考研數(shù)學(xué)公式手冊隨身看

目錄

一、高等數(shù)學(xué).............................................1

（一）函數(shù)、極限、連續(xù)...........................1

（-）一元函數(shù)微分學(xué).............................5

（三）一元函數(shù)積分學(xué).............................16

（四）向量代數(shù)和空間解析幾何....................24

（五）多元函數(shù)微分學(xué).............................33

（六）多元函數(shù)積分學(xué).............................40

（七）無窮級數(shù)...................................46

（八）常微分方程.................................54

二、線性代數(shù)............................................60

（一）行列式....................................60

（二）矩陣........................................61

（三）向量.......................................64

（四）線性方程組.................................68

（五）矩陣的特征值和特征向量.....................70

（六）二次型......................................72

三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計...................................74

（一）隨機事件和概率.............................74

（二）隨機變量及其概率分布.......................79

（三）多維隨機變量及其分布.......................81

（四）隨機變量的數(shù)字特征.........................85

（五）大數(shù)定律和中心極限定理.....................88

（六）數(shù)理統(tǒng)計的基本概念.........................89

（七）參數(shù)估計...................................92

（八）假設(shè)檢驗...................................95

經(jīng)常用到的初等數(shù)學(xué)公式.................................98

平面幾何.......................................103

一、高等數(shù)學(xué)

(-)函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容公式、定理、概念

函數(shù)：設(shè)有兩個變量冗和y,變量元的定義域為。，如果對

函數(shù)和隱于。中的每一個r值，按照一定的法則，變量y有一

函數(shù)個確定的值與之對應(yīng)，則稱變量y為變量x的函數(shù)，

記作：y=f(x)

基本初等函數(shù)包括五類函數(shù)：

1幕函數(shù)：y=x"(McR)；

基本初等

2指數(shù)函數(shù)y=a，(a>0且awl)；

函數(shù)的性

3對數(shù)函數(shù)：y=logx(a>0且axl)；

質(zhì)及其圖a

4三角函數(shù)：如y=sinx,y=cosx,y=tanx等；

形，初等

5反三角函數(shù)：如

函數(shù)，函

y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等.

數(shù)關(guān)系的

建立：初等函數(shù)：由常數(shù)C和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與

有限此復(fù)合步躲所構(gòu)成，并可用一個數(shù)學(xué)式子表

示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).

數(shù)列極限1lim/(x)=A<=>/l(x0)=fSxn)=A

1

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與函數(shù)極2lim/(x)=A<=>f(x)=A+a(x),其中l(wèi)ima(x)=0

XT%Q.1%

限的定義

3(保號定理)

及其性

設(shè)limf(x)=A,又<>。(或A<0),則三一個3>0,

』

質(zhì)，函數(shù)XT

雙Q曰小時,或

的左極限G(%-3,X+8\x*f(x)>0(f(x)<0)

與右極限

設(shè)limaCx)=0,lim/7(x)=0

⑴若1加幽=0,則a(x)是比￡(x)高階的無窮小，

隊心

無窮小和記為a(x)=o(2(x)).

無窮大的⑵若lim里a=oo,則a(x)是比4(x)低階的無窮小，

￡(x)

概念及其

關(guān)系，無(3)若lim孚*=c[cw0),則a(x)與77(x)是同階無窮小，

隊心

窮小的性

(4)若lim券=1,則a(x)與/x)是等價的無窮小，

質(zhì)及無窮

小的比較

記為a(x)L夕(x)

(5)若lim2*=c(c*0),k>0,則a(x)是￡(x)的k階無窮小

夕(x)

常用的等階無窮?。寒?dāng)xr0B寸

0;2

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sin冗

arcsinx

1-cosX□—X2

tanx

arctanx

(l+x)n-W-x

ln(l+x)n

eK-l

無窮小的性質(zhì)

(1)有限不?無窮小的代數(shù)和為無窮小

(2)有限4一無窮小的乘積為無窮小

(3)無窮小,乘以有界變量為無窮小

Th在同一變化趨勢下，無窮大的倒數(shù)為無窮?。环橇愕臒o

窮小的倒數(shù)為無窮大

limf(x)=Alimg(x)=8.則

(1)lim(/(x)±g(x))=A±3；

極限的四

則運算(2)lim/(x)g(x)=AHJB;

