專題11 切線問題（講義）2024高考總復習壓軸題教師版

第第頁專題11切線問題橢圓的切線方程：橢圓上一點處的切線方程是；橢圓外一點所引兩條切線方程是.雙曲線的切線方程：雙曲線上一點處的切線方程是；雙曲線上一點所引兩條切線方程是.拋物線的切線方程：拋物線上一點處的切線方程是；拋物線上一點所引兩條切線方程是.4.設拋物線的焦點為，若過點的直線分別與拋物線相切于兩點，則.5.設橢圓:的焦點為，若過點的直線分別與橢圓相切于兩點，則.6.設雙曲線:的焦點為，若過點的直線分別與橢圓相切于兩點，則.題型【一】、圓中的切線問題已知圓方程為:,若已知切點在圓上,則切線只有一條,其方程是:已知圓方程為:,若已知切點在圓上,則該圓過點的切線方程為;已知圓方程為圓:.(1)過圓上的點的切線方程為.(2)過圓外一點作圓的兩條切線,則切點弦方程為.例1．（2021·河南鄭州·統(tǒng)考三模）已知圓過點、、，則圓在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設圓的一般方程為，將點、、的坐標代入圓的方程，可求得、、的值，可得出圓心的坐標，求出所在直線的斜率，可求得切線的斜率，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】設圓的一般方程為，由題意可得，解得，所以，圓的方程為，圓心為，直線的斜率為，因此，圓在點處的切線方程為，即.故選：A.【點睛】方法點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式．例2．（2023·全國·高三專題練習）過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長公式求出的長，進而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個圓的方程，兩方程作差后計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點作圓的兩條切線，設切點分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.1．（2022·河北石家莊·一模）與直線垂直，且與圓相切的直線方程是（

）.A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】設所求的直線方程為，解方程即得解.【詳解】解：由題得直線的斜率為，所以所求的直線的斜率為，設所求的直線方程為.因為所求直線與圓相切，所以.所以所求的直線方程為或.故選：C2．（2022·江西·模擬預測（理））已知圓O：，直線l：，P為直線l上一動點，過點P作圓O的兩條切線PA，PB，A，B為切點，則（

