第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 尖子生培優(yōu)卷 - 2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)尖子生培優(yōu)卷一、單選題。本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意。1．已知函數(shù)，，設(shè)為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．3．設(shè)函數(shù)，有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．，若存在互不相等的實(shí)數(shù)，，，使得，則下列結(jié)論中正確的為（）①；②，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；③函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn).A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A． B． C． D．.6．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若，，，互不相等，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題。本大題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有兩項(xiàng)或以上符合題意。9．已知函數(shù)，若，則（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，，若，則（）A．B．C．D．11．已知互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c都大于1，且滿足，則a，b，c的大小關(guān)系可能是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則（）A．對(duì)任意的，函數(shù)都有零點(diǎn).B．當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有成立.C．當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.D．當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.三、填空題。本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．14．已知函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，都滿足不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15．設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)?，使在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.16．已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都存在唯一的，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．四、解答題。本大題共6小題，共70分，解答過程必修有必要的文字說明，公式和解題過程。17．1.某科研機(jī)構(gòu)為了研究某種藥物對(duì)某種疾病的治療效果，準(zhǔn)備利用小白鼠進(jìn)行科學(xué)試驗(yàn)．研究發(fā)現(xiàn)，藥物在血液內(nèi)的濃度與時(shí)間的關(guān)系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式給藥，則在注射后的4小時(shí)內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）滿足關(guān)系式（，a為常數(shù)）；若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度（單位：毫克/升）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）滿足關(guān)系式現(xiàn)對(duì)小白鼠同時(shí)進(jìn)行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾．假設(shè)同時(shí)使用兩種方式給藥后，小白鼠血液中藥物的濃度等于單獨(dú)使用每種方式給藥的濃度之和．（1）若，求4小時(shí)內(nèi)，該小白鼠何時(shí)血液中藥物的濃度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用藥后4小時(shí)內(nèi)血液中的藥物濃度都不低于4毫克/升，求正數(shù)a的取值范圍．18．設(shè)非空實(shí)數(shù)集中存在最大元素和最小元素，記.（1）已知，，且，求實(shí)數(shù).（2）設(shè)，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出所有滿足條件的實(shí)數(shù)，若不存在說明理由.（3）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上值域記為，若對(duì)任意，函數(shù)都滿足，求的取值范圍.19．對(duì)于定義在D上的函數(shù)，若對(duì)任意，不等式對(duì)一切恒成立，則稱函數(shù)是“A控制函數(shù)”．（1）當(dāng)，判斷、是否是“A控制函數(shù)"；（2）當(dāng)，，，若函數(shù)是“A控制函數(shù)”，求正數(shù)m的取值范圍；（3）當(dāng)，，D為整數(shù)集，若函數(shù)是“A控制函數(shù)”且均為常值函數(shù)，求所有符合條件的t的值．20．已知函數(shù)．（1）在內(nèi)，求函數(shù)的值域；（2）不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．已知二次函數(shù)滿足對(duì)任意，都有；；的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為.（1）求的解析式；（2）記，（i）若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（ii）記的最小值為，若方程有兩個(gè)不等的根，求的取值范圍.22．如果函數(shù)滿足在集合上的值域仍是集合，則把函數(shù)稱為函數(shù)．例如：就是函數(shù)．（1）下列函數(shù)：①，②，③中，哪些是函數(shù)（只需寫出判斷結(jié)果）？（2）判斷函數(shù)是否為函數(shù)，并證明你的結(jié)論．（3）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)都不是函數(shù)．（注：“”表示不超過x的最大整數(shù)）參考答案1．C【解析】當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，的值域?yàn)樗缘闹涤蛴洖槿舸嬖趯?shí)數(shù)，使，即，即,解得的取值范圍為故答案為：C2．B【解析】令，，所以為奇函數(shù)，不等式，等價(jià)于，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)榫鶠闇p函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，為減函數(shù)，則，解得：故選：B3．A【解析】由分段函數(shù)知：時(shí)且遞減；時(shí)且遞增；時(shí)，且遞減；時(shí)，且遞增；∴的圖象如下：有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，且，由圖知：時(shí)有四個(gè)實(shí)數(shù)根，且，又，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：，可得，∴令，且，由在上單增，可知，所以故選：A4．D【解析】解：函數(shù)的圖像如圖：，即直線與函數(shù)圖像有4個(gè)交點(diǎn)，故，①正確；，不妨設(shè)，則必有，，，則，且，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，②正確；函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，研究與是否相切即可，，令，則，則切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為，即，所以與圖像相切，此時(shí)函數(shù)與的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋屎瘮?shù)與的圖像恒有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，③正確.