新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修1精講精練

第1講§1.1.1集合的含義與表示

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的‘'屬于"關(guān)系；能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列

舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；掌握集合的表示方法、常用數(shù)集及其記法、集合元素的

三個(gè)特征.

0知識(shí)要點(diǎn)：

1.把一些捻素組成的總體叫作集合(se/),其元素具有三個(gè)特征，即確定性、互異性、無序性.

2.集合的表示方法有兩利，：列舉法，即把集合的元素-一一列舉出來，并用花括號(hào)“{}”括起來，基本形式為

也,4,%一?，％}，適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征來表示，基本形式為

{xeA|P(x)},既要關(guān)注代表元素x,也要把握其屬性P(x),適用于無限集.

3.通常用大寫拉丁字母A,8,C,…表示集合.要記住一些常見數(shù)集的表示，如自然數(shù)集N,正整數(shù)集N,或整數(shù)集

Z,有理數(shù)集Q,實(shí)數(shù)集R.

4.元素與集合之間的關(guān)系是屬于(belongto)與不屬于(notbelongto),分別用符號(hào)e、任表示，例如3eN,-2eN.

0例題精講：

【例11試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

(1)由方程x*2-2x-3)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(2)大于2且小于7的整數(shù).

解：(1)用描述法表示為：{xeR|Mf-2x-3)=0}；用列舉法表示為{0,7,3}.

(2)用描述法表示為：{xeZ[2<x<7}；用列舉法表示為{3,4,5,6}.

【例2】用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：已知A={x|x=3k+2,keZ},B={x\x=6m-l,meZ},則有:

17___A；-5___A；17B.

7

解：由弘+2=17,解得％=5eZ,所以17eA；由3k+2=—5,解得&=±eZ,所以-5eA；

3

由6，w-l=17,解得小=3eZ,所以17e8.

【例3】試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?教材&練習(xí)題2,?3A組題4)

(1)一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點(diǎn)組成的集合；(2)二次函數(shù)y=V-4的函數(shù)值組成的集合；

2

(3)反比例函數(shù)y=*的自變量的值組成的集合.

x

fV—x+32

解：(1){(x,y)H'')={(1,4)}.(2){y|y=x2-4)={y|y>-4}.(3){%|y=-}={%|x0).

[y=-2x+6x

點(diǎn)評(píng)：以上代表元素，分別是點(diǎn)、函數(shù)值、自變量.在解題中不能把點(diǎn)的坐標(biāo)混淆為{1,4},也注意對(duì)比(2)與(3)中

的兩個(gè)集合，自變量的范圍和函數(shù)值的范圍，有著本質(zhì)上不同，分析時(shí)一定要細(xì)心.

*【例4】已知集合4=也|與吆■=1有唯一實(shí)數(shù)解},試用列舉法表示集合A.

廠一2

解：化方程學(xué)巴=1為：x2-x-(a+2)=0.應(yīng)分以下三種情況：

x~-2

⑴方程有等根且不是士蚯：由△=(),得。=-2,此時(shí)的解為x=L,合.

42

⑵方程有一解為血,而另一解不是-0：將》=應(yīng)代入得。=-點(diǎn)，此時(shí)另一解為=1-0,合.

⑶方程有一解為-夜，而另一解不是血：將》=-&代入得此時(shí)另一解為x=JI+l,合.

綜上可知，A={--,-72,72}.

4

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用分類討論思想方法，研究出根的情況，從而列舉法表示.注意分式方程易造成增根的現(xiàn)象.

月日：~:自評(píng)分痣扮

《新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修①精講精練》精練

第1練§1.1.1集合的含義與表示

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.以下元素的全體不能夠構(gòu)成集合的是（B）.

A.中國古代四大發(fā)明B.地球上的小河流C.方程/-1=0的實(shí)數(shù)解D.周長為10””的三角形

2.方程組丫=2的解集是（C）.

[2x+y=11

A.｛5,1｝B.｛1,5｝C.｛（5,1）｝D.｛（1,5）｝

3.給出下列關(guān)系：①;eR；②；③3eN*；④OeZ.其中正確的個(gè)數(shù)是（C）.