）A．點P到圓O上的點的最小距離為 B．線段PA長度的最小值為C．的最小值為3 D．存在點P，使得的面積為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合圓的性質(zhì)、圓的切線長定理逐項分析各個選項，計算判斷作答.【詳解】圓O：的圓心，半徑，如圖，對于A，點O到直線l的距離，則點P到圓O上的點的最小距離為，A不正確；對于B，由選項A知，，由切線長定理得，B不正確；對于C，依題意，，在中，，則，由選項B知，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當時，，C正確；對于D，，，由選項B知，顯然對單調(diào)遞增，因此，當時，，D不正確.故選：C3．（2021·重慶八中模擬預測）已知直線與x軸相交于點A，過直線l上的動點P作圓的兩條切線，切點分別為C，D兩點，記M是的中點，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】設點，，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得C，D在以OP為直徑的圓上，求得其圓的方程，再由C，D在圓上，可得直線CD的方程，求得直線CD恒過定點，從而得M在以OQ為直徑的圓，得出圓的方程可求得的最小值．【詳解】設點，，因為PD，PC是圓的切線，所以，所以C，D在以OP為直徑的圓上，其圓的方程為，又C，D在圓上，則將兩個圓的方程作差得直線CD的方程：，即，所以直線CD恒過定點，又因為，M，Q，C，D四點共線，所以，即M在以OQ為直徑的圓上，其圓心為，半徑為，所以，所以的最小值為，故選：A．【點睛】方法點睛：求直線恒過點的方法：方法一（換元法）：根據(jù)直線方程的點斜式直線的方程變成，將帶入原方程之后，所以直線過定點；方法二（特殊引路法）：因為直線的中的m是取不同值變化而變化，但是一定是圍繞一個點進行旋轉(zhuǎn)，需要將兩條直線相交就能得到一個定點.取兩個m的值帶入原方程得到兩個方程，對兩個方程求解可得定點.題型【二】、橢圓中的切線問題1.設Px0,y0設Px0,y0為橢圓x2a2+例3．（2023下·天津·模擬）圓在點處的切線方程為，類似地，可以求得橢圓在點處的切線方程為.【答案】【分析】類比得到在點處的切線方程為，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】在點處的切線方程為，類比得到在點處的切線方程為，故橢圓在點處的切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查了類比推理，意在考查學生的推理能力和計算能力.例4．（2023·全國·高三專題練習）已知圓在點處的切線方程為類似地,可以求得橢圓在點(4,2)處的切線方程為【答案】【分析】把寫成，切線方程寫成，根據(jù)圓方程與其切線方程的結(jié)構(gòu)形式可以得到橢圓相應的切線方程.【詳解】圓的方程可寫成,圓在點處的切線方程為,類似地,因橢圓方程為：，故橢圓在點處的切線方程為即，故答案為：.1．（2022·河南焦作·一模（理））已知橢圓的左?右焦點分別為，，M為C上一點，且的內(nèi)心為，若的面積為4b，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，三角形的面積可求出橢圓的離心率，所求即為離心率的倒數(shù)可得解.【詳解】由題意可得，的內(nèi)心到軸的距離就是內(nèi)切圓的半徑.又點在橢圓上，由橢圓的定義，得，，即.又，所以，因為，所以，即，所以，解得或（舍去），所以.故選：B2．（2022·河南·一模（理））已知橢圓，其長軸長為4且離心率為，在橢圓上任取一點P，過點P作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】D【解析】【分析】由已知條件解得a，b，進而可得橢圓的標準方程．不妨設，得，換元，利用函數(shù)單調(diào)性即可求解．【詳解】由橢圓：，其長軸長為4且離心率為，，，，解得，，橢圓的標準方程為：．再設點，則，可得，點，，，則不妨設，則，令，，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在遞增，故，此時，故的最小值為0，故選：D．3．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為，橢圓的離心率為，為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于、兩點，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用橢圓的離心率可得，分析可知為圓的一條直徑，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面積的最大值.【詳解】因為，所以，，所以，蒙日圓的方程為，由已知條件可得，則為圓的一條直徑，則，所以，，當且僅當時，等號成立.故選：A.題型【三】、雙曲線中的切線問題1、設Px0,y過Px0,y例5．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點在雙曲線上，則該雙曲線在點處的切線的斜率為．【答案】/【分析】依題意，注意到點在橢圓上，由此得到橢圓在點處的切線方程；再結(jié)合上述性質(zhì)得到橢圓與雙曲線在其公共點處的斜率間的關(guān)系，進而求出雙曲線在點處的切線的斜率．也可以利用結(jié)論6直接得到答案．【詳解】根據(jù)結(jié)論6，由題意得橢圓在點處的切線方程為，即，該直線的斜率為，由結(jié)論5得知，該雙曲線在點處的切線的斜率為．故答案為：.例6．（2022·全國·高三專題練習）設雙曲線：上點．求雙曲線在點處的切線的方程．【答案】.【分析】將雙曲線在某點的切線方程轉(zhuǎn)化為曲線在某點的切線方程，利用導數(shù)求出在某點的切線斜率，進一步求出切線的方程.【詳解】由可得，根據(jù)題目條件，可知求曲線在點P處的切線的方程，∴曲線在點P處的切線斜率為∴曲線在點P處的切線方程為化簡得∴雙曲線C在點P處的切線的方程為．1、（2021·山西呂梁·一模（理））過雙曲線：的右焦點作圓的一條切線，切點為B，交y軸于D，若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，利用三角形的等積法建立方程可化簡求出離心率.【詳解】因為，且切點為B，所以，因為，所以，故，因為，故，化簡可得，即，所以，故選：C2．（2022·廣西廣西·模擬預測（理））已知為雙曲線的左焦點，若雙曲線右支上存在一點，使直線與圓相切，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相切以及直線與漸近線的斜率的關(guān)系列不等式，化簡求得離心率的取值范圍.【詳解】依題意可知，直線的斜率存在，設直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，兩邊平方并化簡得，雙曲線的一條漸近線為，由于在雙曲線的右支，所以，即，，.故選：A題型【四】、拋物線中的切線問題1、設Px0,y設Px0,y例7．（2023·全國·模擬預測）已知拋物線的一條切線方程為，則的準線方程為．【答案】【分析】由，消去得，由求出，從而求得準線方程．【詳解】由，消去得，由題意，解得，則拋物線方程為：，所以拋物線的準線方程為：，即．故答案為：．例8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知為坐標原點，點在拋物線上，過直線上一點作拋物線的兩條切線，切點分別為．則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】因為在拋物線上，所以，解得，所以．設．由，求導得，則直線，直線．由解得所以，又在直線上，得．所以．故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的切線方程.1、(2014年遼寧卷)已知點在拋物線：的準線上，過點的直線與在第一象限相切于點，記的焦點為，則直線的斜率為()A.B.C.D.【答案】D【解析】拋物線為：，設，則切線方程為：，代入點A，得，選D。秒殺公式：阿基米德三角形：由，選D。2、（2021·江西·上高二中模擬預測（文））拋物線：與雙曲線：有一個公共焦點，過上一點向作兩條切線，切點分別為、，則（