(3)lim^-^=-(B^0)

g(x)B

極限存在1(夾逼定理)設(shè)在天)的鄰域內(nèi)，恒有

且lim(p(x)=lim火x)=A,貝!jlimf(x)=A

的兩個準(zhǔn)XT與X->XoX->X^

則：單調(diào)2單調(diào)有界定理：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限

3

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有界準(zhǔn)則3兩個重要極限：

和夾逼準(zhǔn)sinx11

(1)lim----=1(2)lim(l+x);=e

則，兩個X.r->0

重要極

—,n=m

b。

限：重要公式：lim%x"+qx"+…+“"/+4=,

0,n<m

m

~box+b,x"+.-?+bm_,x+b,?

8,n〉m

4幾個常用極限特例

冗

lim標(biāo)=1,lvimarctanx=—

w->ocXf+oo2

..71

limarctanx=—limarccotx=0,

-2A--H-OO

limarccotx=乃limev=0,

X—>-00

lime"=oo,limxx-1,

XT+O*

函數(shù)連續(xù)

連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)：

的概念：

（1）（連續(xù)函數(shù)的有界性）設(shè)函數(shù)“X）在［a,可上連續(xù)，則

函數(shù)間斷

/W

點的類

在［“，句上有界，即三常數(shù)M>0,對任意的xe,,可，恒有

型：初等

函數(shù)的連

4

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續(xù)性：閉(2)(最值定理)設(shè)函數(shù)/(x)在[“向上連續(xù)，則在小句上

區(qū)間上連/(X)至少取得最大值與最小值各一次，即三4力使得：

續(xù)函數(shù)的

/((=翳{〃砌,欠可；

性質(zhì)

/(7)=min{/(x)},r)^[a,b\.

(3)(介值定理)若函數(shù)f(x)在&可上連續(xù)，〃是介于/(?)

與

f(b)(或最大值M與最小值機)之間的任一實數(shù)，則在k可

上至少三一個-使得/⑷=〃.(a<^<b)

(4)(零點定理或根的存在性定理)設(shè)函數(shù)/(x)在上

連

續(xù)，且/(a)-〃b)<0,則在(°㈤內(nèi)至少三一個久使得

/⑶=0.(a<*b)

(二)一元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容對應(yīng)公式、定理、概念

導(dǎo)數(shù)和微1導(dǎo)數(shù)定義：/，(％)=lim以金匕3(1)

Z?！?

分的概念

或_?）=iim小匕衛(wèi)2（2）

左右導(dǎo)數(shù)

NT1qX-XQ

5

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導(dǎo)數(shù)的幾2函數(shù)/(X)在與處的左、右導(dǎo)數(shù)分別定義為:

何意義和左導(dǎo)數(shù)：

物理意義

j_(x0)=lim--------------=hm---------,(^=A^+Ax)

Axx-xQ

右導(dǎo)數(shù)：fM=lim"%+?7(x。)=iimF(x)-2

X-X()

Thl：函數(shù)/(x)在/處可微=/(x)在不處可導(dǎo)

函數(shù)的可

Th2：若函數(shù)y=/(x)在點與處可導(dǎo)，則y=/(x)在點X。處

導(dǎo)性與連

連續(xù)，反之則不成立.即函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo).

續(xù)性之間

Th3：廣(%)存在=￡(%)=4(%)

的關(guān)系，

設(shè)函數(shù)/'。)在*=X。處可導(dǎo)，貝！J/(x)在M(%,%)處的

平面曲線

的切線和切線方程：y-y0^f\x0)(x-x0)

法線

法線方程：y-y()=、(xxa),f(xo)*O.

fUo)

