第六章常微分方程

第六章常微分方程

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不定積分問題—

微分方程問題推廣6.1微分方程的基本概念6.2一階微分方程6.3二階微分方程6.4用Matlab軟件解二階常系數(shù)非齊次微分方程第六章常微分方程6.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題第六章常微分方程解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得例1一曲線通過點(diǎn)(1,2),且在該曲線上任意點(diǎn)

處的切線斜率為2x，求這曲線的方程。第六章常微分方程例2質(zhì)量為m的物體從空中自由下落，若略去空氣阻力．求物體下落的距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系s(t)。解；未知函數(shù)s(t)應(yīng)滿足方程,即兩邊積分得再積分一次，得此外，設(shè)運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，物體的初始速度和初始位移為零，得第六章常微分方程常微分方程偏微分方程1.含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程

.2.微分方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高階數(shù)叫做微分方程的階.(本章內(nèi)容)微分方程的基本概念分類例如為二階微分方程第六章常微分方程3.代入微分方程后，能使之成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解

.4.用來確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件.微分方程的基本概念特解通解(不含任意常數(shù))分類5.尋求微分方程的解的過程稱為解微分方程.第六章常微分方程6.2一階微分方程6.2.1可分離變量的微分方程6.2.2一階線性微分方程第六章常微分方程6.2.1可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程轉(zhuǎn)化兩邊積分第六章常微分方程例3(細(xì)菌繁殖模型)在一個(gè)理想的環(huán)境中，細(xì)胞的繁殖率與細(xì)菌的數(shù)目成正比，若時(shí)細(xì)菌的數(shù)目為，求系統(tǒng)的細(xì)菌繁殖規(guī)律。兩邊積分

解：設(shè)示在時(shí)刻細(xì)菌數(shù)目，依題意有即(C為任意常數(shù))又因，為已知,故特解為第六章常微分方程例4（自然生長模型）表示一種生物在時(shí)間t時(shí)種群總數(shù)，開始時(shí)種群總數(shù)分別表示該總?cè)旱某錾屎退劳雎?，?shí)踐證明

解：在t到△t這段時(shí)間內(nèi)種群總數(shù)改變量為當(dāng)時(shí)采用可分離變量后，積分得其中r>0，k>0，試求該種群的自然生長規(guī)律。第六章常微分方程由確定常數(shù)C，則可得生物總?cè)鹤匀辉鲩L規(guī)律：此式稱為Logistic方程，顯然當(dāng)其曲線圖為第六章常微分方程例5（腫瘤生長模型）設(shè)是腫瘤體積。免疫系統(tǒng)非常脆弱時(shí)，V呈指數(shù)式增長，但V長大到一定程度后，因獲取的營養(yǎng)不足使其增長受限制。描述V的一種數(shù)學(xué)模型是：

是腫瘤可能長到的最大體積，確定腫瘤生長規(guī)律第六章常微分方程解：分離變量兩邊積分由初始條件，可確定，故特解是即此為貢柏茨方程第六章常微分方程此為貢柏茨方程圖形第六章常微分方程二、可化為分離變量的某些方程*1.齊次方程形如令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:第六章常微分方程例6.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當(dāng)C=0時(shí),y=0也是方程的解)(C

為任意常數(shù))第六章常微分方程例7.解微分方程解：將右端函數(shù)的分子，分母同時(shí)除以自變量x此為齊次方程，令分離變量，再兩邊積分將u帶回得第六章常微分方程2.型方程作變換例8.求方程的通解解：令則得方程通解為將代回得原方程通解第六章常微分方程6.2.2一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程

.稱為齊次方程

;定義3如果方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（微分）的最高階數(shù)是一階的，且所含未知函數(shù)及導(dǎo)數(shù)（微分）都是一次冪的，則稱這種方程為一階線性微分方程。一、一階線性微分方程第六章常微分方程1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為這里僅表示p(x)的一個(gè)原函數(shù)2.解非齊次方程改寫為第六章常微分方程兩邊積分令令（1）下面求C（x），對（1）求導(dǎo)得代入標(biāo)準(zhǔn)方程得第六章常微分方程齊次方程通解非齊次方程特解故原方程的通解即兩端積分得第六章常微分方程1.齊次方程通解為：２.非齊次方程通解為：第六章常微分方程例9用常數(shù)變易法求一階線性方程通解解：齊次方程通解：用常數(shù)變易法，令代入原方程得即故通解為第六章常微分方程例10用通解公式求一階線性方程的通解解：則通解為嚴(yán)格的說，上式僅當(dāng)時(shí)才成立。第六章常微分方程當(dāng)x<0時(shí)第六章常微分方程例11(飲食與體重模型)某人每天從食物中獲取10500J熱量，其中5040J用于基礎(chǔ)代謝。他每天的活動(dòng)強(qiáng)度，相當(dāng)于每千克體重消耗67．2J.此外，余下的熱量均以脂肪的形式儲存起來，每42000J可轉(zhuǎn)化為1kg脂肪。問：這個(gè)人的體重是怎樣隨時(shí)間變化的，會(huì)達(dá)到平衡嗎?解：依題意，進(jìn)食增加10500/42000=0.25kg

