數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程課后習(xí)題答案

女裝分命的散徑分析謠石習(xí)題答拿

0.1算法

1、(p.ll,題1)用二分法求方程/一%一1=0在［1,2］內(nèi)的近似根，要求誤差不

超過(guò)100.

【解】由二分法的誤差估計(jì)式1/-勾=10-3,得到

A2其+12?+i

2*M21000.兩端取自然對(duì)數(shù)得kN駟3-1。8.96,因此取k=9,即至少需

In2

二分9次.求解過(guò)程見(jiàn)下表。

kakbkxk/(相)符號(hào)

0121.5+

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2、(p.11,題2)證明方程"x)=e*+10X-2在區(qū)間［0,在內(nèi)有唯一個(gè)實(shí)根;使用

二分法求這一實(shí)根，要求誤差不超過(guò)工xlO"。

2

【解】由于/(x)=/+10x-2,則解尤)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，且

/(0)=e°+10x0-2=-1<0,/⑴=/+10x1-2=e+8>0,即/(0)?/⑴<0,

由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，/(x)在區(qū)間［0,1］上至少有一個(gè)零點(diǎn).

又/口)="+10>0,即在區(qū)間［0,1］上是單調(diào)的，故“X)在區(qū)間［0,1］內(nèi)

有唯一實(shí)根.

由二分法的誤差估計(jì)式\x-xk\<^-=-^-<s=-xIO=，得到2*>100.

222

兩端取自然對(duì)數(shù)得女之網(wǎng)3=2、3.3219=6.6438,因此取女=7,即至少需二分

In2

7次.求解過(guò)程」必下表。

k44/(4)符號(hào)

0010.5

1

2

3

4

5

6

7

0.2旗差

l.（p.12,題8）已知e=2.71828...,試問(wèn)其近似值X1=2.7,x2=2.71,^2.71,x3=2.718

各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對(duì)誤差限。

【解】有效數(shù)字：

因?yàn)镮e—玉1=0.01828…<0.05=；xl（）T,所以$=2.7有兩位有效數(shù)字；

因?yàn)镮e—%21=0.00828...<0.05=-xl0'',所以超=2.71亦有兩位有效數(shù)字；

因?yàn)閘e—七1=0.00028...<0.0005=-x10^3,所以與=2.718有四位有效數(shù)字；

le-x.I0.05

------<----=1.85%；

占2.7

le-xI0.05

2<---=-1.85%；

2.71

0.0005

=0.0184%,

2.718

評(píng)（1）經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其所有數(shù)字均為有效數(shù)字;

（2）近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字.

2.（p.12,題9）設(shè)修=2.72,x2=2.71828,當(dāng)=。?0718均為經(jīng)過(guò)四舍五入得出的近

似值，試指明它們的絕對(duì)誤差（限）與相對(duì)誤差（限）。

【解】0.005,=幺<^^=1.84x10-3；

X,2.72

g0.000005

s=0.000005,2“84x107

2兀2.71828

40.00005

￡3=0.00005,x6.96x10

0.0718

評(píng)經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其絕對(duì)誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個(gè)單位.

4

3.（p.12,題10）已知為=1.42,x2=-0.0184,X3=184xKT的絕對(duì)誤差限均為

0.5x10-2,問(wèn)它們各有幾位有效數(shù)字?

【解】由絕對(duì)誤差限均為0.5x10-2知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點(diǎn)后兩位算起，故占=1.42,有

三位；々=一0-0184有一位；而七=184xl()T=0.0184,也是有一位。

1.1泰勒酒偉檢E珞朗?庭保

1、(p.54,習(xí)題1)求作/(x)=sinx在節(jié)點(diǎn)與=0的5次泰勒插值多項(xiàng)式p5(x),并計(jì)算

Ps(0.3367)和估計(jì)插值誤差，最后將P5(O.5)有效數(shù)值與精確解進(jìn)行比較。

【解】由/(x)=sinx,求得尸"(x)=cosx；f(2\x)=-sinx；/(3)(x)=-cosx；

/⑷(x)=sinx；/'?(x)=cosx；/⑹(x)=-sinx,所以

(l)X2

P5(x)=/U0)+/(x0)(x-x0)+^°\x-x0)+…+/5?(X_XO)5

=/(0)+/3+告%2+1+號(hào)/'

1315

—X---XH--X

3!5!