A.1B.2C.3D.4

4.有下列說法：（1）0與｛0｝表示同一個(gè)集合;（2）由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1｝；（3）方程2）=0

的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝；（4）集合｛x|4<x<5｝是有限集.其中正確的說法是（C）.

A.只有(1)和(4)B.只有(2)和(3)C.只有(2)D.以上四種說法都不對(duì)

5.下列各組中的兩個(gè)集合M和N,表示同一集合的是(D).

A.N={3.14159}B.M={2,3},N={(2,3)}

C.M={x|-l<x<l,xeW},N={1}D.M={1,由㈤，7V={^,1,|-V3|}

6.已知實(shí)數(shù)。=2,集合B=｛x|-1<x<3｝,則。與B的關(guān)系是.aeB

7.已知xeR,則集合｛3,x,x?-2x｝中元素x所應(yīng)滿足的條件為.x*0,-1,3

※能力提高

8.試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

（1）二次函數(shù)）>=/-2x+3的函數(shù)值組成的集合；（2）函數(shù)>=一一的自變量的值組成的集合.

X--2

答案：（1）｛y\y>2｝;（2）土歷

4

9.已知集合4="6%|——eZ）,試用列舉法表示集合4

x-3

答案：｛1,2,4,5,7｝提示：分x-3=±1,±2,±4等情況.

※探究創(chuàng)新

10.給出下列集合：

①｛（x,加#1,產(chǎn)1,e2,產(chǎn)-3｝；②｛（x,y）且I：：4｝

③卜，或；④｛⑴皿（『1）2+。3].吐2尸+。+3）2產(chǎn)0｝.

其中不能表示“在直角坐標(biāo)系x。），平面內(nèi)，除去點(diǎn)（1,1）,（2,-3）之外的所有點(diǎn)的集合”的序號(hào)有.

答案：④提示：集合①與②是等價(jià)的，它們均表示除去了四條直線外的所有的點(diǎn)；集合③表示整個(gè)坐標(biāo)平面；集合④

不能表示點(diǎn)（1,1）、（2,-3）,集合④能表示所指定的集合.

2

第2講§1.1.2集合間的基本關(guān)系

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義；能利

用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系.

0知識(shí)要點(diǎn)：

1.一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B,如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，則說兩個(gè)集合有包含關(guān)系，其中

集合4是集合B的子集(subset),記作力=8(或B2A),讀作“A含于8”(或“8包含A”).

2.如果集合A是集合B的子集(418),且集合B是集合A的子集(BpA),即集合4與集合8的元素是一樣的，

因此集合A與集合8相等，記作A=8.

3.如果集合AcB.但存在元素xwB，且xeA,則稱集合A是集合B的真子集(propersubset),記作B(或B^A).

4.不含任何元素的集合叫作空集{emptyset),記作0,并規(guī)定空集是任何集合的子集.

5.性質(zhì)：AqA；若AqB,BcC,則AqC；

若4仆8=4,則A=B；若4UB=4,則

0例題精講：

【例1】用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：

(1){菱形}{平行四邊形};{等腰三角形}—{等邊三角形}.

(2)0{xe/?|x2+2=0}；0—{0}；0____{0}；N{0}.

解：⑴室，8；(2)=,G,室，具.

【例2】設(shè)集合A={X|X=3，"€Z},B={x\x=n+^,neZ},則下列圖形能表示A與8關(guān)系的是().

A.B.C.D.

31133113

解：簡單列舉兩個(gè)集合的一些元素，?1={..B=

222

易知故答案選A.

另解：由8={x|x=2詈,〃eZ},易知B^A,故答案選A.

【例3】若集合用={x|f+x-6=0},N={尢皿-1=0},且NqM,求實(shí)數(shù)〃的值.

解：由公+工一6=0=>工=2或一3,因此，M={2,-3}.⑴若〃=0時(shí)，得N=0,此時(shí)，NqM；

(/7)若a*0時(shí)，得'={1}.若N=M,滿足」=2或1=-3,解得〃=,或a=——.

aaa23

故所求實(shí)數(shù)a的值為0或[或-L

23

點(diǎn)評(píng)：在考察=這一關(guān)系時(shí)，不要忘記“0”，因?yàn)?=0時(shí)存在4=8.從而需要分情況討論.題中討論的

主線是依據(jù)待定的元素進(jìn)行.

