高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)本章復(fù)習(xí)教案蘇教版必修4-

第一章三角函數(shù)本章復(fù)習(xí)eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計))知識網(wǎng)絡(luò)1．任意角的概念是本章的基礎(chǔ)，推廣了角，擴(kuò)大了研究的范圍．在此基礎(chǔ)上，為了計算中的簡單，引入了兩種度量制度：角度制與弧度制，但是其本質(zhì)是一樣的．其最基本的一個應(yīng)用就是簡化了弧長與扇形面積公式．同時也為定義任意角的三角函數(shù)作了前期工作，也就得到了本章的核心問題——任意角的三角函數(shù)定義．從這個核心出發(fā)，分成四條路線走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，同時根據(jù)定義就可以推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式．知道了核心的本質(zhì)意義在坐標(biāo)系里面，可以定義點的坐標(biāo)，為推導(dǎo)第三章和角公式作了應(yīng)有的準(zhǔn)備．而和角公式的兩個特殊方面只是本身的一個推廣，由此就得來了復(fù)雜多變的三角函數(shù)公式，而這些復(fù)雜的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本質(zhì)又是和角公式．拋開比例的式子，應(yīng)用弧度制的度量作為基礎(chǔ)，就有了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，這是三角與函數(shù)結(jié)合的產(chǎn)物，既有函數(shù)的特征，因此可以用函數(shù)的知識來解，又具有三角的特性，因此還可以用這一特點進(jìn)行一些特殊的運算．所有的推導(dǎo)可以應(yīng)用在計算與化簡、證明恒等式上．2．?dāng)?shù)學(xué)的魅力在于系統(tǒng)、嚴(yán)密，學(xué)習(xí)的興趣在于環(huán)環(huán)相扣．本章最為理想的復(fù)習(xí)方法就是引導(dǎo)學(xué)生打通本章中的這張知識網(wǎng)絡(luò)圖，這是進(jìn)行具體問題具體分析的理論依據(jù)，也是解決問題最基本的方法．教師指導(dǎo)學(xué)生步步為營，將其引入數(shù)學(xué)王國，暢游科學(xué)殿堂．《三角函數(shù)》一章知識網(wǎng)絡(luò)圖三維目標(biāo)1．通過全章復(fù)習(xí)，讓學(xué)生切實掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)，會判定三角函數(shù)的奇偶性，確定單調(diào)區(qū)間及求周期的方法．熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及六組誘導(dǎo)公式，弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系和互相聯(lián)系，讓學(xué)生做到記準(zhǔn)、用熟．2．要求學(xué)生會用“五點法”作正、余弦函數(shù)的簡圖，掌握應(yīng)用基本三角變換公式的求值、化簡、證明．3．本章的最終目標(biāo)是讓學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本運算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化規(guī)思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們善于總結(jié)、善于合作、善于創(chuàng)新以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力．重點難點教學(xué)重點：三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．教學(xué)難點：三角恒等變形及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合運用．課時安排1課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)了解一下全章的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并回顧思考本章學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容：首先，我們給出了三角函數(shù)的定義，包括任意角的三角函數(shù)的符號，同角三角函數(shù)的關(guān)系式，誘導(dǎo)公式．又共同學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)．接下來，我們又共同探討了它們的應(yīng)用，并能運用上述公式和性質(zhì)進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值、證明以及它們的綜合運用．由此展開全章的系統(tǒng)復(fù)習(xí)．思路2.(問題導(dǎo)入)你現(xiàn)在已經(jīng)會求任意角的三角函數(shù)值，會畫三角函數(shù)的圖象，會用三角函數(shù)模型來解釋現(xiàn)實生活中具有周期性變換規(guī)律的一些現(xiàn)象．你是如何學(xué)習(xí)到這些知識的？又是如何提高自己能力的？由此引導(dǎo)學(xué)生回顧全章知識的形成過程，進(jìn)而展開全面復(fù)習(xí)．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知識鞏固))①我們是怎樣推廣任意角的？又是怎樣得到任意角的三角函數(shù)定義的？②本章學(xué)習(xí)了哪些同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式？怎樣推導(dǎo)的？③本章都學(xué)習(xí)了哪些誘導(dǎo)公式？各有什么用途？怎樣記憶？④你是如何得到正弦曲線、余弦曲線和正切曲線的？