基礎(chǔ)代謝5040/42000=0.12kg

活動(dòng)消耗67.2w/42000=0.0016wkg第六章常微分方程例12（藥代動(dòng)力學(xué)模型）假定藥物以恒定速率K0向一個(gè)同質(zhì)單元進(jìn)行靜脈滴注，K0的單位為單位時(shí)間的藥量，并且藥物在同質(zhì)單元內(nèi)按一級消除速率常數(shù)K的過程消除。K的單位為時(shí)間的倒數(shù)。試求此系統(tǒng)藥物隨時(shí)間變化規(guī)律。由于，故解：依題意單位時(shí)間內(nèi)藥物變化率應(yīng)該等于輸入與輸出之差，則第六章常微分方程例13（細(xì)菌繁殖非理想環(huán)境模型），除系統(tǒng)本身的繁殖外有的細(xì)菌向系統(tǒng)外遷移，其遷移速率是時(shí)間t的線性函數(shù)，即At+B，系統(tǒng)內(nèi)繁殖率與細(xì)菌的數(shù)目成正比，并假定t=0時(shí)，測得的細(xì)菌的數(shù)目為x(0)，求系統(tǒng)的細(xì)菌繁殖規(guī)律解：設(shè)為t時(shí)刻細(xì)菌數(shù)目，則解得代入則第六章常微分方程二、伯努利(Bernoulli)方程*

伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)第六章常微分方程例14求方程的通解解：這是伯努力方程，其中則

第六章常微分方程課堂練習(xí)題:求的特解解:由標(biāo)準(zhǔn)形式知?jiǎng)t通解由得所求特解為:第六章常微分方程(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐1713年出這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外,他對雙紐線,懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究.第六章常微分方程6.3.1可降階高階微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第六章常微分方程一、型的微分方程令則兩端積分得則再積分，得通解第六章常微分方程例15求方程的通解積分一次得再積分一次得最后積分得第六章常微分方程型的微分方程設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、第六章常微分方程例16求方程滿足初始條件

的特解。解：設(shè)原式為分離變量并積分即第六章常微分方程用代替，得積分得代入初始條件得故特解是第六章常微分方程三、型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解第六章常微分方程例17.求解故所求通解為解:原始可寫為兩端積分得第六章常微分方程可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令注意：

對于型的微分方程根據(jù)具體方程選擇用方法2或方法3，使得降階后所得方程容易求解第六章常微分方程6．3．2二階線性常系數(shù)齊次方程[定義5]如果方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù)是二階的，且所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)(或微分)都是一次冪的，則稱這種方程為二階線性微分方程，一般形式為：第六章常微分方程稱之為二階線性齊次方程；稱之為二階線性非齊次方程稱之為二階線性常系數(shù)微分方程(a、b、c均為常數(shù))稱之為二階線性常系數(shù)齊次微分方程(a、b、c均為常數(shù))第六章常微分方程[定理1]若函數(shù)和是二階線性常系數(shù)齊次微分方程的兩個(gè)解，則其線性組合也是該方程的解。其中Cl、C2是兩個(gè)任意常數(shù)。[定理2]若和是二階線性常系數(shù)齊次微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則－－－－－－－就是該方程的通解．其中C1和C2是兩個(gè)任意常數(shù)。第六章常微分方程[定理3]設(shè)是二階線性非齊次方程的一個(gè)特解，是其對應(yīng)的二階線性齊次方程的通解，則是二階線性非齊次方程的通解。

定理1、2、3說明：非齊次通解齊次通解非齊次特解齊次特解齊次特解(線性無關(guān))第六章常微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②其根稱為特征根.第六章常微分方程1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為則微分它的特征方程為其根為兩個(gè)相異實(shí)根，故則代入初始條件，得故所求特解是例18求微分方程滿足初始條件的特解。第六章常微分方程2.當(dāng)時(shí),特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根則微分方程有一個(gè)特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:注意是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為第六章常微分方程例19求微分方程的通解。它的特征方程為其根為一對相等實(shí)根