抨梏?里苦⑹⑹I,、6/sinC)l,、6<16個(gè)一nill

才由值慶差：(x)—(x—XQ)—(x—XQ)<x,若x—0.5,貝ij

6!6!6!

p5(0.3367)=0.3367---+藝：?0.3303742887,而

65

7?5(0.3367)?—^―?2.02xlO-<0.5xlO-,精度到小數(shù)點(diǎn)后5位，

故取/75(0.3367)=0.33037,與精確值/(0.3367)=sin(0.3367)=0.330374191…相比

較，在插值誤差的精度內(nèi)完全吻合！

2、(p.55,題12)給定節(jié)點(diǎn)與=-1,為=1,々=3,與=4,試分別對(duì)下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗

日余項(xiàng)：

(1)f(x)-4x3-3x+2；

(2)f(x)—x4—2x3

f(4)包)3

【解】依題意，〃=3,拉格朗日余項(xiàng)公式為~曲2n(X—七)

4!,=0

(1)/⑷(x)=o-&(%)=0；

(2)因?yàn)閞*(x)=4!,所以

/⑷小)

4(x)=(x+l)(x-l)(x-3)(x—4)=(x+l)(x—l)(x-3)(x-4)

4!

3、(p.55,題13)依據(jù)下列數(shù)據(jù)表，試用線(xiàn)性插值和拋物線(xiàn)插值分別計(jì)算sin(0.3367)的近

似值并估計(jì)誤差。

i012

X,0.320.340.36

sin(王)0.3145670.3334870.352274

3

【解】依題意,n=3,拉格朗日余項(xiàng)公式為七(x)n(x-x,)

4!i=0

(1)線(xiàn)性插值

因?yàn)閄=0.3367在節(jié)點(diǎn)X。和的之間，先估計(jì)誤差

,,/"(<^),,,.sin(J)/max(x-x)(^-x)

Dxa

%(x)=--2;■(x-x0)(x-x1)=2(x-o)。|-x)<------------------

<"匚=J_xl()4；須保留到小數(shù)點(diǎn)后4為，計(jì)算過(guò)程多余兩位。

22

X-Xl./、X-Xo./、

------sin(x)H--------sin(Xj)————[(x-x0)sin(x1)+(x1-x)sin(x0)]

6。)0

七一/

[=0^2[(0.3367-0.32)sin(0.34)+(0.34-0.3367)sin(0.32)]

=-[0.0167xsin(0.34)+0.0033xsin(0.32)]

0.02L

X0.3304

(2)拋物線(xiàn)插值

插值誤差：

R,(X)=于(X—X。)(x—X])(x—(X-x0)(X]-x)(x-x2)

3!o

3

max(x-xo)(x1-x)(x2-x)3x0.01_16

662

拋物線(xiàn)插值公式為：

P2M

=(方一再)("一々)sin(xo)+(尤一%)(%一%2)sin(/)+->鵬)J=(X-XO

(X。-X|)(x0-x2)(X|-x0)(X]-x2)(x2-x,)(x2-x0)-

1(X]-x)(x-x)、.，、

—!------2-----sin(x)4-(x-x)(x-X)sm。1)-匕工叫呢狀。

0.022002=3

P,(0.3367)

10~5

[3,8445xsin(0.32)+38.911xsin(0.34)-2.7555xsin(0.36)]

0.022

10~5

[3.8445xsin(0.32)+38.91lxsin(0.34)-2.7555xsin(0.36)]=0.33037439.

0.022

經(jīng)四舍五入后得：P2(0.3367)=0.330374,與sin(0.3367)=0.330374?!…精確值相比

較，在插值誤差范圍內(nèi)完全吻合！XQX]

1.3分口.庭侍芻樣條而敢

X+X

1、(p.56,習(xí)題33)設(shè)分段多項(xiàng)式S(x)=\,11<一r一<I

2x3+bx2+cx-\l<x<2

是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b,c的值.

