第六章數(shù)列-第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求和

【數(shù)學(xué)精品】2013版?6年高考4年模擬》

第六章數(shù)列

第一節(jié)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及求知

第一部分六年高考題薈萃

2012年高考題

一、選擇題

1.12012高考市:慶理1】在等差數(shù)列｛4｝中，%=1，4=5則｛6,｝的前5項和S5=

A.7B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】因為。2=1，%=5，所以q+%=&+%=6，所以數(shù)列的前5項和

也*)=^”4=2x6=15,選B.

222

2.12012高考浙江理7】設(shè)S”是公差為d(d#0)的無窮等差數(shù)列｛an｝的前n項和，則下

列命題錯誤的是

A.若d<0,則數(shù)列｛Sn｝有最大項

B.若數(shù)列｛Sn｝有最大項，則d<0

C.若數(shù)列｛Sn｝是遞增數(shù)列，則對任意〃eN*,均有S,>0

D.若對任意〃eN*,均有S“>0,則數(shù)列｛Sn｝是遞增數(shù)列

【答案】C

【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：一1,0,1,2,3,….滿足數(shù)列｛S,,｝是遞增數(shù)列,

但是S.>0不成立.故選C。

3.12012高考新課標(biāo)理51已知｛4｝為等比數(shù)列，4+%=2,=-8，則q+a10=

()

Q)7(5)5(C)-5(￡>)-7

【答案】D

【解析】因為｛凡｝為等比數(shù)列，所以生4=4%=-8，又4+%=2，所以

a4=4,%=-2或。4=-2,%=4.若％=4,a7=—2,解得力=-8,tz10=1,

%+。10=-7；若。4=-2,%=4,解得。]0=-8,al=1,仍有為+qo=-7，綜上

選D.

|H兀

4.[20121局考上海理18】設(shè)%=-sin—，S=/+2+…+?！ǎ赟1,S2,…，S]。。中，

n25

正數(shù)的個數(shù)是()

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析】當(dāng)1W〃W24時，an>0,當(dāng)26<〃W49時，<0,但其絕對值要小于1<〃<

24時相應(yīng)的值，當(dāng)51W〃W74時，an>0,當(dāng)76W/W99時，an<0,但其絕對值要小于

51W/W74時相應(yīng)的值，.?.當(dāng)lW〃<100時，均有邑>0。

【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和間接法解題.解決此類問題主要找到規(guī)律，

從題目出發(fā)可以看出來相鄰的14項的和為0,這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題

的能力.

5.12012高考遼寧理6】在等差數(shù)列考“｝中,已知色+。8=16,則該數(shù)列前11項和&尸

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

【解析】在等差數(shù)列中，???q+q,=%+4=]6,：.%=llx(：+a")=88,答案為B

【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及其前n項和公式，同時考查運算求解能

力，屬于中檔題。解答時利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準(zhǔn)確。

6.12012高考福建理.2】等差數(shù)列｛a。｝中，ai+as=10,a4=7,則數(shù)列｛%｝的公差為

A.lB.2C.3D.4

【答案】B.

考點：等差數(shù)列的定義。

難度：易。

分析：本題考查的知識點為等差數(shù)列的通項公式4=1+(〃-1)4。

【解析】法1：由等差中項的性質(zhì)知。3=&詈=5,又?.?%=7,，4=4-。3=2.故選

B.

2al+4d=10

法2：=>d=2

a1+3d=7

712012高考安徽理4】公比為次等比數(shù)列｛a,,｝的各項都是正數(shù)，且。3即=16,則Iog2q6=

()

(A)4(6)5(C)6(0)7

【答案】B

【解析]=16=。；=16=%=4=>。|6=%x/=32=log2。坨=5.