四則運算法則：設(shè)函數(shù)〃=〃(x),v=v(x)在點X可導(dǎo)則

導(dǎo)數(shù)和微

(1)(〃±y)'="‘土MJ(w±v)=du±dv

分的四則

(2)(〃□)'=uv'+vud(uv)=udv+vdu

運算，初

等函數(shù)的⑶(與，=2^(叱0)心二嗎也

VVVV

導(dǎo)數(shù)，

基本導(dǎo)數(shù)與微分表

6

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(1)y=c(常數(shù))y=0dy=0

(2)y=x"(a為實數(shù)）y-ax-dy=axa~{dx

(3)y=axyr=axInady=axInadx

特例(e)=e'd(ex)=exdx

,1

(4)ay=----dx

xlnax\na

特例y=\nx(Inx)z=—d(lnx)=-dx

XX

(5)y=sinxyr=cosxd(sinx)=COSAZZT

(6)y=cosxy，=-sinxJ(cosx)=-sinAz/r

v，一]_22

(7)y=tanxy一)一socevcAd(tanx)=secxdx

COSX

(8)y=cotxy=----=-esc2Ad(cotx)=-esc2xdx

sin2x

(9)y=secx/=secxtanxd(secx)=secxtanAA

(10)y=cscx/=-cscxcotxd(cscx)=-escxcotxdx

(11)y=arcsinx/=d(arcsinx)--J-dx

-71-x2>J\-x2

,1

(12)y=arccosxy—?---

yj\-x2

d(arccosx)=-idx

7i-1?

7

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(13)y=arctanxyr=—二J(arctanx)=—二公

l+x~\+x~

(14)y=arccotx/=----二t/(arccotx)=----二dx

1+/1+d

(15)y—shxy'=chxd(shx)-chxdx

(16)y=chxyr=shxd(chx)=slvcdx

1反函數(shù)的運算法則：設(shè)y=在點x的某鄰域內(nèi)單調(diào)連

續(xù)，在點x處可導(dǎo)且廣(X)HO,則其反函數(shù)在點x所對應(yīng)的

y處可導(dǎo)，并且有孚=」-

復(fù)合函dxdx

數(shù)，反函dy

數(shù)，隱函2復(fù)合函數(shù)的運算法則：若〃=玄幻在點工可導(dǎo)，而y=/(//)

數(shù)以及參在對應(yīng)點〃(//=(p(x))可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/(0(無))在點x

數(shù)方程所可

確定的函導(dǎo)，且y'=/'(〃)■研X)

數(shù)的微分

3隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)生的求法一般有三種方法：

法，dx

(1)方程兩邊對x求導(dǎo)，要記住y是X的函數(shù)，則y的函數(shù)

是

x的復(fù)合函數(shù).例如J，Iny,e"等均是x的復(fù)合函數(shù).

y

8

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對X求導(dǎo)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)連鎖法則做.

⑵公式法.由=0知；=_，其中，6.(x,y),

dxFv(x,y)

Fy(xty)分別表示”(x,y)對x和y的偏導(dǎo)數(shù)

(3)利用微分形式不變性

常用高階導(dǎo)數(shù)公式

(1)(優(yōu))(a>0)(e')(n,=ev

(2)(sin依)(">=2"sin(依+”?夕

高階導(dǎo)

數(shù)，一階(3)(coskx)(n)=kncos(Ax+/?~)

微分形式

(4)3"嚴(yán)=m(m-Y)--(m-n+W

的不變

性，(5)(Inx)⑺

(6)萊布尼茲公式：若〃(x),u(x)均〃階可導(dǎo)，則

(“?")=,其中"8=U,l/°>=V

i=0

微分中值Thl(費馬定理)若函數(shù)f(x)滿足條件：

定理，必(1)函數(shù)/(無)在/的某鄰域內(nèi)有定義，并且在此鄰域內(nèi)恒

達(dá)法則，有

泰勒公式

/(X)<f(x0)或/(x)>f(x0),

9

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,

(2)/(x)在可處可導(dǎo)，則有/(xo)=O

Th2(羅爾定理)設(shè)函數(shù)/(無)滿足條件：

(1)在閉區(qū)間口,加上連續(xù)；

⑵在3⑼內(nèi)可導(dǎo),則在3,6)內(nèi)m一個4,使rc)=o

Th3(拉格朗日中值定理)設(shè)函數(shù)/(X)滿足條件：

(1)在團向上連續(xù)；(2)在(。/)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,/?)內(nèi)三一

個4，使叱-f0=',?

b-a

Th4(柯西中值定理)設(shè)函數(shù)/(X),g(x)滿足條件：

⑴在［a向上連續(xù)；⑵在(“⑼內(nèi)可導(dǎo)且/'(x)，g'(x)均存

在，且g'(x)r0則在(a,力內(nèi)三一個自，使

于⑥一于(G尸(》

gS)-g(a)g&)