）A．49 B．68 C．32 D．52【答案】A【解析】【分析】將P坐標代入雙曲線方程求得雙曲線的方程，進一步求得拋物線的方程中的參數(shù)p,利用導數(shù)幾何意義求得兩切線的方程，利用韋達定理求得兩根之和，兩根之積，利用拋物線的定義，將A,B到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，表示為A,B的縱坐標的關(guān)系式，求得|AF||BF|關(guān)于A,B縱坐標的表達式.【詳解】由P在雙曲線上，將P點坐標代入雙曲線的方程，，∴雙曲線的方程為，雙曲線的焦點在y軸上，∴,∴,雙曲線的焦點坐標為,拋物線的焦點坐標為,∵拋物線與雙曲線的焦點重合，∴，∴拋物線的準線為，，拋物線的方程為,即,,設,切線PA,PB的斜率分別為,切線方程分別為將P的坐標及,代入，并整理得,,可得為方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理得,=,故選:A.【點睛】本題考查雙曲線與拋物線的方程和性質(zhì)，考查利用導數(shù)研究切線問題，關(guān)鍵是設而不求思想和韋達定理的靈活運用.題型【五】、綜合問題例9．（2020·甘肅·武威第六中學模擬預測（文））已知拋物線：，過點的動直線與拋物線交于不同的兩點、，分別以、為切點作拋物線的切線、，直線、交于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)求面積的最小值，并求出此時直線的方程.【答案】(1)(2)1，【解析】【分析】（1）設，，分別求出以為切點的切線方程，聯(lián)立兩切線方程表示出點的坐標，再設直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，代入可得點的軌跡方程；

（2）由（1）知和到直線的距離，利用三角形面積公式求得面積，可求得S的最小值和直線的方程.(1)設，，，則以A為切點的切線為，整理得：，同理：以為切點的切線為：，聯(lián)立方程組：，解得，設直線的方程為：，聯(lián)立方程組，整理得：，恒成立，

由韋達定理得：，，故，所以點的軌跡方程為；(2)解：由（1）知：，

到直線的距離為：，

∴，

∴時，取得最小值，此時直線的方程為.【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線的交點相關(guān)問題，涉及到拋物線的切線和三角形的面積的最值，直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．屬中檔題.例10．（2022·吉林長春·模擬預測（理））已知圓過點，且與直線相切.(1)求圓心的軌跡的方程；(2)過點作直線交軌跡于、兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，過點作，垂足為，在平面內(nèi)是否存在定點，使得為定值.若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在定點，使得，點.【解析】【分析】（1）設出點M的坐標，利用給定條件列式化簡作答.（2）設出直線的方程，與軌跡的方程聯(lián)立，探求出直線所過定點，再推理計算作答.(1)設圓心，依題意，，化簡整理得：，所以圓心的軌跡的方程是：.(2)依題意，直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為：，，則，，由拋物線對稱性知，點在軌跡C上，直線的斜率為，直線的方程為：，化簡整理得：，由消去x并整理得：，則有，直線的方程化為：，因此直線恒過定點，因于點Q，于是得是直角三角形，且點是斜邊的中點，則恒有，令點為E，從而有，所以存在定點，使得為定值，點E坐標為.【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理并結(jié)合已知推理求解.例11．（2022·山西晉中·一模（文））在平面直角坐標系xOy中，已知直線與圓：相切，另外，橢圓：的離心率為，過左焦點作x軸的垂線交橢圓于C，D兩點．且．(1)求圓的方程與橢圓的方程；(2)經(jīng)過圓上一點P作橢圓的兩條切線，切點分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓相交于M，N兩點（異于點P），求△OAB的面積的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）由直線與圓的相切關(guān)系及點線距離公式求參數(shù)r，即可得圓的方程，根據(jù)橢圓離心率、及橢圓參數(shù)關(guān)系求出a、b、c，即可得橢圓的方程.（2）設、、，討論直線PA，PB斜率存在性，則直線PA為、直線PB為，聯(lián)立橢圓方程并結(jié)合所得一元二次方程求、，進而得直線PA為、直線PB為，結(jié)合在直線PA，PB上有AB為，聯(lián)立橢圓方程，應用韋達定理、弦長公式、點線距離公式，結(jié)合三角形面積公式得求面積范圍.(1)由題設，圓：的圓心為，因為直線與圓相切，則，所以圓的方程為，因為橢圓的離心率為，即，即，由，則，又，所以，解得，，所以橢圓的方程為．綜上，圓為，橢圓為.(2)設點，，．當直線PA，PB斜率存在時，設直線PA，PB的斜率分別為，，則直線PA為，直線PB為．由，消去y得：．所以．令，整理得，則，所以直線PA為，化簡得：