I

8.(2012高考全國卷理.5】已知等差數(shù)列｛a。｝的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列

的前100項和為

1009999101

(A)——(B)——(C)-----(D)-----

101101100100

【答案】A

【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前〃項和的公式的運用，以及裂項求和

的綜合運用，通過已知中兩項，得到公差與首項，得到數(shù)列的通項公式，并進一步裂項求和。

【解析】由。5=5,$5=15,得q=1,4=1,所以4,=1+(〃-1)=〃，所以

1111

又

a?an+\?(?+1)〃〃+1

11111]_J____1____1_100

--------P???----------=----------P-++1選

--而一而A.

a\a2-------a\Maw\1223TooToT

二、填空題

9.12012高考浙江理13】設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列｛a0｝的前n項和為Sn?若S2=3a2+2,

S4=3a4+2,貝ijq=。

【答案】-

2

【解析】將S2=3%+2,S4=3%+2兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用6,q表示的式子.

即『+%=3"+2,兩式作差得：卬/+44=3的(/_1),即：2q2_q_3=0,

[41+49+49-+?！?3at<j+2

解之得：q=|■或g=-1(舍去).

10.[2012高考新課標(biāo)理16]數(shù)列｛。,,｝滿足4.+(-1,則｛%｝的前60項和

為_______

【答案】1830

【解析】由％=2〃一1得，

%+2=(一1)"4㈤+2〃+1=(-1)"[(一1)"-%“+2〃一1]+2〃+1

=-4+(-1)”(2〃-1)+2〃+1,

即4+2+4"=(一1)"(2〃-1)+2〃+1,也有%+3+%+|=-(-1)"(2〃+1)+2〃+3,兩式相

加得4+%+1+4*2+%+3=一2(-1)"+4〃+4,設(shè)左為整數(shù)，

則。4欠+1+。4*+2+"*+3+。4?+4=-2(-1嚴(yán)1+4(4%+1)+4=16%+10,

1414

于是Sg=￡(。軟+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)=Z(16k+'10)=1830

K=0K=0

11.(2012高考遼寧理14]已知等比數(shù)列｛恁｝為遞增數(shù)列，且片=60,2(%+q+2)=5??+1,

則數(shù)列｛?！埃耐椆?。“=。

【答案】20

【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及方程思想，是簡單題.

【解析】；a；—。|(),二(qq)~=qq??-4=q,：.a“=q,

2

2(a“+an+2)=5<7n+1,/.2an(l+q)=5a“q,:.2(1+/)=5q,解得q=2或g=g(舍去)，；.an-2"

【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。

12.12012高考江西理12]設(shè)數(shù)列h巾｛%｝都是等差數(shù)列，若卬+々=7,%+4=21，

則％+=o

【答案】35

【命題立意】本題考查等差數(shù)列的概念和運算。考查等差中項的性質(zhì)及整體代換的數(shù)學(xué)思想

【解析】(解法一)因為數(shù)列｛/｝,｛〃｝都是等差數(shù)列，所以數(shù)列｛勺+〃｝也是等差數(shù)列.

故由等差中項的性質(zhì)，得(見+4)+(4+“)=2(弓+63)，即M+4)+7=2X21,解得

%+々=35.

(解法二)設(shè)數(shù)列｛凡｝，仙，7｝的公差分別為&,4.

因為%+4=(4+2d[)+(4+2d1)=(<71+/?])+2(4+4)=7+2(4+d))—21,

所以4+d>=7.所以%+&=(。3+4)+2(4+d])—35.

【點評】對于等差數(shù)列的計算問題，要注意掌握基本量法這一通法，同時要注意合理使用等

差數(shù)列的性質(zhì)進行巧解.體現(xiàn)考綱中要求理解等差數(shù)列的概念.來年需要等差數(shù)列的通項公

式，前〃項和，等差中項的性質(zhì)等.

13.[2012高考北京理10]已知｛q｝等差數(shù)列S”為其前n項和。若4=；，S2=%，則

02=_________

2

【答案】a2=\,S=-n+-n

"44

［解析】因為=/n4+〃3nq+4+"=卬+2"=>"=q=g

所以。2=。1+1=1，S“=〃％+〃(〃-l)d=+；〃。

2

14.12012高考廣東理11】已知遞增的等差數(shù)列｛aj滿足a「l,o3=a2-4,貝Uar.