⑤你能從圖象上說出三角函數(shù)的哪些性質(zhì)？活動：問題①，為了使學(xué)生了解知識的形成順序與過程，教師可引導(dǎo)學(xué)生回憶從前的學(xué)習(xí)情景，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)是在什么樣的背景下向前推進(jìn)的，同時也加強(qiáng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的記憶，居高臨下地來掌握全章知識．問題②，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶三角函數(shù)定義，回憶同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo)，并回憶這些公式的作用和應(yīng)用方法技巧．利用平方關(guān)系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，也就是要就角所在象限進(jìn)行分類討論．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了同一個角的三角函數(shù)間的相互關(guān)系，利用它可以使解題更方便，但要注意公式成立的前提是角對應(yīng)的三角函數(shù)有意義．sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.問題③，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧的同時，最好能利用多媒體或幻燈片來展示這些公式．以前學(xué)習(xí)的都是孤立的、零碎的，現(xiàn)在是放在一起記憶提高．幻燈片如下：公式一公式二公式三sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Zsin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanαsin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα公式四公式五公式六sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanαsin(eq\f(π,2)－α)＝cosα，cos(eq\f(π,2)－α)＝sinαsin(eq\f(π,2)＋α)＝cosα，cos(eq\f(π,2)＋α)＝－sinα問題④，三角函數(shù)性質(zhì)是通過圖象來研究的，而且畫圖、識圖、用圖也是對學(xué)生的基本要求．教師要讓學(xué)生親自動手畫一畫，以加深學(xué)生對三角函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步理解提升．讓學(xué)生明了：利用平移正弦線，可以比較精確地畫出正弦函數(shù)的圖象，利用正弦函數(shù)的圖象和誘導(dǎo)公式，可以畫出余弦函數(shù)的圖象，可以看出在長度為一個周期的閉區(qū)間上有五個點(即函數(shù)值最大和最小的點以及函數(shù)值為0的點)．這五個點在確定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的形狀時起著關(guān)鍵的作用．因此，在精確度不太高時，我們常用“五點法”畫正弦、余弦函數(shù)以及與它們類似的一些函數(shù)〔特別是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)〕的簡圖．教師同時打出幻燈(如圖1、圖2、圖3)：圖1圖2圖3問題⑤，讓學(xué)生由圖象說性質(zhì)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值、周期性、對稱性等方面敘述．教師要強(qiáng)調(diào)，正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象以及它們的主要性質(zhì)非常重要，要牢固掌握，但不要死記硬背．討論結(jié)果：①～⑤略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1已知角α終邊上一點P與x軸的距離和與y軸的距離之比為3∶4(且均不為零)，求2sinα＋cosα的值．活動：本例屬于較為簡單的題目，目的是要學(xué)生熟悉任意角的三角函數(shù)定義，也要明確解題中的一種很重要的方法是回歸定義．教師引導(dǎo)學(xué)生思考距離與坐標(biāo)的不同、是否需要對點的坐標(biāo)進(jìn)行分類討論，然后讓學(xué)生獨立完成此題．解：由題意，需對角α終邊的位置進(jìn)行討論：①若角α終邊過點P(4,3)，則2sinα＋cosα＝2×eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝2；②若角α終邊過點P(－4,3)，則2sinα＋cosα＝2×eq\f(3,5)＋eq\f(－4,5)＝eq\f(2,5)；③若角α終邊過點P(－4，－3)，則2sinα＋cosα＝2×eq\f(－3,5)＋eq\f(－4,5)＝－2；④若角α終邊過點P(4，－3)，則2sinα＋cosα＝2×eq\f(－3,5)＋eq\f(4,5)＝－eq\f(2,5).點撥：任意角的三角函數(shù)定義不僅是本章的核心，也是整個三角函數(shù)的中心問題．要指導(dǎo)學(xué)生深刻理解三角函數(shù)定義的內(nèi)涵，它只是一個比值，只與角的大小有關(guān)，而與點P在角的終邊上的位置無關(guān).變式訓(xùn)練1．函數(shù)y＝cos(sinx)的值域是()A．[cos(－1)，cos1]B．[－1,1]C．[cos1,1]D．[1，cos1]答案：C2．已知sin(2π－α)＝eq\f(4,5)，α∈(eq\f(3π,2)，2π)，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)等于()A.eq\f(1,7)B．－eq\f(1,7)C．－7D．7答案：A例2已知sinα＋3cosα＝0，求：(1)eq\f(\r(3)cosα－sinα,\r(3)cosα＋sinα)；(2)2sin2α－3sinαcosα＋2的值．