故選：D.5．D【解析】題設(shè)不等式化為，即，，，易知是減函數(shù)，時(shí)，，所以由不等式上恒成立得.故選：D.6．D【解析】解：當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)該方程在時(shí)無實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，有一個(gè)解，所以時(shí)，有一個(gè)解，即二次函數(shù)在時(shí)有1個(gè)解，且設(shè)為，則，而對(duì)稱軸為，由于，所以，即在對(duì)稱軸左側(cè)，且二次函數(shù)開口向上，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)是遞減的，所以當(dāng)時(shí)，，解得：，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)有一個(gè)解，所以成立；②當(dāng)時(shí)，在時(shí)無解，而在時(shí)有兩個(gè)解，所以時(shí)成立；③當(dāng)時(shí)，在時(shí)無解，當(dāng)時(shí)，，所以方程要在時(shí)有兩個(gè)解，所以，解得或，因?yàn)?，所以，設(shè)方程的兩個(gè)解分別為，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7．C【解析】由圖象知：在、上是減函數(shù)，在、上是增函數(shù)，且，.，，，互不相等，且，不妨設(shè)，則，由，得，，即，又，得，，令，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增，∴，故選：.8．A【解析】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，且上遞增，上遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，且，綜上可得，如下函數(shù)圖象：∴要使有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則，由圖知：有，當(dāng)時(shí)令，則，有，，∴且，而在上遞減，∴.故選：A9．AC【解析】A選項(xiàng)：成立，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由，故在上單調(diào)遞增，假設(shè)，則，故，即，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，又，由基本不等式可知，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，原式，即成立，當(dāng)時(shí)，原式，即，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.10．AC【解析】解：對(duì)選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：由題意，因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，所以，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，所以由凹凸性有，又，所以由凹凸性有，所以有，即，即，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.11．AB【解析】由已知，，即．則關(guān)于x的方程有正實(shí)根，所以．因?yàn)椋瑒t，所以．設(shè)，則二次函數(shù)的關(guān)于直線對(duì)稱，且，．若是的一個(gè)較小零點(diǎn)，則，即；若是的一個(gè)較大零點(diǎn)，則，即.故選：AB．12．AC【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，令，由得或，作出函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解；方程有兩個(gè)解；所以方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故C正確；當(dāng)時(shí)，方程，則，如圖所示，有1個(gè)不同的交點(diǎn)，則故D錯(cuò)誤．故選：AC13．或【解析】解：由題知，有解①當(dāng)時(shí)，即化簡得有解即整理得：無解②當(dāng)時(shí)，即化簡得解得即解得：或者③當(dāng)時(shí)，即化簡得：有解即化簡得：無解綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為：或故答案為：或.14．【解析】由不等式可知，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，解得．故答案為：15．【解析】由題設(shè)，為增函數(shù)且定義域?yàn)?，要使在上的值域?yàn)?，∴，易知：，∴與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)根且恒成立即，∴對(duì)于，有，可得，∴綜上，.故答案為：16．【解析】解：設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?，因?yàn)閷?duì)任意的，都存在唯一的，滿足，則，且中若有元素與中元素對(duì)應(yīng)，則只有一個(gè).當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，解得，②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是減函數(shù)，取值范圍是，在上是增函數(shù)，取值范圍是，，解得，綜合得.故答案為：17．（1）當(dāng)時(shí)血液中藥物的濃度最高，最大值為6（2）18．（1）.（2）存在，.（3）.19．（1）是，不是（2）（3）1,3,520．（1）（2）（3）解：，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增．最小值為0，最大值為，則函數(shù)的值域?yàn)椋?）解：設(shè)，不等式可化為：問題等價(jià)于在時(shí)恒成立；即：＝在時(shí)恒成立，而此時(shí)，則的最小值為0，所以.（3）解：令，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖象知時(shí)，有兩解，時(shí)，有一解．方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的根，其中一個(gè)根大于或等于1，另一根大于0且小于1；可化為：化簡得：，若方程有一根為1，則，此時(shí)方程為，方程有兩個(gè)相等實(shí)根1，不合題意，因此它的兩根分別介于和，只要，∴．21．（1）；（2）（i）；（ii）或.【解析】（1）設(shè)由題意知：對(duì)稱軸，，又，則，，設(shè)的兩根為，，則，，由已知：，解得.（2）（i），其對(duì)稱軸為為單調(diào)函數(shù)，或，解得或.的取值范圍是.（ii），，對(duì)稱軸.①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，.②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，③當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)零點(diǎn)即為方程的根令，即，作出的簡圖如圖所示①當(dāng)時(shí)，，或，解得或，有個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，有唯一解，解得，有個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，解得或，有4個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，，，解得，有個(gè)零點(diǎn)；⑤當(dāng)時(shí)，無解，無零點(diǎn)綜上：當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).22．（1）只有是函數(shù)；（2）函數(shù)是函數(shù)；證明見解析；（3）證明見解析．【解析】（