洛必達(dá)法則：

法則I(《型)設(shè)函數(shù)〃x),g(x)滿足條件：

lim/(x)=0,limg(x)=0;/(x),g(x)在9的鄰域內(nèi)可導(dǎo)

(在/處可除外)且g〈x)w0;lim/J?存在(或8).則

fg(x)

r/(力f,(x)

hm—=lim—

10

讀萬卷書行萬里路

法則I'（《型）設(shè)函數(shù)〃x）,g（x）滿足條件：

lim/（x）=0,lim,g（x）=0；3一個X>0,當(dāng)國〉X

時，/（x），g（x）可導(dǎo)，且g'（R）wO;lim存在（或oo）.則

…g3

lim=hm-

（犬）xf"g（x）

法則n（三型）設(shè)函數(shù)〃x）,g（x）滿足條件：

limf（x）=oo,lim（x）=oo；/（x）,^（x）在飛的鄰域內(nèi)可

XT與

導(dǎo)（在/處可除外）且，（x）#0；lim44存在（或8）.則

I。g（X）

lim42=lim44.同理法則ir（藝型）仿法則r可寫出

Kf"g（N）XT&g（X）8

泰勒公式：設(shè)函數(shù)/（X）在點/處的某鄰域內(nèi)具有77+1階導(dǎo)

數(shù)，則對該鄰域內(nèi)異于今的任意點X,在與與元之間至少三

一個g,使得

/（x）=f（%0）+1（%0）（十一%）+、/"（Xo）（X一項））2T-----

+/""（『）"_二）"+凡（X）

n\

II

讀萬卷書行萬里路

其中R“(x)=L")*-/嚴(yán)稱為/*)在點/處的“

階泰勒余項.令/=0,則”階泰勒公式

/(%)=/(o)+/'(0)x+=r(O)x2+-..+/“‘，)x"+R”(x)

2!nl

……⑴

其中R(x)=k'⑹"J在0與x之間.(1)式稱為麥

〃5+1)!

克勞林公式

常用五種函數(shù)在%=0處的泰勒公式

ev=1+x+—x2+???+—+----涉

2!n\5+1)!

，1

或=14-X+X2H---------+O{X)

W+1

.13X"."IX.,z〃+1、

sinx=x---xH----1---sin----1-------sin(<d------4)

3!n\2(〃+l)!2

n

前13X.riTT/〃、

%—x---x+?,,H---sin---Fo(^x)

3!n\2

nn+i

11cxn/rx/=n+1、

COSX=1---------+???H----------------COS----------1-------------------COS(<fH--------------7F)

2!n\25+1)!2

或=1--x2+???+—cos—+(?(xN)

2!n\2

12

讀萬卷書行萬里路

]n(l+x)?八+"..?+”《+(T)”「

23n(7i+l)(l+^)n+,

W

或="—工*2+lx3-----+(—)1—+6>(X)

23n

帆(加-1)?一(6一〃+1)“

(1+x)=1+mx4-----------x2d-----1---------------------------x

2!n\

?m(m-l)???(m-L+l)x〃+i??或

(〃+l)!*

、m.-1)

(Z1+x)=1+nixd-------------x2H----

2!

+汨神一1”..(加-一+1)”

n\

函數(shù)單調(diào)

1函數(shù)單調(diào)性的判斷：

性的判

別，函數(shù)Thl設(shè)函數(shù)/（x）在（a,。）區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果對Vx€（a,。），都

的極值，有尸（x）＞0（或/'（x）＜0）,則函數(shù)/（x）在（。/）內(nèi)是單調(diào)增

函數(shù)的圖加的（或單調(diào)減少）

形的凹凸

Th2（取極值的必要條件）設(shè)函數(shù)f（x）在與處可導(dǎo)，且在

性，拐點

玉,處取極值，則/&）=0.