【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax2}.若4=8,求實(shí)數(shù)x的值.

解：若J=>a+ax2-2ax=0,所以即〃=0或x=l.

[a+2b=ax2

當(dāng)a=0時(shí)，集合B中的元素均為0,故舍去；

當(dāng)尸1時(shí)，集合B中的元素均相同，故舍去.若卜+'="廠=>2axLx-a=0.

+2人=ax

因?yàn)椤癢0,所以2/?六1=0,即(X?1)(2X+D=0.又xWl,所以只有1二一；.

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)4=8成立.綜上所述x=-4.

2

點(diǎn)評(píng)：抓住集合相等的定義，分情況進(jìn)行討論.融入方程組思想，結(jié)合元素的互異性確定集合.

《新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修①精講精練》——精練月日：~:自評(píng)分盒”

第2練§1.1.2集合間的基本關(guān)系

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.已知集合A={x|x=3k,keZ},B={xk=6A,&eZ},則4與B之間最適合的關(guān)系是（D）.

A.AjBB.AnBC.A^BD.A^B

2.設(shè)集合用={刈-14苫<2},N={x|x-k40},若M=N,則k的取值范圍是（D）.

A.k<2B.k>-\C.k>-lD.k>2

3.若{萬,0,-1}={a,b,O},則/須+/oo7的值為（人）.

A.0B.1C.-1D.2

4.已知集合M={x|x=；+；,kdZ},N={x|x=：+；,kWZ}.若x（）eM,則x（）與N的關(guān)系是（A）.

A.XQGNB.xo^NC.xoGN或xo^ND.不能確定

5.已知集合P={x|f=l},集合。={xg=l},若。項(xiàng)P,那么a的值是（D）.

A.1B.-1C.1或一1D.0,1或一1

6.已知集合A={a,b,c,},則集合A的真子集的個(gè)數(shù)是.7個(gè)

7.當(dāng){I,。,%={0,/,a+b}時(shí)，a=,b=1,0

a

※能力提高

8.已知A={2,3},M={2,5,/-3a+5},N={1,3,a2-6a+10},AqM,且AqN,求實(shí)數(shù)a的值.

答案：a=2.提示：聯(lián)合/-3a+5=2及。2-6〃+10=2求解

9.已知集合A={M-24x45},8={x]〃?+14x?2m-1}.若8=A,求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

答案：機(jī)43（注意區(qū)間端點(diǎn)及生。）

※探究創(chuàng)新

10.集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一個(gè)子集，當(dāng)時(shí)，若有x-1eA且x+1KA,則稱x為A的一個(gè)“孤立元

素”，寫出S中所有無“孤立元素”的4元子集.

解：依題意可知，“孤立元素x”是沒有與x相鄰的，非“孤立元素是指在集合中有與x相鄰的元素.因此所求問題

的集合可分成如下兩類：

（1）4個(gè)元素連續(xù)的，有3個(gè)：[0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5）；

（2）4個(gè)元素分兩組，每組兩個(gè)連續(xù)的，也有3個(gè)：{0,1,3,4},{1,2,4,5},{0,1,4,5）.

4

第3講§1.1.3集合的基本運(yùn)算(一)

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集

的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.

0知識(shí)要點(diǎn)：

集合一基茶運(yùn)算有三種，即交、并、補(bǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)先理解概念，并掌握符號(hào)等，再結(jié)合解題的訓(xùn)練，而達(dá)到掌握的層次.下

面以表格的形式歸納三種基木運(yùn)算如下.