【答案】2〃一1

【解析】由%=出？一4得到1+2d=(1+HA-4,即/=4,應(yīng)為｛an｝是遞增的等差數(shù)列,

所以d=2,故4=2〃-1。

三、解答題

15【2012高考江蘇20](16分)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列｛《,｝和也,｝滿足:

nwN*,

b(h\

(1)設(shè)勿M=1+=，〃eN*,求證：數(shù)列組卜是等差數(shù)列；

a“

L

(2)設(shè)6用=收?口，nwN*,且｛a,,｝是等比數(shù)列，求q和乙的值.

數(shù)列2是以1為公差的等差數(shù)列。

(2)b?>0,4(2+“<(/+初2。

+b”<V2o

1<a,=.-*)

n+'際1

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，由%＞0知夕＞0,下面用反證法證明夕=1

6

若夕＞1,則。]=未＜02K后，，當(dāng)曾＞log。一時，/+1=。1夕”＞0，與（*）矛盾。

q%

n

若0〈夕vl，則可=">。2>1，,當(dāng)〃>logg,時，an+l=axq<1,與(*)矛

qq

盾。

J綜上所述，(7=1O；?冊=%(〃￡%*),/.1<^1<V2O

又???d+1=行?4="?d(〃￡N*),???{bn}是公比是亞的等比數(shù)列。

ana\a\

若q片0,則也＞1,于是b]＜b2Vb3。

a\

—a\2《2-佻~

乂由an+\即可=,得a=

”4?！敢?/p>

7^77?^?1

；.如br&中至少有兩項相同，與“v62Vb3矛盾。。1=3。

/.q=b2=C。

【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。

而證明如■-%=1而得證。

\?！?17\an）

(2)根據(jù)基本不等式得到1<a”」=-卜：k<6,用反證法證明等比數(shù)列｛/｝

A2+V

的公比夕=1。

從而得到％=。](〃eN*)的結(jié)論，再山瓦+i=&?%=立?%知｛h?｝是公比是—的等比

%a\a\

數(shù)列。最后用反證法求出生飛=6。

16.[2012高考湖北理18](本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列｛4｝前三項的和為-3,前三項的積為8.

(I)求等差數(shù)列｛4｝的通項公式；

(II)若外,為，q成等比數(shù)列，求數(shù)列｛Ia?1｝的前n項和.

【答案】(I)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則g=q+d,%=卬+21，

+3d=—3,,_/口】二或q=-4.

由題意得1，解得

ax(%+d)(a]+2d)=8.d=3.

所以由等差數(shù)列通項公式可得

an=2—3(/?-1)=—3n+5,或％=—4+3(〃-1)=3〃—7.

故an--3〃+5,或?！?3〃-7.

(II)當(dāng)%=-3〃+5時，%，%，卬分別為T，-4,2,不成等比數(shù)列；

當(dāng)q=3〃-7時，%，%，%分別為-1，2,-4,成等比數(shù)列，滿足條件.

一3勿+7,A?=1,2,

故14,1=13"-7|=

3〃-7,w>3.

記數(shù)歹U{[4|}的前〃項和為S「

當(dāng)”=1時,B=|q|=4；當(dāng)〃=2時，S2=|q|+|.l=5；

當(dāng)心3時，

Sn=S2+|%I+1%I+…+14I=5+(3x3-7)+(3x4—7)+…+(3〃—7)

.("—2)[2+(3〃-7)[3211[八>1/ru■+'1?-a.LL-P-

=5+--------——---------=-nz——〃+10.當(dāng)〃=2時，滿足此式.

222

4,H=1,

綜上，<311

-n2-----n+10,n>\.

122

17.(2012高考廣東理19](本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列｛a0｝的前n項和為Sn,滿足2S”=%+1-2川+1,nGN?，且a”a2+5,a?成等差數(shù)列.

(1)求處的值；

(2)求數(shù)列｛an｝的通項公式.