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察本題的條件與結(jié)論，關(guān)鍵是求sinα與cosα的值，由sinα＋3cosα＝0及sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立方程組即得sinα與cosα的值．教師進(jìn)一步點撥：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，不直接求sinα與cosα的值，需作怎樣的變形即可？對看出本題由已知可得tanα＝－3的同學(xué)教師給予鼓勵并作進(jìn)一步探究，對看不出這一步的學(xué)生再給予進(jìn)一步引導(dǎo)，直至其獨立解出此題．解：(1)eq\f(\r(3)cosα－sinα,\r(3)cosα＋sinα)＝eq\f(\r(3)－tanα,\r(3)＋tanα)＝eq\f(\r(3)＋3,\r(3)－3)＝－2－eq\r(3).(2)2sin2α－3sinαcosα＋2＝4sin2α－3sinαcosα＋2cos2α＝cos2α(4tan2α－3tanα＋2)＝eq\f(1,1＋tan2α)(4tan2α－3tanα＋2)＝eq\f(1,1＋－32)(4×9＋3×3＋2)＝eq\f(47,10).點撥：本題主要考查利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值．對于只含有正弦、余弦函數(shù)的齊次式，在求解時常常轉(zhuǎn)化為只含有正切的式子，這種變形技巧十分重要，也稱為“1”的代換，在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，應(yīng)要求學(xué)生仔細(xì)體會并熟悉掌握.變式訓(xùn)練1．已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，求tanα的值．解：由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)平方整理，得sinαcosα＝－eq\f(12,25)<0.∵α為三角形的內(nèi)角，∴0<α<π，sinα>0，cosα<0.∴sinα－cosα>0.∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(49,25)，∴sinα－cosα＝eq\f(7,5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋cosα＝\f(1,5),sinα－cosα＝\f(7,5)))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(4,5)，,cosα＝－\f(3,5)，))∴tanα＝－eq\f(4,3).點撥：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式．對于三角求值題目，一定要注意角的范圍，有時要根據(jù)所給三角函數(shù)值的大小，適當(dāng)縮小所給角的范圍，才能求出準(zhǔn)確的值．教師要抓住時機(jī)就此進(jìn)一步挖掘，以激起學(xué)生的探究興趣．2．已知sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)，eq\f(π,2)<θ<π，則m的取值范圍是…()A．3≤m≤9B．m≤－5或m≥3C．m＝0或m＝8D．m＝8答案：D例3已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點(函數(shù)取最大值的點)為M(2,2eq\r(2))，與x軸正半軸的第一個交點為N(6,0)，求這個函數(shù)的解析式．活動：本例是一道經(jīng)典例題，主要考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用及訓(xùn)練學(xué)生的分析思維能力，對數(shù)形結(jié)合的思維要求也較高．教師可引導(dǎo)學(xué)生展開思考討論，怎樣根據(jù)題目中給出的條件找到思維的切入點．題目中雖然沒有直接給出圖象，實質(zhì)是已知圖象求解析式問題．指導(dǎo)學(xué)生畫出草圖，利用數(shù)形結(jié)合來深化題意的理解，事實上，學(xué)生很容易看出A的值．如果學(xué)生沒找出周期問題，教師可進(jìn)一步點撥：題目中告訴的x軸的橫坐標(biāo)2與6表示圖象的哪段．根據(jù)題意，知道點M、N恰是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)在對應(yīng)于包含0的周期的那段圖象的五個關(guān)鍵點中的兩個．由此可知A、T，但要注意指導(dǎo)φ的求法．解：方法一：根據(jù)題意，可知eq\f(T,4)＝6－2＝4，所以T＝16.于是ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,8).又A＝2eq\r(2)，將點M的坐標(biāo)(2,2eq\r(2))代入y＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋φ)，得2eq\r(2)＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,8)×2＋φ)，即sin(eq\f(π,4)＋φ)＝1.所以滿足eq\f(π,4)＋φ＝eq\f(π,2)的φ為最小正數(shù)解．所以φ＝eq\f(π,4).從而所求的函數(shù)解析式是y＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4))，x∈R.方法二：由題意可得A＝2eq\r(2)，將兩個點M(2,2eq\r(2))，N(6,0)的坐標(biāo)分別代入y＝2eq\r(2)sin(ωx＋φ)并化簡，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2ω＋φ＝1，,sin6ω＋φ＝0，))故在長度為一個周期且包含原點的閉區(qū)間上，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ω＋φ＝\f(π,2)，,6ω＋φ＝π，))從而所求的函數(shù)解析式是y＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,8)x＋eq\f(π,4))，x∈R.