并集交集補(bǔ)集

由所有屬于集合A或?qū)儆诩蓪儆诩螦且屬于集合B對(duì)于集合A,由全集。中不屬于

合B的元素所組成的集合，的元素所組成的集合，稱為集合4的所有元素組成的集

概念

稱為集合A與8的并集集合4與8的交集合，稱為集合4相對(duì)于全集。

(unionset)(intersectionset)的補(bǔ)集(complementaryset}

記號(hào)AU8（讀作“并8”）APIS（讀作“4交8”）db,A(讀作“A的補(bǔ)集”)

AU8={x|xwA,或rB}4A={x|xB}d,A={x\xeUA}

符號(hào)GGb

圖形

表示QD

0例題精講：

【例1】設(shè)集合U=R,A={x|-14x45},8={x|3<x<9}3AnB，M(4U8).

解：在數(shù)軸上表示出集合A、B,如右圖所示：--------一二

AAB={x|3<x<5},AA.5]

Q(71UB)={X|X<T,或x>9},+3------5J;

【例2】設(shè)4={xeZ||x區(qū)6},8={1,2,3},C={3,4,5,6},求：

(1)4n(8nc)；(2)Ana(suc).

解：A={-6,-5,—4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4,5,6}.

⑴又?.?Bnc={3},，An(Bnc)={3}；

(2)又???BUC={1,2,3,4,5,6},得g(BUC)={-6,-5,Y,-3,-2,-l,0}.

AnCA(BUC)={-6,-5,-4,-3,-2,-l,0).

【例3】已知集合A={x|-2<x<4},B={x\x<m},且AD8=A,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：由AnB=A,可得AqB.----------------------

在數(shù)軸上表示集合4與集合B,如右圖所示：B『—"A一"'

由圖形可知，m>4.一、'?

點(diǎn)評(píng)：研究不等式所表示的集合問題，常常由集合之間的關(guān)系，立4mx得到各端點(diǎn)之間

的關(guān)系，特別要注意是否含端點(diǎn)的問題.

【例4】已知全集。={》|》<10,且xeN*},4={2,4,5,8},B={1,3,5,8},求C。(4U8),(C”A)n(C“B),

(C(;A)U(CyB),并比較它們的關(guān)系.

解：由—118={1,2,3,4,5,8},則?！?6118)={6,7,9}.

由AD8={5,8},則C?(4nB)=0,2,3,4,6,7,9}

由Cb,A={1,3,6,7,9},CVB={2,4,6,7,9),

則(QA)A?8)={6,7,9},

(C”A)U(C“B)={1,2,3,4,6,7,9}.

由計(jì)算結(jié)果可以知道，(G,A)U(C“8)=Cu(An8),

(CuA)r\(CuB)=Cu(A(jB).

另解：作出論〃〃圖，如右圖所示，由圖形可以直接觀察出來結(jié)果.

點(diǎn)評(píng)：可用地""圖研究(。4)11(0.8)=「(4|"(8)與(。“4)0(78)=孰(4118),在理解的基礎(chǔ)記住此結(jié)論，有助

于今后迅速解決一些集合問題.

《新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修①精講精練》——精練月日：~:自評(píng)分盒”

第3練§1.1.3集合的基本運(yùn)算(一)

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},則(C).

A.0B.{2,4,6}C.{1,3,6,7}D.{1,3,5,7}

2.若4={x|0<x<右},8={x[14x<2},則AU8=(D).

A.{x|x<V2}B.{xIx>1}C.{x11<x<V2}D.{x[0<x<2}

3.右圖中陰影部分表示的集合是(A).

A.AC\CVBB.BC]CVA

c.c/anB)D.C/AUB)

4.若4={0,1,2,3},8={*|》=3凡4€A},則4口8=(C).

A.{1,2}B.{0,1}C.{0,3}D.{3}

5.設(shè)集合M={x|-14x<2},N={x|x-&40},若M[}N則k的取值范圍是(B).

A.k<2B.k>-\C.k>-\D.-\<k<2

6.設(shè)全集U={xeN"|x<8},A={1,3,5,7),8={2,4,5},則C°(AUB)=________.{6}

7.已知集合用={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合.{(3,-1)}

※能力提高

8.設(shè)全集U={x[0<x<10,xeN*},若408={3},AA={1,5,7))(Ct,A)n(Ct,fi)={9),求集合A、B.

答案：A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.提示：由地〃"圖可知.

9.設(shè)。=尺，A={x\-2<x<4},B={x|8-2x>3x-7},求Cu(AUB)、(Ct，A)n(CrB).