1113

(3)證明：對一切正整數(shù)n,W—+—+

?1?2%2

【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式，不等式證明問題，考查了學(xué)生的運算求解

能力與推理論證能力，難度一般.

n+,+2n+,

【解析】(1)2Sn=an+i-2+1,2S?+1=a?+2-2"+1相減得：a?+2=3??+1+2

2S1=4-3=%=2q+3,%=3%+4=6%+13

q,%+5M3成等差數(shù)列<=>4+q=2(%+5)<=>q=1

(2)q=1,叼=5得a”/=3。“+2”對V〃eN*均成立

+l

%=3a“+2"oan+l+2"=3(a?+2")

得

a”+2"=3(%+)=32(%_2+2"2)=…=3,,_|(q+2)o=3"-2"

13

(3)當(dāng)”=1時，一=1〈一

a}2

(1)">(|)2>2o3"〉2x2"=4>2"=L/

當(dāng)"22時,

111,113

—+—+??-+—<1+—H---r+???-!----=1-1----------<—

由上式得：對?切正整數(shù)〃，有,+工+…+’<3。

qaia?2

18.[2012高考陜西理17](本小題滿分12分)

設(shè)｛a,,｝的公比不為1的等比數(shù)列，其前〃項和為S,，且出成等差數(shù)列。

(1)求數(shù)列｛%｝的公比；

(2)證明：對任意keN+,Sk+2,Sk,Sk+i成等差數(shù)列o

【解析】⑴設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為q(q*0,qHl)。

由4，-(成等差數(shù)列，得2a3=%+%，即2aa?=q,+q/。

由qwO,qH0得g?+q-2=0,解得％=-2,q2-1(舍去)，所以q=-2。

(2)證法一：對任意左eN+，(IbyIfx)

ak+]+4+2+4+1

=24+|+4“(-2)=0,

所以，對任意左eN+，Sk+2,Sk,成等差數(shù)列。

證法二：對任意比eN+，2Sk

i—q

4（1-相?）（1-尸）_a\（2-q八~-屋+i）

SA+2+S4+]I=

l-q1一夕i-q

2……)=坐上讓「I

\-q\-q

=言以1一力一(2一產(chǎn)_/叫

=^-(/+q-2)=0,

\-q、/

因此，對任意kwN+，S?+2，SQIT成等差數(shù)列。

19.12012高考重慶理21](本小題滿分12分，(D小問5分,(H)小問7分.)

設(shè)數(shù)列|%|的前〃項和S,滿足S,,+|=%S,,+q,其中。2WO.

(I)求證：|勺|是首項為1的等比數(shù)列；

(II)若%>-1，求證：Sn<-(at+a2),并給出等號成立的充要條件.

【答案】(1)證明:由52=451+。]，得q+%=q%+4，即。2=。2。1。

因o,=0,故4=1,得&=%，

a\

又由題設(shè)條件知Sn+2=a2s.+I+q，S“+[=a2Sn+a,

兩式相減得S,*2—S,,M=%（S.M-s”），即a?+2=%，

11

山%w0,知q+]w0,因此%=a2

an+l

綜上，吐=%對所有〃eN*成立，從而｛%｝是首項為1,公比為々的等比數(shù)歹U。

4+i

(2)當(dāng)〃=1或2時，顯然S〃==(q+凡)，等號成立。

設(shè)〃23,%>一1且由(1)知，.=1，a“=a/，所以要證的不等式化

為：

1+%+%?+…+%"一|?5(1+以一')(〃23)

即證：l+t/z+az?'!---F/"4—-—+

當(dāng)4=1時，上面不等式的等號成立。

當(dāng)一1<%<1時，%‘T與々"'T，（r=L2,3,…，〃-1）同為負(fù);

當(dāng)。2>1時,%'-1與。2--1，（廠=1,2,3,…，〃-1）同為正；

因此當(dāng)生〉T且外力1時，總有（叫"T）（ai~r-1）>0,即

%'+a,"'<1+a,",（r=1,2,3,…，〃-1）。

2-1

上面不等式對r從1到〃一1求和得，2（a2+a2+-??+a/'）<（?-1）（1+a；）

Yl

綜上，當(dāng)%>T且%/0時，有5“4/（q+/），當(dāng)且僅當(dāng)〃=1,2或々=1時等號成立。

20.[2012高考江西理16]（本小題滿分12分）

1,

2

已知數(shù)列㈤｝的前n項和S“=一一n+kn,左eN*,且Sn的最大值為8.