及漸近

線，用函Th3（取極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)/（x）在％的某一鄰

數(shù)圖形描域內(nèi)可微，且/'（%）=0（或/（X）在/處連續(xù)，但/'（x。）不

繪函數(shù)最存在.）

大值和最

13

讀萬卷書行萬里路

小值，⑴若當(dāng)X經(jīng)過X。時,尸(X)由“+”變則/(%)為極大

值；

⑵若當(dāng)x經(jīng)過吃時，/'(X)由變“+”，則f(x0)為極小

值；

(3)若f'(x)經(jīng)過的兩側(cè)不變號，則/(%)不是極值.

Th4(取極值的第二充分條件)設(shè)/(x)在點/處有

/"(x)wO,且/(%)=0,則當(dāng)/”(x0)<0時，/(無)為極大

值；

當(dāng)了”(毛)>0時，/(%)為極小值.

注：如果尸'迷尸0,此方法失效.

2漸近線的求法：

⑴水平漸近線若lim/(x)=b,或limf(x)=b，則y=￡>

.r—>4<ox—^—,K

稱為函數(shù)y=的水平漸近線.

(2)鉛直漸近線若】im/(x)=co,或lim/(x)=oo,則

★二毛

14

讀萬卷書行萬里路

稱為y=/(?的鉛直漸近線.

(3)斜漸近線若〃=lim""),Z?=lim[/(x)-or],貝《

XT8XX-^O

y=or+b稱為y=f(x)的斜漸近線

3函數(shù)凹凸性的判斷：

Thl(凹凸性的判別定理)若在I上尸3<0(或/"。)>0),

則/(X)在I上是凸的(或凹的).

Th2(拐點的判別定理D若在/處/"(x)=0,(或尸(x)不存

在)，當(dāng)X變動經(jīng)過刊時,尸,(X)變號，則(%,/(%>))為拐點.

Th3(拐點的判別定理2)設(shè)/(x)在/點的某鄰域內(nèi)有三階

導(dǎo)數(shù)，且1r(x)=0,尸"(x)wO,則(XoJ(x。))為拐點

L弧微分：dS=J+y，2dx

弧微分，

2.曲率：曲線y=/(x)在點(x,y)處的曲率攵=———[.

曲率的概(i+y'2產(chǎn)

念，曲率

對于參數(shù)方程[戶外)，⑺一婢')"5

半徑

3.曲率半徑：曲線在點M處的曲率4(ZwO)與曲線在點M

15

讀萬卷書行萬里路

處的曲率半徑P有如下關(guān)系：P=p

（三）一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容對應(yīng)公式、定理、概念

原函數(shù)和基本性質(zhì)

不定積分1Jkf(x)dx=AJf(x)dx(左W0為常數(shù))

的概念，

2J"(x)土力(x)土…±￡(x)]dx="(x心土/力⑴公土…土"(x心

不定積分

3求導(dǎo)：[Jf(x)段T=/(x)或微分：djf(x)dx=f(x)dx

的基本性

質(zhì)4]小(外公=尸(%)+?；騄jF(x)=F(x)+C(C是任意常數(shù))

[xkdx=—xk+l+C

Jk+1

J--dx=----FCJ--j=sdx=2,x/x+C

基本積分

=ln|x|+C

公式

X

Javrfr=—+C(。＞0,。01)jevdr=ev+C

jcosxdx=sinx+Cjsinxt￡r=-cosx+C

16

讀萬卷書行萬里路

―\—dx=[sec2xdx=tanx+C

cos'x'

xdx=-cotx+C

sin2x

escxdx=ln|cscx-cotx|+C

[---dx=fsecAz/v=ln|secx+tanx|+C

JcosxJ

jsecxtanxdx=secx+Cjcscxcotxdr=-cscx+C

tanxdx=-In|cosx|+Cjcotxdx=In|sinx\+C

dx1xdx「

=-arctan—+C------=aictanx+C

a1+JT

「dx

-------nrrcin—4-r=arcsinx+C

2a

1

lna+xfdx\+x

-2~2ahl+C+C

a—xJl-x22

22

=ln|x+7^±?|+C

重要公式

(1)設(shè)/*(%)在［-/,/］上連續(xù)，則

fMdx=[/(x)+f{-x)]dx

17

讀萬卷書行萬里路

O,當(dāng)/Xx)為寄函數(shù)

=V

當(dāng)/Xx)為偶函數(shù)

皂以T為周期的連續(xù)函數(shù)，a為任意實數(shù)，

(2)即(X)7

Ca+TT

Jf(x)dx=J；f(x)dx=[3/(x)公.