【解】依題意，要求S(x)在x=l節(jié)點(diǎn)

函數(shù)值連續(xù)：S_(l)=l3+12=2x13+bxF+cxl—1=S+(1),

即：b+c=\(1)

一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：S：(l)=3x『+2xl=6x『+2xbxl+c=S：(l),

即：2b+c=-}(2)

解方程組(1)和(2),得b=—2,c=3,即

…fx3+x20<x<l

S(X)—5--

2x—2x~+3x—11WxK2

由于5：(1)=3乂2乂1+2=6乂2、1-2乂2=5；(1),所以5儀)在x=l節(jié)點(diǎn)的二階

導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。

2、已知函數(shù)？=—二的一組數(shù)據(jù)，X。=0,X1=1,/=2和y(,=1,弘=0.5,乃=0-2,

1+x

(1)求其分段線(xiàn)性插值函數(shù)；

(2)計(jì)算/(1.5)的近似值，并根據(jù)余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差。

【解】(1)依題意，將x分為［0,1］和［1,2］兩段,對(duì)應(yīng)的插值函數(shù)為酬(x)和S2(x),利用

拉格朗H線(xiàn)性插值公式，求得

。/、X-X|x-xx-\.x-0..___.

L0

S|(x)=-----y0+------月=——xl+——x0.5=-0.5x+l；

x。一無(wú)］x,—x0()-11-0

S,(x)=xf+x——=x-2*05+*0.2=-0.3x+0.8

_

%ix2元2_X］-［—22-1

(2)/(1.5)=?0.30769230769---,而&(L5)=-0.3x1.5+0.8=0.35,

實(shí)際誤差為:I/(1.5)-S2(1.5)1=0.0423-??<0.05,

由心少休，f⑵(x)=-)(3)(X=24x(1-.，)

/(1+X2)35i(1+X2)4'

知〃2=/⑵(1)=0.5,則余項(xiàng)表達(dá)式

I尸⑵⑶IM

R(x)=1~0(^-2)l<-^x0.52=0.54=0.0625<0.5

1.4曲演擬合

1、(p.57,習(xí)題35)用最小二乘法解卜列超定方程組:

2x+4y=11

3x-5y=3

x+2y=6

2x+y=7

【解】構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下:

Q(x,y)=(2x+4y-ll)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(2x+y-7)2,

分別就Q對(duì)x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：

--------=0：6x-y=17(1),

dx

'歷=0：-3x+46y=48

⑵，

辦

解方程組（1）和（2）,得

46x17+486x48+3x17

?3.04029,y?1.24176

273273

2、（p.57,習(xí)題37）用最小二乘法求形如y=a+b/的多項(xiàng)式，使之與下列數(shù)據(jù)相擬合。

【解】令X=/,則)，=。+bX為線(xiàn)性擬合，根據(jù)公式(p.39,公式43),取m=2,al=0,

N=5,求得

'555

5a+/?Zx,=5a+/?Zxj=(1)

<1=1f=l1=1

555555

+bX2=aX2

Y'Y'+匕=^X,%(2)

、i=li=li=1i=li=l；=1

依據(jù)上式中的求和項(xiàng)，列出下表

22

XiXi(=Xi)X,2(=x/)Xiyi(=Xjyi)

19193611303216859

2532.362539062520187.5

314996192352147089

3873.314442085136105845.2

4497.819363748096189340.8

￡157271.453277277699369321.5

將所求得的系數(shù)代入方程組（1）和（2）,得

5劭+53278=271.4(1)

5327ao+7277699b=369321.5(2)

271.4x7277699-369321.5x53277791878.1八

a=----------------------------------=-----------x0.97258；

5x7277699-5327x53278011566

,5x369321.5-5327x271.4400859.7八，、“八，

b=--------------------------=---------=0.05004；

5x7277699-5327x53278011566

即：y=0.97258+0.05004x\

2.1機(jī)械求尊檢施(&求在.