2

（1）確定常數(shù)k,求a*

9-2（7

（2）求數(shù)列｛-2〃〃｝的前n項和Tno

【答案】解：（1）當(dāng)〃=攵eN*時，S“=—I/+加取最大值，即8=一1/+爐=,左2,

"222

979

故攵=4,從而%=S〃—S〃_]=5—〃522）,又q=S]=5,所以為=1—〃

,、e-9-2a?n,23w-1n

（1）因為.=2"=k，4=4+a+…+2=1+5+^+…+^r+廣

IIri1n"+2

所以（,=27；=2+1+5+…+產(chǎn)—產(chǎn)=4—產(chǎn)一干=4-

【點評】本題考查數(shù)列的通項，遞推、錯位相減法求和以及二次函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用.利

用。,,=：來實現(xiàn)%與S“的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問題比較常見的技巧之一，要注意

0〃-S“T

%=S“_S,_|不能用來求解首項q,首項q一般通過4=5,來求解.運用錯位相減法求數(shù)列

的前〃項和適用的情況：當(dāng)數(shù)列通項由兩項的乘積組成，其中一項是等差數(shù)列、另一項是

等比數(shù)列.

21.[2012高考湖南理19]（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛a〃｝的各項均為正數(shù)，記A(/?)=&+改+...+&,B(z?)=a2+a+.......+&“，C(.ri')

=&+&+.......+a,”2,//-I,2???????

(1)若d=1,a?=5,且對任意〃GN*,三個數(shù)1"),8"),C(/?)組成等差數(shù)列，

求數(shù)列｛a,｝的通項公式.

(2)證明：數(shù)列｛a｝是公比為g的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意〃eN*,三個

數(shù)/(〃)，B(/?),C(n)組成公比為0的等比數(shù)列.

【答案】解(1)對任意〃eN*,三個數(shù)Z(〃),8(〃),C(〃)是等差數(shù)列，所以

B(n)-A(n)=C(ri)-B｛ri),

即。”+1=4+2,亦即4+2一勺7=4一卬=4

故數(shù)列｛q｝是首項為1，公差為4的等差數(shù)歹U.于是為=1+(“-1)x4=4〃—3.

(II)(1)必要性：若數(shù)列｛q｝是公比為g的等比數(shù)列，則對任意〃eN*,有

an-\~anq-由?！保尽Ｖ?，Z(〃),3("),C(〃)均大于0,于是

B(n)_a2+a3+...+an+l_q(q+%+…+4)_

―77_7===q,

A(n)q+%+―+%。]+%+???+?！?/p>

C(n)_a3+a4+...+an+2_q(a2+a3+...+an+))_

z~，===q，

B[n｝%+。3+…+an+\%+。3+,??+an+\

即駟=①D=q,所以三個數(shù)/(〃),8(〃),C(〃)組成公比為q的等比數(shù)列.

A(n)B(n)

(2)充分性：若對于任意〃EN*,三個數(shù)力(〃),8(〃),。(〃)組成公比為9的等比數(shù)列，

則

B(n)=qA(ri).C(ri)=qB(n),

于是。(是-B(n)=q[B(n)-4(〃)],得an+2-a2=式％-q),即

由"=1有5(1)=/4(1),即a2=q%,從而an+2-qan+]=0.

因為?！啊?,所以吐="=q,故數(shù)列｛%｝是首項為q,公比為q的等比數(shù)列，

%?i

綜上所述，數(shù)列｛?！埃枪葹閝的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意nEN*,三個數(shù)

“(〃),3(〃),。(〃)組成公比為4的等比數(shù)列.

［點評］本題考杳等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列

定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.

22.【2012高考山東理20】本小題滿分12分)

在等差數(shù)列｛凡｝中，/+4+%=84,4=73.

(I)求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

m2m

(II)對任意meN*,將數(shù)列｛凡｝中落入?yún)^(qū)間(9,9)內(nèi)的項的個數(shù)記為hm,求數(shù)列

也｝的前加項和S“,.