答案：{x|x>4},{xIx>4)

※探究創(chuàng)新

10.設(shè)集合4={x|(x-4)(x—a)=0,aeR},B={x|(x—l)(x—4)=0}.

(1)求AU8,AQB；

(2)若A工B，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)若a=5,則4UB的真子集共有個(gè)，集合P滿足條件(AfiB)呈(AU8),寫出所有可能的集合P.

解：(1)8={1,4}.當(dāng)a=4時(shí)，A={4},則AUB={1,4},4|"|8={4}；

當(dāng)a=l時(shí)，4={1,4},則AUB={1,4},AflB={1,4}；當(dāng)axl且a*4時(shí)，A={4,a},則AUB={1,4,。},4。8={4}.

(2)若力由上易知a=4或a=l.

(3)當(dāng)3=5時(shí),A={1,5},AUB={1,4,5),其真子集有7個(gè).

4nB={4},則滿足{4}刎尸{1,4,5}的集合戶有:{1,4},{4,5}.

6

第4講§1.1.3集合的基本運(yùn)算(二)

口學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握集合、交集、并集、補(bǔ)集的有關(guān)性質(zhì)，運(yùn)行性質(zhì)解決一些簡單的問題；掌握集合運(yùn)算中的一些數(shù)學(xué)思

想方法.

0知識(shí)要點(diǎn)：

1.含兩個(gè)集合的發(fā)，皿圖有四個(gè)區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)著這兩個(gè)集合運(yùn)算的結(jié)果.我們需通過論〃"圖理解和掌握各區(qū)域的集合

運(yùn)算表示，解決一類可用列舉法表示的集合運(yùn)算.通過圖形，我們還可以發(fā)現(xiàn)一些集合性質(zhì)：

Q(AnB)=(QA)u(c,.<,G,(4U2)=(Q4)n(Q,B).

2.集合元素個(gè)數(shù)公式：n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AAB).

3.在研究集合問題時(shí)，常常用到分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等.也常由新的定義考查創(chuàng)新思維.

0例題精講：

【例1】設(shè)集合A={-4,2a-l,/},8={9,a-5,l-a},若4。8={9},求實(shí)數(shù)a的值.

解：由于A={-4,2a-1,/},8={9,0-5,1-a},且4nB={9},則有：

當(dāng)2a-1=9時(shí)，解得a=5,此時(shí)A={-4,9,25},B={9,0,—4},不合題意，故舍去；

當(dāng)“2=9時(shí),解得。=3或-3.

。=3時(shí),4={-4,5,9},B={9,-2,-2},不合題意，故舍去；

。=-3,A={-4,-7,9},B={9,—8,4},合題意.

所以，a=-3.

【例2】設(shè)集合A={x|*-3)(x-a)=0,aeR},B={x|(x-4)(x—l)=0},求AU'--8.(教材P”B組題例

解：B={1,4}.

當(dāng)a=3時(shí)，A={3},則AU8={1,3,4},=0;

當(dāng)a=l時(shí)，A={1,3},則AUB={1,3,4},408={1}；

當(dāng)a=4時(shí)，A={3,4},則AU8={1,3,4},AHB={4}；

當(dāng)°工3且awl且a#4時(shí)，A={3,a},則4U8={l,3,4,a},Ap\B=0.

點(diǎn)評(píng)：集合A含有參數(shù)a,需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分情況討論.羅列參數(shù)a的各種情況時(shí)，需依據(jù)集合的性質(zhì)和影響運(yùn)算結(jié)

果的可能而進(jìn)行分析，不多不少是分類的原則.

【例3】設(shè)集合A={x*+4x=0},B={x|x2+2(a+l)x+a2-1=0,aeR],若求實(shí)數(shù)a的值.

解：先化簡集合A={-4,0}.由4口8=8,則可知集合B可為0,或?yàn)閧0},或{-4},或{-4,0}.

⑺若8=0,則△=4(a+l)2-4(〃解得a<-l；

(ii)若0e8,代入得/—1=0=a=l或a=—1,

當(dāng)a=l時(shí)，B=A,符合題意；

當(dāng)。=-1時(shí)，B={0}cA,也符合題意.