1、(p.94,習(xí)題3)確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公

式所具有的代數(shù)精度：

(1)ffMdx?AJ\-h)+AJ(0)+AJW：

J-h

3

+&f(/；

⑶。(x)dxa；/(O)+Ao/(x。)。

【解】(1)令/(x)=l,x,x2時(shí)等式精確成立，可列出如下方程組:

A。+A1+A，2=2/?(1)

<—AQ+A-)=0(2)

.2

+A.y=—h(3)

[3

h4￡f(x)dx-h

解得：i40=Ao=—,A,=—A,即：§"(T0+4/(0)+/(//)],可以

0233J-h

驗(yàn)證，對(duì)/(x)=/公式亦成立，而對(duì)/(x)=/不成立，故公式(1)具有3次代數(shù)精度。

(2)令/(x)=l,x,/時(shí)等式精確成立，可列出如下方程組：

4+4+A?=1⑴

<A。+2Al+34=2(2)

3A0+124+274=16(3)

解得：A0=4=|M,=-1>即：[fMdx?-/(I)+2/(1)1,可以

驗(yàn)證，對(duì)/(x)=d公式亦成立，而對(duì)/(x)=/不成立，故公式聞)具有3次代數(shù)精度。

A)=

(3)令/(x)=l,x時(shí)等式精確成立，可解得：<

%0二

即：+可以驗(yàn)證,對(duì)/(x)=/公式亦成立,而對(duì)

/(x)=d不成立，故公式(3)具有2次代數(shù)精度。

2、(p.95,習(xí)題6)給定求積節(jié)點(diǎn)與=4,再=二，試構(gòu)造計(jì)算積分/=f/(x)dx的插值型

求積公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度。

【解】依題意，先求插值求積系數(shù)：

X--3I

.fx-x,.14,13.1

=I------*dx=I———,dx=-2x(z一x~2—x)=—；

°」)/-為」)1_3、2402

4~4

1

X--

A.-f—~~--dx-f———?i/x=2x(―A'2——x)￡

心-Xo13_j,v24

02

4~4

插值求積公式:

±A"(x?)=g/(；)+；/(全

①當(dāng)/(x)=l,左邊=(/(x)dx=1；右邊=Lxl+,xl=l；左=右；

②當(dāng)/(x)=x,左邊=(/(x)dx=L-=—；右邊=LxL+!x3=,；左=右；

20224242

③當(dāng)/(x)=x2,左邊=ff(x)dx=-x3=-；右邊+1x2=—；左W右:

30321621616

故該插值求積公式具有?次代數(shù)精度。

2.2糅超2式檢Simpson公式

1,(p.95,習(xí)題9)設(shè)已給出/(x)=l+e-*sin4x的數(shù)據(jù)表,

X0.000.250.500.751.00

f(x)1.000001.655341.551521.066660.72159

分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分I=ff(x)dx的近似值。

【解】(1)用復(fù)化梯形法：

a—0,h—l,n=5,h=———-=—=0.25

n4

?-lhh〃-1

Ts=Z-[/UJ+/(xt+l)]=-[/(?)+2>g+f(b)]

k=0''k=\

75=號(hào)025x{/(0.00)+2X"(0.25)+/(0.50)+/(0.75)]+/(1.00))

7；=0.125x[1.00000+2x(1.65534+1.55152+1.06666)+0.72159]

7；=1.28358

(2)用復(fù)化辛普生法：

a—0,b—I,n—2,h——~~—=—=0.5

n2

n-l卜卜?-l?-l

S2=Zz"(a+"(xi)+/(4M)]=z"(a)+4Z"x1)+2Z〃4)+/S)]