【答案】解：(I)因為｛q｝是一個等差數(shù)列，

所以。3+。4+=3。4=84，即。4=28.

所以，數(shù)列｛q｝的公差4令=飛至=9，

所以,a?=%+(〃-4)d=28+9(〃-4)=9〃-8(〃wN")

(II)對唐eN*,若9m<a?<92m,

則9"'+8<9〃<92'"+8,因此9m-'+1<w<92m-',

2mm

故得bm=9-'-9(lbylfx)

于是S,“=白+8+仇+…+b,“

=(9+93+95+...+92m-1)-(l+9+92+...+9m-1)

_9x(l-81m)i-9m

=-1^811-9

.92，”+I-iox9"'+l

一80

2011年高考題

一、選擇題

1.(天津理4)已知｛""｝為等差數(shù)列，其公差為-2,且%是%與%的等比中項，S“為

｛""｝的前〃項和，葭wN*，則Co的值為

A.-110B.-90

C.90D.110

【答案】D

2.(四川理8)數(shù)列｛""｝的首項為3,2"｝為等差數(shù)列且“=%+1一%(〃€~*).若則

仇=-2,狐=12,則％=

A.0B.3C.8D.11

【答案】B

［解析］由已知知〃，=2〃—8M“M-4=2〃-8,由疊加法

（%—Q］）+（%—生）+…+（4—%）=—6H—4H—2+0+2+4+6=0q=卬-3

3.（全國大綱理4）設(shè)J為等差數(shù)列｛吟的前〃項和，若4=L公差"=2,S*+2-1=24,

則左=

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

4.（江西理5）已知數(shù)列｛"〃｝的前n項和J滿足：S,,+S,“=S,+m,且％=］.那么須=

A.1B.9C.10D.55

【答案】A

二、填空題

5.（湖南理⑵設(shè)S”是等差數(shù)列仞”｝（〃€“），的前〃項和，且％=1q=7,

則$9=

【答案】25

6.（重慶理11）在等差數(shù)列｛《J中，%+%=37,則為+%+/+4=

【答案】74

1.（北京理11）在等比數(shù)列｛an｝中，al=2,a4=-4,則公比q=；

同+同+...+|%|=。_2

2"-1--

【答案】2

8.（廣東理11）等差數(shù)列的」前9項的和等于前4項的和.若e=1，4+4=°,則

k=.

【答案】10

9.（江蘇］3）設(shè)1＜卬4…Wa7,其中qM3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6

成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是

【答案】退

三、解答題

10.（江蘇20）設(shè)M部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列｛%｝的首項4=1,前n項和為S，，，

已知對任意整數(shù)kGM,當(dāng)整數(shù)〃>%時，S“+*+S“_*=2（5“+S*）都成立

（1）設(shè)〃={1}，%=2,求出的值；

（2）設(shè)/=3,4},求數(shù)列{a,,}的通項公式

本小題考查數(shù)列的通項與前”項和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考杳考生分析

探究及邏輯推理的能力，滿分16分。

解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)〃N2時,S,+i_S”_|=2（S.+S|）,

即（S〃+i-S“）一（S〃一S"T）=2S],

從而“"+i-a?=2q=2,又4=2,故當(dāng)〃N2時,a”=4+2（〃-2）=2〃-2.

所以生的值為8。

（2）由題設(shè)知，當(dāng)“河={3,4},月，>4時，Sn+k+S時卜=2sti+2Sk

且S"+1+A+S“+1_*=2Sn+i+2Sk

兩式相減得%+i+%+%+i=2an+1,gPa?+1+*-an+l_k=an+l-an+l_k

所以當(dāng)〃28時，a〃_6，。“-3，①，4+3，％+6成等差數(shù)列，且a?-6，?！ㄒ?，。〃+2，％+6也成等差數(shù)

列

從而當(dāng)〃28時，2%=a“+3+4T=%+6+%-6?（*）

且%+6+4-6=%+2+4-2，所以當(dāng)8時,2a=a+a_

nn+2n2f

aaa

即。"+2n~n~n-2于無T〃29時,<7,;+],<7,J+3成等差數(shù)列，

aa

從而J+*=?+l+n-\（

故由（*）式知2。"=。"+1+%，即。"+1-an=an-an-\-

當(dāng)〃29時，設(shè)/=%一%+「

當(dāng)2W加S8時,加+628,從而由（*）式知2限=4+%用2

故2am+7~am+\+《"+13?