Ja

-2

(3)J(y/a2—x1dx=:ra?

上1仁2...當(dāng)〃為偶數(shù)

nnn—222

(4)j：sin"x,Zr=cos"xdx'

士」Q…2□，當(dāng)〃為奇數(shù)

,nn—23

r.(7T,n=m

(5)「s\nnxcosiwcdx=[sinnxcostnxdx=〈

J-燈JO[0,n^m

f"sinnxcosmxdx=f"siiifixcosmxdx=0

J-兀Jo

Yr2n(7T,n=m

cosnxcosrnxdx=cosnxcosmxdx=0=〈

Jo[0,n^m

1.定積分的基本性質(zhì)

定積分的

⑴定積分只與被積函數(shù)和積分限有關(guān)，而與積分變量無關(guān)，即

概念和基

「/(x)&1/⑺波=「/("M”=…

本性質(zhì)，JaJaJa

定積分中(2)J：f(x)dx=-J；f(x)dx

值定理

(3)Jdx=b-a

18

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(4)1"(x)土g(x)a=ff{x)dx±『g(x)公

JaJaJa

(5)fkf(x)dx=k\f(x)公(人為常數(shù))

JaJa

(6)[〃x)，Zv=[f(x)dx+Cf(x)dx

JaJaJc

⑺比較定理：設(shè)/'(X)(&(工),工￡[4向,則//3公《/g(X)rfx.

JuJa

推論：1.當(dāng)/'(x)20,時j"/(x)clr20;

(8)估值定理:設(shè)加4/(x)4M,xem,切,其中也M為常數(shù)，則

m(b-a)<\hf{x)dx<M(b-a)

Ja

(9)積分中值定理：設(shè)/(x)在[a,勿上連續(xù)，則在[a力]上至少三一個,

使，/(x)公=3-a)/G)

/?)=」一Cfixydx-----平均值公式

b-aJa

積分上限Thl

的函數(shù)及設(shè)函數(shù)/Xx)在[a,句上連續(xù)，b],則變上限積分

F(x)=[/?)力對x可導(dǎo)

其導(dǎo)致，Ja

牛頓——且有尸'(x)=；尸(X)=鄉(xiāng)d'f(t)dt)=/(X)

Ja

萊布尼茲axax

公式推論1設(shè)尸(x尸力，則尸(x)=f[(p{x}Y2p\x).

19

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推論2(r'1

J4(x)

推論3(J：”'/(f)g(x)%)；=(g(x)J：”'f(t)dtyx

=g+g(x)f[^(x)]np\x)

Th2設(shè)/1(x)在[a㈤上連續(xù),xe[a,6],則

「f(x)&是/Xx)在[a,句上的-一個原函數(shù)

Th3牛頓-萊布尼茨公式:即(幻在[a,加上連續(xù)，尸(幻

是/(X)的原函數(shù)，則J"/(x)加=尸3匕=尸(6)-尸(a)

1不定積分：

分部積分法：=或選擇U,dv的原則：積分容

易者選作dv,求導(dǎo)簡單者選為u

不定積分換元積分法：設(shè)Jf{u}du=產(chǎn)(“)+C,

和定積分

則J/l0(x)]0'(x)公=Jyiwx)]"0(x)

的換元積

設(shè)"=(p{x)\f(u)du-F(w)+C=F[(p{x)}+C

分法與分

部積分法2.定積分

換元法：

設(shè)函數(shù)/1(x)在[a,上連續(xù)，若x=g)滿足：

⑴。⑺在[a,0]上連續(xù),且。⑺rO.

20

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(2)o(a)="j(/?)=A并且當(dāng)［在［a,4］上變化時，

以力的值在［a,瓦1上變化，則

JafMdx=JJa八3⑺13

分部積分公式

設(shè)“(X),v(x)在［a,b］上具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)〃'(x),v'(x),則

Ju{x}v\x)dx=M(X)V(JC)—￡v{x}u\x)dx

3.定積分不等式證明中常用的不等式

(1)/+從22岫(2)a>0,a+->2

a

(3)柯西不等式：

(￡f(x)g(x)dx)24(j,7(尤)對「(J：g2(x)時，

其中/(x),g(x)在［a,b］上連續(xù)

有理函1.三角函數(shù)代換

數(shù)，三角函數(shù)/(X)含根式所作代換三角形示意圖

函數(shù)的有

/22

理式和簡y]a~-Xx=asint

單無理函切-X?