+

M6426Mk+-仁

s,=竽x{/(0.00)+4X"(0.25)+/(0.75)]+2x/(0.50)+/(1.00))

o

S2=-X[1.00000+10.888+3.10304+0.72159]?1.30939

2、(p.95,習(xí)題10)設(shè)用復(fù)化梯形法計(jì)算積分/=fe'dx,為使截?cái)嗾`差不超過(guò)IO",

2

問(wèn)應(yīng)當(dāng)劃分區(qū)間【0,1】為多少等分？如果改用復(fù)化辛普生法呢？

【解】(1)用復(fù)化梯形法，a=O,b=l,/(x)=f'(x)=f'(x)=ex,設(shè)需劃分n等分,

則其截?cái)嗾`差表達(dá)式為:

in..,7?(b-a)，”,八(I—。),

IR1=11-T1=--------max/''(J)=------]

丁Tn,12n212n3

依題意，要求I/?,K'XIO-5,即

2

P1z,IO5

--<-xl0-5=>n2>——x—?212.849,可取“=213。

⑵226

(2)用復(fù)化辛普生法，a=0,b=l,/(x)=f'(x)=/""(x)=e\截?cái)嗾`差表達(dá)式

為：

??,?3一a)，八(1一°)’e

IRDcf1=11-c1=------------maxf(J)=----------e=-------；

180(2/i)42880/2880/?4

依題意，要求KLX10-5,即

—<-xlO-5=?n4>gxl°?3.70666,可取〃=4,劃分8等分。

2880n421440

2.3敢保微分

1,(p.96,習(xí)題24)導(dǎo)出三點(diǎn)公式(51)、(52)和(53)的余項(xiàng)表達(dá)式

;(/)RZ7)+”區(qū))-/(x)](51)

2n2

廠(chǎng)區(qū))”][一/(/)+/(￡)1(52)

f\x2卜]"(%)-4/(匹)+3/(X2)](53)

2/7

【解】如果只求節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，利用插值型求導(dǎo)公式得到的余項(xiàng)表達(dá)式為

f(?+1)/"

R(Xk)=/'(xJ-p'(x,)=-；xn(.x.)

由三點(diǎn)公式(51)、(52)和(53)可知，n=2,h=x1-xQ=x2-xlf則

[Z+1J!y=iJ!3

尸2旬&)20……)=廣’記。）心

xfJ(X1-Xj)

(2+1)!J=06

g）=就坨（”“二中氏7。）（一/）二&)/

（，+1只j=053

/2

2、（p.96,習(xí)題25）設(shè)已給出了（%）=尋］■的數(shù)據(jù)表,

X1.01.11.2

f(x)0.25000.22680.2066

試用三點(diǎn)公式計(jì)算/'（1.0）,/'（1.1）,7（1.2）的值，并估計(jì)誤差。

【解】已知X。=1.0,玉=1.1,尤2=1,2，力=$一玉)=%2一再=01，用三點(diǎn)公式計(jì)算微商：

/,(1.0)?—[-37(1.0)+4/(1.1)-/(1.2)]=—[-3X0.2500+4x0.2268-0.2066]=-0.2470

2h2x0.1

川」)*m.。)+*.2)]=&1H).25。。+。.2。66]f217。

/'(1.2)[/(1.0)-4/(l.l)+3/(1.2)]=—1—[0.2500-4x0.2268+3x0.2066]=-0.1870

2h2x0.1

1-26-24

/(x)=--------r；=>/'(x)=--------r；n/"W=--------r；=>/"'U)=--------，

(1+x)2(1+x)3(1+x)4(1+x)5r

用余項(xiàng)表達(dá)式計(jì)算誤差

ST八前…5

和」）=—一八屋馴尸?！?。⑵

“2）二野2八就為.04967

3、(p.96,習(xí)題26)設(shè)/(x)=sinx,分別取步長(zhǎng)〃=0.1,0.01,0.001,用中點(diǎn)公式(52)

計(jì)算/'(0.8)的值，令中間數(shù)據(jù)保留小數(shù)點(diǎn)后第6位。

【解】中心差商公式：/⑷/("+")一""一份,截?cái)嗾`差：砥/0=白2/?？?/p>

2h3!