(/)若一4eB,代入得/-8a+7=0=>a=7或a=l,

當(dāng)a=l時(shí)，已經(jīng)討論，符合題意；

當(dāng)a=7時(shí),B={-\2,-4},不符合題意.

綜上可得，a=l或。W-1.

點(diǎn)評(píng)：此題考查分類討論的思想，以及集合間的關(guān)系的應(yīng)用.通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，及集合之間的關(guān)系，可

以把相關(guān)問題化歸為解方程的問題，這是數(shù)學(xué)中的化歸思想，是重要數(shù)學(xué)思想方法.解該題時(shí)，特別容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是遺漏

了A=B和B=0的情形，從而造成錯(cuò)誤.這需要在解題過程中要全方位、多甭度審視問題.

【例4]對(duì)集合A與B,若定義A-B={x\xeA,AxsB},當(dāng)集合A={x|x48,xwN”},集合

B={x|x(x-2)(x-5)(x-6)=0}時(shí)，有A-8=.(由教材P12補(bǔ)集定義“集合4相對(duì)于全集U的補(bǔ)集為

/A={x|xeU,且xeA}“而拓展)

解：根據(jù)題意可知，A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={0,2,5,6)

由定義A-B={x|xeA,且xe8},貝U

A-8={1,3,4,7,8}.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用新定義解題是學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，也是一種創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，關(guān)鍵是理解定義的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵，這里新定義的含

義是從A中排除B的元素.如果再給定全集U,則A-B也相當(dāng)于力nCuB).

第4練§1.1.3集合的基本運(yùn)算(二)

《新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修①精講精練》——精練月日：~:自評(píng)分盒”

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.已知集合4={1,2,4},8=卜卜是8的正約數(shù)},則4與8的關(guān)系是（B）.

A.A=BB.售8C.D.AUB=0

2.已知a,6,c為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式/+3+￡+”的值所組成的集合為M,則下列判斷正確的是（D）.

\a\|/?||c|\abc\

A.B.-4eMC.2eMD.

3.(08年湖南卷.文1)已知。={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},則(B).

A.MnN={4,6}B.M\JN=UC.(C“N)UM=UD.(C?M)C\N=N

4.定義集合A、8的一種運(yùn)算：A*8={x|x=占+馬,其中I]eA，we8},若4={1,2,3},8={1,2},則A*B中的所

有元素?cái)?shù)字之和為(B).

A.9B.14C.18D.21

5.設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集凡知=卜，>4}與'={幻心3或x<l}都是U的子集（如右

圖所示），則陰影部分所表示的集合為（A）.

A.{x|—2<x<l}B.{x|-2<x<2}

C.{x|l<x<2}D.{x|x<2}

6.已知集合4="卜14*41},8={x|x>。},且滿足A08=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.a>\

7.經(jīng)統(tǒng)計(jì)知，某村有電話的家庭有35家，有農(nóng)用三輪車的家庭有65家，既有電話又有農(nóng)用三輪車的家庭有20家，則

出話和農(nóng)用三輪車至少有一種的家庭數(shù)為.80提示：結(jié)合文氏圖，易知〃（AU8）="（A）+〃（8）-〃G4n8）,則

65+35-20=80

※能力提高

8.已知集合A={x|x?+px+q=0},B={x\x2-px-2q=0},且AnB={-l}，求AUB.

答案：AUB={-2,-1,4}

9.已知集合。={2,3,/+2。-3},A={|a+l|,2],Cb,A={a+3},求實(shí)數(shù)a的值.

答案：a=2提示：由集合元素的特征列方程組而解.

※探究創(chuàng)新

10.(1)給定集合A、B,定義m^A,n^B}.若A={4,5,6},B={1,2,3},則集合人※^中的所

有元素之和為()

A.15B.14C.29D.-14

(2)設(shè)全集為U,集合A、8是。的子集，定義集合4、8的運(yùn)算：A*B={x|xG4,或xGB,且CB},則(A*3)*A

等于()

A.AB.BC.D.AUaB)

(3)已知集合A={X|X*2N且，neN,xGN*,XWIOO},試求出集合A的元素之和.