從而2（%+7一限）=q”+i一%,+（4+13一金+12）,于是%+1-am=2d-d=d.

因此，%-4=d對任意w>2都成立,又由S,,+*+Sn_k-2s*=2S*（左e{3,4}）可

知（Sn+t-S,,）-（Sn-S?_k）=2Sk,故9d=2s3且16d=254

7_3d_

a4=/d,從而4=~d,a]

解得2

因此,數(shù)列何｝為等差數(shù)列，由4=1知"=2.

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為%=2〃-1-

11.(北京理20)

若數(shù)列'"=…,％522)滿足|。"+1一力=1(%=1,2,...,〃一1),數(shù)歹|JAn為E數(shù)列,

記S(Z“)=%+%+???+%

(I)寫出一個滿足q=4=°,且s(4)〉0的E數(shù)列4；

(H)若q=12,n=2000,證明：E數(shù)列4是遞增數(shù)列的充要條件是“”=2011：

(III)對任意給定的整數(shù)n(n>2),是否存在首項為0的E數(shù)列A”,使得'(4)=()?

如果存在，寫出一個滿足條件的E數(shù)列如果不存在，說明理由。

解：(I)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。

(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E的數(shù)列A5)

(II)必要性：因為E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，

所以%+1-%=16=1，2,…,1999)

所以A5是首項為12,公差為1的等差數(shù)列.

所以a2000=12+(2000—1)x1=2011.

充分性，由于a2000—alOOOWl,

a2000—al000<l

a2—a1W1

所以a2000—aW19999,即a2000Wal+1999.

又因為因=12,a2000=2011,

所以a2000=al+1999.

故%+i-/=1>°（攵=12…,1999）,即從是遞增數(shù)列

綜上，結(jié)論得證。

（in）令q=%+1—%=1>。（后=12…，〃—1）,則=士L

因為。2=%+。]+%=%+5+。2

%=q+C|+C2+-.+C“M，

所以S(4)=〃q+(〃-l)G+(?-2)C24-(/7-3)C3+…+%

=嗎1)_[(1-G)(〃-1)+(1一。2)(〃-2)+…+(1-c?_,)].

因為c*=±1,所以1一q.為偶數(shù)(％=1,…,〃T).

所以*1-G)(〃T)+(1-GX/一2)+…+(1—c“)為偶數(shù),

5(4,)=0,必須使〃(“-1)

所以要使2為偶數(shù)，

即4整除〃(〃-1)，亦即"=4加或〃=4m+l(meN*)

當(dāng)〃=4加+1(加eN*)時,E數(shù)列4,的項滿足。軟+1=a4k-i=。，。4==T%*=1

(左=1,2,…,加)時，有=0,S(4,)=0；

a4k=1(%=1,2,...,加),。"+1=0時,有。1=0,S(4,)=0;

當(dāng)〃=癡+1(/MeN*)時，礴列4,的項滿足，*=a37=0,%*一2=T，

當(dāng)〃=4加+2或〃=4加+3(加eN)時,〃(加-1)不能被4整除，此時不存在E數(shù)列An)

使得a,=°5s(4,)=0?

12.(廣東理20)

〃她t/、小

(?an=--------———(〃>2)

設(shè)b>0,數(shù)列i"/滿足al=b,a,i+2"-2

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

6〃+i

an4^7T+1?

(2)證明：對于一切正整數(shù)n,2

解：

A、C上I〃她一1、八“12/7-1

a、=b>0,知a“=---------------->0,—=—I----------.

⑴由％+2〃-2anbb%

4=一，4=7

12

2時,Z,=-+-<,

當(dāng)bh

122n'22〃T,

=---1---7+…H------d------A,

bb2bn-1b"-'1

122"~22'i

=---1----+???d--------I------

bb2b'7bn

①當(dāng)時，

,)b"-T

A=----------------=-------------

".2b"(b-2)

h

yi

6=2時，4=-.