數(shù)的積

Ja2+x2x=atant

分，廣義

21

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積分和定

22

積分的應(yīng)y/x-ax—asect

用

有理函數(shù)積分

(1)[—^—dx=Ain|x-a|+C

Jx-a

(2)f--—dx=--------5~r+C(n豐1)

J(x-a)nn-1(x-a)"-'

22

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⑶/dx_r_______dx_______銬=")rdu

'(.x2+px+q)"」.?py?44-p：“(殍孑'(?2+a2)"

(4)r/+a^=—!--r+T-^—

J(k+px+q)'2(n-l)(x~+px+q)2J(x+px+q)"

(p2-4q<O')

4.廣義積分

(1)無窮限的廣義積分(無窮積分)

設(shè)/1(X)連續(xù)，貝lj1.「'/'(X)必:=limCf(x)dx

Ja8一>+ooJa

2Af(x)dx=lim[f(x)dx

J-ooaf—sJa

3.「'/(x)d5c=「f(x)dx+\+Xf{x}dx

J—CX>J—COJc

(2)無界函數(shù)的廣義積分(瑕積分)

rbpb-e、*.,

l.ff{x}dx=lim\/(%)公,(當(dāng)x—>時，/(x)f8)

2.1f{x}dx=]im[/(x)辦，(當(dāng)x—>a時，fCx)—>oo)

￡?—>0*Ja+s

(*b(*c—￡(>b

3.(f{x)dx=limff(x)dx+lim[f{xydx

Ja6To7a〃T0+Jc+tj

(當(dāng)xfdht,/(x)oo)

23

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（四）向量代數(shù)和空間解析幾何

考試內(nèi)容對應(yīng)公式、定理、概念

1.向量：既有大小又有方向的量，又稱矢量.

2.向量的模：向量a的大小.記為圖.

3.向量的坐標(biāo)表示：若向量用坐標(biāo)表示

222

a=xT+y/+zH={x9y9z},則\a\=yjx+y+z

向量的概4向量的運算法則：

念，向量

I加減運算設(shè)有矢量4=},b={x2,y2,z2},則

的線性運

a±b={xx±x2,y}±必，4±z2},

算，

H.數(shù)乘運算數(shù)乘運算2矢量a與一數(shù)量；l之積/IM,

|初必4〉0,即與4同向

&7=<02=0,即為零矢量設(shè)萬={內(nèi),加4},貝！]

一眼W之<0,即與。反向

Aa={4%，4y,4Z[}.

向量的數(shù)

1矢量的數(shù)積（點積，內(nèi)積）：

量積和向

量積，向矢量&與5的數(shù)量積乙歷=|磯碓os（a,5）.

量的混合

24

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積，

設(shè)1={%,%,Z1}則白石=

,5={x2,y2,z2},XyX2+yxy2+zxz2.

2矢量的向量積(叉積，外積)：設(shè)有兩個向量口與石，若m

一個矢量2,滿足如下條件

(1)|c|=|a||5|sin(a,5)；

(2)cla,cLb,即2垂直于a,五所確定的平面；

(3)a,5,之成右手系.則稱矢量之為矢量a與方的矢量積，

1己C=〃X萬.

設(shè)白={4用馬}8={巧,必匕2}，則

1Jk

y馬卜J.馬苦M

axb=xiy4Z21k22J+k.

y2/%

4yz2

3混合積：沒有個矢量a,h,c,若多三作a,萬的叉積Zx6,

再與2作點積（2c,則這樣的數(shù)才只稱為矢量白，b,c的

混合積,記為（＜）,即（。,匕,。）=(之[X歷.(

Z

設(shè)a={%，乂㈤9b=={x2,y2,z2],C={2P3)，

%）1彳

則(",〃

(?)二々J夕2Z2

玉），3Z3

兩向量垂

1向量之間的位置關(guān)系及結(jié)論

直、平行