答案：(1)4XB={3,4,5,2,1),3+4+5+2+1=15.答案選A.

(2)先將4*B化簡即得A*B={x\xGAUB,且x￡AC8}=般.(ADB).

/.(A*B)*A={x\xe(4*B)UA,且xe(A*B)AA}={xkeAUB,且。(Afl8)}=B.

(3)S=(1+2+3+…+100)-(6+12+18+…+96)=5050—816=4234

第5講§1.2.1函數(shù)的概念

8

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)

應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.

0知識(shí)要點(diǎn)：

1.設(shè)A、8是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)X,在集合8中都有唯一確定

的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱/'：AfB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)(上"bio"),記作y=/(x),xeA.其中，x叫自變

量，x的取值范圍A叫作定義域(domain),與x的值對(duì)應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合{/(x)|xeA}叫值域(range).

2.設(shè)“、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a助,則：{x\a^x^b}=[a,b]叫閉區(qū)間;{x\a<x<b}=(a,b)叫開區(qū)間;

{x\a^x<b}=[a,b),{x[a<xW%}=(a,b],都叫辛開半閉區(qū)間.

符號(hào)：“8”讀“無窮大”；“一8”讀“負(fù)無窮大”；“+8”讀“正無窮大”.則

{%|x>a}=(a,+oo),{x\x>a}=[a,+oo),{x\x<b}=(-oo,^).{x|x4b}=(-oo,句,R=(-oo,+oo).

3.決定函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)定義域、對(duì)應(yīng)法則分別相同時(shí);函數(shù)才是同一函數(shù).

0例題精講：

【例1】求下列函數(shù)的定義域：(1)y=：~—1；(2Jr)-3.

k+2|-1VT^T-2

解：(1)由|x+2|—1。0,解得xw—1且xw—3,

所以原函數(shù)定義域?yàn)?-8,-3)U(—3,—1)U(—l,4-oo).

[x-3>0

(2)由，—,解得且不。9,

lj//rn-2wo

所以原函數(shù)定義域?yàn)閇3,9)U(9,+oo).

【例2】求下列函數(shù)的定義域與值域：(1))，=土士；(2)丫=一/+元+2.

5-4x

解：(1)要使函數(shù)有意義，則5-4XH0,解得XX*.所以原函數(shù)的定義域是{X|XN』}.

44

3x2l12x8lW-5)23323333

1=x1=x1北+聲~"0=一"所以值域?yàn)?i/

5-4x45-4x45-4x

1QQ

(2)y=-x2+x+2=-(x--)2+-.所以原函數(shù)的定義域是K，值域是(f0；

244

1—Y

【例3】已知函數(shù)/(——)=x.求：(1)/(2)的值；(2)”刈的表達(dá)式

1+x

解：(1)由=I-r=2,解得欠=一1上，所以/(2)=—1L

1+x33

(2)設(shè)71—y=f,解得x=1L—」t，所以/(t)=1L—」/，即/(x)=17—y.

1+x1+/1+f1+X

點(diǎn)評(píng)：此題解法中突出了換元法的思想.這類問題的函數(shù)式?jīng)]有直接給出，稱為抽象函數(shù)的研究，常常需要結(jié)合換元法、

特值代入、方程思想等.

2

【例4】已知函數(shù)/。)=上方,xeR.

1+/

⑴求f(x)+/§)的值；⑵計(jì)算：/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+/(I)+/(I)+/(i).

解：(1)由/(幻+〃1)=4+^-=三+1=|±^=1.

X1+尸-11+X1+廠1+廠

1+7

(2)原式=/(1)+(/(2)+〃；))+(/⑶+/(1))+(〃4)+心)=；+3=g

點(diǎn)評(píng)：對(duì)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，能使我們實(shí)施巧算.正確探索出前一問的結(jié)論，是解答后一問的關(guān)鍵.

第5練§1.2.1函數(shù)的概念

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

《新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修①精講精練》——精練月日：~:自評(píng)分痣9

I.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(~cl~.