見(jiàn)步長(zhǎng)h越小，截?cái)嗾`差亦越小。

(1)/?=O.l,xo=0.8-/Z=0.7,X2=0.8+力=0.9,則

/,(0.8)?—[sin(0.9)-sin(0.7)]?―1—[0.783327-0.644218]?0.695545；

2h2x0.1

(2)h—O.Ol,xo=0.8—h=0.79,x,=0.8+h=0.81,則

/'(0.8)?—[sin(0.81)-sin(0.79)]?―,—[0.724287-0.710353]?0.6967

2h2x0.01

(3)/z=O.OOl,xo=0.8—/Z=0.799,%2=0?8+〃=0.801,則

/'(0.8)?—[sin(0.801)-sin(0.799)]?—!—[0.718052-0.716659]?0.6965

2h2x0.01

而精確值/'(0.8)=cos(0.8)=0.6967067…，可見(jiàn)當(dāng)〃=0.01時(shí)得到的誤差最小。在

h=0.001時(shí)反而誤差增大的原因是/(0.8+%)與/(0.8-〃)很接近，直接相減會(huì)造成有效

數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。因此，從舍入誤差的角度看,步長(zhǎng)不宜太小。

3.1Euler格式

1、(P.124,題1)列出求解下列初值問(wèn)題的歐拉格式

(l)y'=x2-y2(0<x<0.4),y(0)=l,取〃=0.2；

(2)y=(上)+?(l<x<1.2),y(0)=1,取力=0.2；

【解】⑴y“+i=先+〃)'：=y"+g；—?)=y”+02x(x；—y；)；

(2)—=%+ft(4+—)=先+02x(4+2k)?

X”x〃X“x“

2、(p.124,題2)取/?=0.2,用歐拉方法求解初值問(wèn)題y'=—y—孫2(o〈xwo6),

y(0)=1?

【解】歐拉格式：y“+|=y?+hy'?=yn+h(-yn-xny；,)=y,,+0.2x(_y“一居y；):化

簡(jiǎn)后，y,+|=0.8%-0.2招才,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。

n0123

0.00.20.40.6

Xn

1.00.80.61440.4613

yn

1,

3、(p.124,題3)取力=0.1,用歐拉方法求解初值問(wèn)題y'=——--2y2(0<x<4),

1+x

y(0)=0o并與精確解y=±2x1、比較計(jì)算結(jié)果。

1+x

11

【解】歐拉格式：~~-2y,)=y?+0.2x(-一-2y,)

1+r看1+xr；;

f)2

化簡(jiǎn)后，=y“_().4才+一^,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。

1+x”

1、(p.124,題7)用改進(jìn)的歐拉方法求解上述題2,并比較計(jì)算結(jié)果。

【解】因?yàn)閥'=/(x,y)=—y—x/(04x40.6),〃=0.2,且y(0)=1,則改進(jìn)的歐拉

公式：

%=%+好(x,,方)=先+h(-yn-xnyl)=0.8%-0.2x”城

1九=y”+hf(x?，")=>“+加一%—)=y?-02x(%+x“#)。

(匕,+九)

y“+i=—；-

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。

n0123

0.00.20.40.6

%1.00.67300.51470.3941

州0.760.70920.55640.4319

為0.880.69110.53560.413

與原結(jié)果比較見(jiàn)、.表

n0123

小0.00.20.40.6

yn1.00.80.61440.4613

%(改進(jìn))0.880.69110.53560.413

3.3龍格-腐偌方法

1、(p.124,題11)用四階經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法求解初值問(wèn)題)，'=8-3)，，y(0)=2,試

取步長(zhǎng)h=0.2計(jì)算y(0.4)的近似值，要求小數(shù)點(diǎn)后保留4位數(shù)字。

【解】四階經(jīng)典的龍格-庫(kù)塔方法公式：

=%+](&+2K2+2/+降)

6

&=/氏,北)

h

他=/(X"“+/)；

n+-z

2乙

h

勺=/口Q“+7K2)

n+-Z

2匕

K4=f(xn+i,y?+hK3)

