度的含義.

2.能進行弧度與角度的互化.

3.掌握用弧度制表示扇形的弧長公式和面積公式.

數(shù)學學科素養(yǎng)

1.數(shù)學抽象：理解弧度制的概念；

2.邏輯推理：用弧度制表示角的集合；

3.直觀想象：區(qū)域角的表示；

4.數(shù)學運算：運用已知條件處理扇形有關問題.

教學重難點

重點：弧度制的概念與弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化;

難點：弧度制概念的理解.

課前準備

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

教學過程

一、情景導入

度量單位可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制，不

同的單位制能給解決問題帶來方便.角的度量是否也可以用不同的單位制呢？能否像度量長度那樣，

用十進制的實數(shù)來度量角的大小呢？

要求：讓學生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本172-174頁，思考并完成以下問題

1.1弧度的含義是？

2.角度值與弧度制如何互化？

3.扇形的弧長公式與面積公式是？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1.度量角的兩種單位制

（1）角度制

①定義：用度作為單位來度量角的單位制.

1

②1度的角：周角的行.

（2）弧度制

①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.

②1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角.

2.弧度數(shù)的計算

「（正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)）

（弧號數(shù)）--（負角的弧度數(shù)是一個復數(shù)）

-（零角的弧度數(shù)是一零）

3.角度制與弧度制的轉(zhuǎn)算

［角度化弧度）=1弧度化角度）

.......————一一一T一一...一一,——一—一…T

J1

------rad=3您)

I

(^￡80°-TTrad^)，aC^^rad-1

F_______1

1°=工rad?0.01745rad—1rad=(圖r=57.30°

廣J____'x'_______

4.一些特殊角與弧度數(shù)的對應關系

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7TJTji712n37rSn3n

弧0n2n

64萬TTT

度

5.扇形的弧長和面積公式

設扇形的半徑為R,弧長為1,a(0<aV2”)為其圓心角，貝h

(1)弧長公式：1=史.

1,12

(2)扇形面積公式：S=2=2.

四、典例分析、舉一反三

題型一角度制與弧度制的互化

例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：

714n

(1)-450°；(2)—；(3)一~—；(4)112°30'.

5JI5n

【答案】(1)一三廠rad；(2)18°；(3)―240°；(4)rrad.

Zo

JI5n

【解析】⑴-450°=-450X—rad=rad;

1ou2

⑵2rad=號(當)=18。；

(3)一竽rad=一等X=-240°；

n5n

(4)112°30'=112.5°=112.5X—rad=—rad.

loUo

解題技巧：(角度制與弧度制轉(zhuǎn)化的要點)

跟蹤訓練一

1.將下列角度與弧度進行互化.

(1)20°；(2)-15°；(3)胃；⑷一整.

1Z0

【答案】(1)grad；(2)-77rad；(3)105°；(4)-396°.

yiz

?20nJI

【解析】(1)20°=~7布rad=—rad.

loUy

/、7n7

⑶-fFrad=Y^X180。=105°.

(4)rad=-^-X180°=-396°.

55

題型二用弧度制表示角的集合

例2用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不

包括邊界，如圖所示).

斗475。135°17

K4

。幽“。。

(1)(2)(3)

_f5

【答案】⑴二JI+24…廿+2-MZ卜

3n.3兀1]n

⑵〃MZ卜⑶,6+八r<,kGZ■.

【解析】用弧度制先寫出邊界角，再按逆時針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，

zn5

(1)0--+2kTt<0<—JI+2kn,kRZk

3n3n

(2)0--+2An<0<—+2kJi,AGZ.

441

nJI

(3)0y+An<(f<—+kn,kRZ■.

解題技巧：(表示角的集合注意事項)

1.弧度制下與角。終邊相同的角的表示.

在弧度制下，與角a的終邊相同的角可以表示為｛0￡=2An+AeZ),即與角。終邊相同的

角可以表示成。加上2n的整數(shù)倍.

2.根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟.

(1)仔細觀察圖形.

(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示.

(3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角.

提醒；角度制與弧度制不能混用.

跟蹤訓練二

1.如圖，用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不

2nJT

【答案】(1)〃--^-+2k^<a<—+2knfAGZ

nn

(2)]a<a<—+2〃n或~^-+24nV。Vn+24五，kGZ

?Jo

JI2五

【解析】(1)如題圖①，以04為終邊的角為二+24冗(攵￡2);以08為終邊的角為-二

63

2An(^eZ),

所以陰影部分內(nèi)的角的集合為

2nn

a--+^<a<-+2k.,A-eZ

(2)如題圖②，以如為終邊的角為：+2〃nJeZ)；以如為終邊的角為(AWZ).

不妨設右邊陰影部分所表示的集合為M,左邊陰影部分所表示的集合為跳，

n2五

則弘=ja2k*<a<—+2k^,AeZpM=\o—+24nV。Vn+2〃五，kGZ

所以陰影部分內(nèi)的角的集合為

U版={-2n

M\a2kn<a<-^+24冗或F*+24n<a<n+2An,kJZ

題型三扇形的弧長與面積問題

例3一個扇形的周長為20,則扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形面積最大？

【答案】當扇形半徑r=5,圓心角為2rad時，扇形面積最大.

【解析】設扇形的圓心角為。，半徑為八弧長為/,則/=。八

20—2r

依題意1+2r=20,即ar+2r=20,Aa=------.

r

由7=20—2r>0及r>0得0<r<10,

12120-2r,,、

.'.5?)g=-or=~?---?r=(10—r)r

=-(r-5)2+25(0<r<10).

...當r=5時，扇形面積最大為S=25.此時/=10,a—2,

故當扇形半徑r=5,圓心角為2rad時，扇形面積最大.

解題技巧：(弧度制下解決扇形相關問題的步驟)

(1)明確弧長公式和扇形的面積公式：7=1|和S=：”.(這里a必須是弧度制下的

角)

(2)分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式.

(3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標函數(shù)求解.

跟蹤訓練三

1、已知某扇形的圓心角為80°，半