A.>=1,y=—B.y=Vx-1JX+1,y=\Jx2-1

x

c.y=x,y=&D.y=|x|,y=(>/x)2

2.函數(shù)y=—的定義域?yàn)?D).

2x2-3x-2

A.(-oo,l]B.(-oo,2]C.D.(-<?,-；)

3.集合朋=卜卜2。42},N={y|04y42},給出下列四個(gè)圖形，其中能表示以M為定義域，N為值域的函數(shù)關(guān)系

的是(B).

4.下列四個(gè)圖象中，不是函數(shù)圖象的是(B).

5.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇-1,2),則/(x-1)的定義域?yàn)?C).

A.[-1,2)B.[0,-2)C.[0,-3)D.[-2,1)

6.已知/。)=犬+x+l,則“正)=；f[7(2)]=.3+V2,57

7.已知/(2犬+1)=/-2%,則/(3)=.-1

※能力提高

8.(1)求函數(shù)y=業(yè)二土的定義域；(2)求函數(shù)丫=生也的定義域與值域.

x-11—3x

12

答案：⑴(-oo,l)U(l,2]；(2)定義域｛x|x3｝,值域｛)，|"一：｝.

9.已知/*)=?+公+(?,/(0)=0,S.f(x+1)=/(x)4-x+1,試求/(五)的表達(dá)式.

答案：f(x)=-x2+-x

22

※探究創(chuàng)新

10.已知函數(shù)/*),g(x)同時(shí)滿足：g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)；/(-I)=-1,/(0)=0,/(I)=1,求g(O),g⑴,g(2)

的值.

解：令x=y得/“x)+g"y)=g(O).再令x=0,即得g(0)=0,1.若g(0)=0,令x=y=l時(shí)，得/⑴=0不合題意，

故g(O)=l；g(O)=g(l-l)=g⑴g⑴+⑴，即Jg?⑴+1，所以g(l)=O;那么

g(-l)=g(0-1)=g(O)g(l)+/(0)/(l)=0,g(l)=g[l-(-l)]=gO)g(-l)+/(1)/(-1)=-l.

第6講§1.2.2函數(shù)的表示法

0學(xué)習(xí)目標(biāo)：在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；通過具體實(shí)例,

10

了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；了解映射的概念.

0知識(shí)要點(diǎn)：

1.函數(shù)有三種表示方法：解析法(用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)：簡明，給自變量可求函數(shù)值)；

圖象法(用圖象表示兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì))；列表法(列出表格表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)

關(guān)系，優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值).

2.分段函數(shù)的表示法與意義(一個(gè)函數(shù)，不同范圍的x,對(duì)應(yīng)法則不同).

3.--般地，設(shè)4、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某--個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則/,使對(duì)于集合A中的任意?個(gè)元素x,在集合B

中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)了:4f8為從集合4到集合8的一個(gè)映射(mapping).記作“f8

判別一個(gè)對(duì)應(yīng)是否映射的關(guān)鍵：A中任意，B中唯一；對(duì)應(yīng)法則f

0例題精講：

【例1】如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長為x的小正D方形，然后

折成一個(gè)無蓋的盒子，寫出體積丫以x為自變量的函數(shù)式是,這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?

解：盒子的高為x,長、寬為a—2x,所以體積為V=x(a—2x)2.

又由…,解得x^

所以，體積V以X為自變量的函數(shù)式是丫=x(a—2x)2,定義域?yàn)閧x[O<x<?}.

【例2】已知於尸產(chǎn)+22求加))]的值.

x3+x-3xe(l,+8)

解：Oe(-oo,l),A/(0)=V2.XV蚯>1,T

.??1蚯尸(蚯)3+(蚯)-3=2+91，即以0)]=|.

【例3】畫出下列函數(shù)的圖象：

(1)y=|x-2|；(教材尸26練習(xí)題3)

(2)j=|x-11+12x+41.

fX_2x>2

解：(1)由絕對(duì)值的概念，有y=|x-2|=f'-.

[2-x,x<2

所以，函數(shù)y=|x-2|的圖象如右圖所示.\1：1/

3x+3,x>1\

(2)y=|x-11+12%+41=-x+5,-2<x<