點撥：由三角函數(shù)圖象求解析式確定φ時，答案可能不只一個，這里可提醒學(xué)生注意，習(xí)慣上一般取離x軸最近的一個，這樣的解析式簡潔．本例對學(xué)生有著很高的訓(xùn)練價值，特別是數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，對各類函數(shù)的研究都離不開圖象，在中學(xué)階段，幾乎所有函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的.變式訓(xùn)練已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，若該函數(shù)圖象一個最高點坐標(biāo)為(eq\f(π,6)，3)，與其相鄰的對稱中心的坐標(biāo)是(－eq\f(π,12)，0)，求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．解：由題意知A＝3，eq\f(1,4)T＝eq\f(π,6)－(－eq\f(π,12))＝eq\f(π,4)，∵T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2，y＝3sin(2x＋φ)．又由2×eq\f(π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴y＝3sin(2x＋eq\f(π,6))，x∈R.例4已知函數(shù)f(x)＝(sinx－cosx)．(1)求它的定義域；(2)判斷它的奇偶性；(3)判斷它的周期性．圖4活動：這是一組知識性很強(qiáng)的基礎(chǔ)題，要求學(xué)生全面掌握有關(guān)三角函數(shù)的定義和性質(zhì)．教師可先讓學(xué)生自己動手操作，必要的時候給予點撥幫助．本題的關(guān)鍵是熟悉三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合直觀性訓(xùn)練學(xué)生快速解題．如圖4、圖5.圖5解：(1)x必須滿足sinx－cosx>0，利用圖4或圖5，知2kπ＋eq\f(π,4)<x<2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)，∴函數(shù)定義域為(2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(5π,4))，k∈Z.(2)∵f(x)定義域在數(shù)軸上對應(yīng)的點關(guān)于原點不對稱，∴f(x)不具備奇偶性．(3)函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝2π.點評：利用單位圓中的三角函數(shù)線或正、余弦線可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx－cosx的符號；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx＋cosx的符號．要讓學(xué)生在深刻理解的基礎(chǔ)上記憶這點，因函數(shù)的定義域是函數(shù)的核心，故研究函數(shù)的性質(zhì)都必須以函數(shù)的定義域為前提.變式訓(xùn)練1．如圖6，⊙O與x軸的正半軸的交點為A，點C、B在⊙O上，且點C位于第一象限，點B的坐標(biāo)為(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))，∠AOC＝α(α為銳角)．圖6(1)求⊙O的半徑，并用α的三角函數(shù)表示C點的坐標(biāo)；(2)若|BC|＝eq\r(2)，求tanα的值．解：(1)⊙O的半徑r＝eq\r(\f(4,5)2＋－\f(3,5)2)＝1，點C(cosα，sinα)．(2)在△BOC中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝eq\r(2)，∴∠COB是直角．由三角函數(shù)的定義，知cos(α－90°)＝sinα＝eq\f(4,5)，且α為銳角，故cosα＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3).2.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,3))(ω>0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖象()A．關(guān)于點(eq\f(π,3)，0)對稱B．關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱C．關(guān)于點(eq\f(π,4)，0)對稱D．關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱答案：Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))教科書復(fù)習(xí)題1～18.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))提出問題讓學(xué)生回顧總結(jié)，通過本節(jié)復(fù)習(xí)，系統(tǒng)掌握三角函數(shù)有關(guān)知識，你對三角函數(shù)有什么新的認(rèn)識？三角函數(shù)與以前所學(xué)函數(shù)有什么異同之處？在靈活應(yīng)用本章知識進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值、證明方面你都有哪些提高？我們都解決了哪些實際問題？教師與學(xué)生一起歸納總結(jié)，共同完成本節(jié)小結(jié)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))已知函數(shù)f(x)＝sinπx圖象的一部分如圖7(1)，則圖7(2)的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式可以為()圖7A．y＝f(2x－eq\f(1,2))B．y＝f(2x－1)C．y＝f(eq\f(1,2)x－1)D．