②當(dāng)2

a”=jb-2"

[2,b=2

nb"(b-2)^bn+'1,只需證加w(|^+i)F|l

(2)當(dāng)6.2時，(欲證"b"-T-2川ZD—L)

hn_?w

(2〃+i+狀)---------=(2w+,+bn+l)S〃T+2bn:+…+2"T)

=2n+1b"~'+2"+2h"-2+---+22"+b2n+2Z)2"-1+???+2"-'b""

=2.(2+*…++)

bb2b"2"2"i2

>2"6"(2+2+…+2)=2〃?2"b"=n-2n+]b"

〃”-z〈2+L

b--n-rc+1

A,,+l

b=2時,。“=2=—-+1.

當(dāng)n2n+1

】?

綜上所述“2”M+

13.(湖北理19)

已知數(shù)列｛“"｝的前〃項和為S",且滿足：口=。(。*0),a“+i=rS，(〃eN*,

rGR,rw-1)

(I)求數(shù)列｛"”｝的通項公式；

(H)若存在左GN*,使得&+I,Sk,&+2成等差數(shù)列，是判斷：對于任意的加CN*,

且飆+1,a,”,呢+2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般

的思想。(滿分13分)

解：(I)由已知/+1=4,,可得/+2=rS"+1,兩式相減可得

4+2-勺+1=-S.+]-S.)=ran+i,

即為+2=。+1)%+1，

又4=9=陽，所以r=0時，

數(shù)列｛“〃｝為：a,0,…，0,,??；

當(dāng)廠片0,尸力一1時，由已知。所以％力0(〃eN*),

S=r+l(〃eN*)

于是由%+2=(r+l)4+i，可得?！?|,

‘a(chǎn)2M3,…，%+…成等比數(shù)列,

-2

.,.當(dāng)n22時an=r(r+1)"a.

%〃=1，

a=\

綜上，數(shù)列缶"｝的通項公式為“nHr+1)w2a,n>2

(II)對于任意的〃?eN*,且加22MBi+”4,4+2成等差數(shù)列，證明如下：

a,n=1,

am=s

當(dāng)r=0時，由(I)知，10,“22

二對于任意的mwN*,且加22,為+|,冊,%+2成等差數(shù)列，

當(dāng)roO,尸片-1時，

***S&+2=Sk+%+1+ak+2^k+\+4+1?

若存在kwN*,使得,Sk+2成等差數(shù)列,

則S+i+Sk+z~2Sk,

'?2sM+2%i+4+2=2sq,即％2=-24+],

由⑴知，/，/，…，金，…的公比尸+1=-2,于是

對于任意的加$N*,且a22,金+i=-,從iTiJain+2=4q〃,

?二a〃用+冊+2=2am，即品+i，4“金+2成等差數(shù)列，

綜上，對于任意的機eN*,且根22,%用,％,%,+2成等差數(shù)列。

14.（遼寧理17）

已知等差數(shù)列｛an｝滿足a2=0,a6+a8=-10

（I）求數(shù)列｛an｝的通項公式；

（II）求數(shù)列｛H含J｝的前n項和.

解：

q+d=0,

<

（I）設(shè)等差數(shù)列｛"J的公差為d,由已知條件可得12%+12"=-10,

4=1,

jd--1

解得I"L

故數(shù)列S"｝的通項公式為鞏=2-〃............5分

（ID設(shè)數(shù)列串｝的前〃項和為s”，即S，=4+彳…+畀故$=1

a?

2242"

所以，當(dāng)"〉1時,

,1112-〃、

=1-（一+—+…+—：-------）

242"-12"

=1-（1--

2n~'2"

n

~T'

15.(全國大綱理20)

設(shè)數(shù)列{"/滿足勾=°且1—“網(wǎng)1一""

(I)求'J的通項公式；

4=-,記S"=力".，證明：s”<1.

(II)設(shè)7〃k=l

解：

(I)由題設(shè)1一%+11一%

{J}

即1—凡是公差為1的等差數(shù)列。