列表求得y(O4)如下:

n〃

Xyn

00.02.000

10.22.3004

20.42.4654

4.1迭代注笈收斂定理

20

1、(p.153,題1)試取與=1,用迭代公式4+]=—----------(%=0,1,2,…)，求

X1.+2%卜+10

方程/+2x2+10x-20=0的根，要求準(zhǔn)確到ICT?。

【解】迭代計(jì)算結(jié)果列于下表

kXkLxdl<0.001kXk\Xk-Xk-t\<0.001

11.538460.53846N61.365930.00937N

21.295020.24344N71.370090.00416N

31.401820.10680N81.368240.00185N

41.354210.04761N91.369060.00082Y

51.375300.02109N

因?yàn)镮九9一18R0.00082<103,所以無(wú)*a/=1-36906。

2、(p.153,題2)證明方程工=，85%有且僅有一實(shí)根。試確定這樣的區(qū)間回，使迭

2

代過(guò)程4+]=gcosx*對(duì)與w[a,萬(wàn)]均收斂。

【證明】設(shè)：g(x)=gcosx,則當(dāng)xwR時(shí)，g(x)=gcosxw,且一階導(dǎo)數(shù)

g'(x)=-gsinx連續(xù)，lg'(x)l=l-gsinxlwg<l,所以迭代過(guò)程Xp=gcosx*對(duì)

x()wR均收斂。(壓縮映像定理)，方程x='cosx有且僅有一實(shí)根?！醋C畢)

2

3、(p.153,題4)證明迭代過(guò)程4向=巫+-!-對(duì)任意初值X?！?均收斂于血。

2x,

【證明】設(shè)：g(x)=±+,，對(duì)于任意x>l,因?yàn)?+,22、仔?'=五，所以g(x)2五。

2x2xV2x

一階導(dǎo)數(shù)8'。)=’-44,<1，根據(jù)壓縮映像定理，迭代公式Sy=9+」-對(duì)任意

2x22X.

初值%>1均收斂。假設(shè)lim4=x*,對(duì)迭代式x.=紅+'-兩邊取極限，則有

182X,.

X*=^+3,則(x*)2=2,解得￡=±也，因￡=一行不在x>l范圍內(nèi)，須舍去。

2x

故X*=正?！醋C畢〉

4.2牛碩迭代注

1、(p.154,題17)試用牛頓迭代法求下列方程的根，要求計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字:

3

(1)%—3x—1=0?x0=2

2A

(2)x—3x—e+2=0,x0=1

【解】(1)^/(X)=X3-3X-1,則/(工)=3%2-3,牛頓迭代公式:

24+1

伙=0,1,2,…),迭代計(jì)算過(guò)

/(4)3x；-33(x；-l)

程見(jiàn)下列表。

kXk\Xk-Xk./\<0.0001kXk<0.0001

11.888890.11111N31.879390.00006Y

21.879450.00944N

因?yàn)镮/~x2飪0.00006<104,所以x*a￡=1.879。

(2)設(shè)/。)二%2一3%-01+2,則尸(x)=2x—3-牛頓迭代公式:

/區(qū))X；-3x?-e"+2x；(XT)—2

xx=x%=(k=0,1,2,…)

k+l=kXtXt

f\xk)2xk-3-e2xk-3-e

,迭代計(jì)算過(guò)，匣見(jiàn)下列表。

kXk\Xk-Xk-l\<0.0001kXk\Xk-Xk-l\<0.001

10.268940.73106N30.257530.00014N

20.257390.01155N40.257530.00000Y

4

因?yàn)?￡一乙區(qū)0.00000<10,所以x*ax4=0.2575。

2、(p.154,題18)應(yīng)用牛頓法于方程。=0,導(dǎo)出求立方根布(a>0)的迭代公式,

并證明該迭代公式具有二階收斂性。

【證明】(1)設(shè)：f(x)=x3-a,則/'(x)=3/,對(duì)任意X>0,牛頓迭代公式

/(X..)-a2xl+a,,、，，

Jkk

xk+i=xk-=xk-,=-k=0,l,2,…

f\xk)"3xl3x；

3.

(2)由以上迭代公式，有：lim4=x*=MZ0設(shè)g(x)=—,-(x>0)

283x

g(x*)=x*：§'(%*)==0；g"(x*)=^=/。