y＝f(eq\f(1,2)x－eq\f(1,2))答案：Beq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計感想))1．本章復(fù)習(xí)課只安排了1課時，課堂設(shè)計的容量較大，指導(dǎo)思想是充分利用多媒體，放手讓學(xué)生根據(jù)教師提供的知識網(wǎng)絡(luò)自己進(jìn)行歸納總結(jié)，教師在知識的交匯處、在思維的提高上給予指導(dǎo)、點撥．建議教師課堂上不要把自己的思路、提前歸納的方法直接告訴學(xué)生．2．加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)，因為“在不斷變動的世界上，沒有任何一門或一套課程可供在可見的未來使用，或可供你終身受用．現(xiàn)在需要的最重要的技能是如何學(xué)習(xí)”．因此數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)過程，不僅是傳授知識、技能的過程，更是教會學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程．也就是說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實際上就是學(xué)生獲取、整合、儲存、運用數(shù)學(xué)知識和獲得學(xué)習(xí)能力的過程．在本章復(fù)習(xí)課設(shè)計中，就體現(xiàn)了學(xué)生如何學(xué)習(xí)的問題．3．復(fù)習(xí)不是簡單的重復(fù)，不是練習(xí)堆積的習(xí)題課，而是成為學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、再提高、再創(chuàng)造的氛圍場所，是學(xué)生對所學(xué)知識居高臨下的掌握和學(xué)生身心健康成長的愉悅體驗．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、備用習(xí)題1．已知集合A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，B＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z}，C＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z}，那么集合A，B，C之間的關(guān)系是()A．BACB．ABCC．BCAD．CBA2．若α是第四象限角，則π－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．一扇形的半徑與弧長之比是3∶π，則該扇形所含弓形的面積與該扇形的面積之比是A．(2π－3eq\r(3))∶2πB．(6π－3eq\r(3))∶6πC．(4π－3eq\r(3))∶4πD．(8π－3eq\r(3))∶8π4．把函數(shù)y＝4cos(x＋eq\f(π,3))的圖象向左平移m個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)5．如果|x|≤eq\f(π,4)，設(shè)函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinx的最大值為M，最小值為m，則eq\f(M,m)的值為…()A．－eq\f(5,4)B．－3－2eq\r(2)C．3＋2eq\r(2)D．－eq\f(5\r(2)＋5,2)6．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期為1，最大值與最小值之差是3，且函數(shù)圖象過點(eq\f(1,8)，eq\f(3,4))，則函數(shù)表達(dá)式為()A．y＝3sin(2x＋eq\f(7π,12))B．y＝3sin(2x－eq\f(π,12))C．y＝eq\f(3,2)sin(2πx＋eq\f(π,12))D．y＝eq\f(3,2)sin(2πx－eq\f(π,12))7．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝eq\f(π,4)所得線段的長為eq\f(π,4)，則f(eq\f(π,4))＝__________.8．已知α、β∈(0，eq\f(π,2))，且α＋β>eq\f(π,2)，求證：對于x∈(0，π)，有f(x)＝(eq\f(cosα,sinβ))x＋(eq\f(cosβ,sinα))x<2.參考答案：1．A2.C3.A4.C5.D6.D7.08．由α＋β>eq\f(π,2)，知α>eq\f(π,2)－β.又由α、β∈(0，eq\f(π,2))，知eq\f(π,2)－β∈(0，eq\f(π,2))．∵y＝sinx在(0，eq\f(π,2))內(nèi)為增函數(shù)，y＝cosx在(0，eq\f(π,2))內(nèi)為減函數(shù)，∴sinα>sin(eq\f(π,2)－β)＝cosβ，cosα<cos(eq\f(π,2)－β)＝sinβ.∴0<eq\f(cosβ,sinα)<1,0<eq\f(cosα,sinβ)<1.又∵x∈(0，π)，∴(eq\f(cosβ,sinα))x＜1，(eq\f(cosα,sinβ))x＜1.∴f(x)＝(eq\f(cosα,sinβ))x＋(eq\f(cosβ,sinα))x<2.二、三角函數(shù)的拓展1．關(guān)于三角函數(shù)的發(fā)展史三角函數(shù)亦稱圓函數(shù)，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函數(shù)的總稱．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在與x軸正向夾角為α的動徑上取點P，P的坐標(biāo)是(x，y)，OP＝r，則正弦函數(shù)sinα＝eq\f(y,r)，余弦函數(shù)cosα＝eq\f(x,r)，正切函數(shù)tanα＝eq\f(y,x)，余切函數(shù)cotα＝eq\f(x,y)，正割函數(shù)secα＝eq\f(r,x)，余割函數(shù)cscα＝eq\f(r,y).這6種函數(shù)在1631年徐光啟等人編譯的《大測》中已齊備．正弦最早被看作圓內(nèi)圓心角所對的弦長，公元前2世紀(jì)古希臘天