湖南省婁底市大同中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖南省婁底市大同中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A． B．y=1g|x| C．y=cosx D．y=x2+2x參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)是否為偶函數(shù)，再看函數(shù)是否在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于A：函數(shù)在（0，+∞）遞減，不合題意；對(duì)于B：y=lg|x|是偶函數(shù)且在（0，+∞）遞增，符合題意；對(duì)于C：y=cosx是周期函數(shù)，在（0，+∞）不單調(diào)，不合題意；對(duì)于D：此函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷，屬于中檔題．2.下列四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是A．命題“若則”的逆否命題是“若則”.

B．若為真命題，則為真命題.

C．若命題則.

D．“”是“”成立的必要不充分條件.參考答案：D3.函數(shù)的零點(diǎn)是（

）

A．

B．和

C．1

D．1和參考答案：D略4.已知上的投影長(zhǎng)（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B5.已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個(gè)新數(shù)據(jù)4，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則（

）A．，

B．，

C．，

D．，參考答案：A6.使成立的的一個(gè)區(qū)間是（）A.

B.

C.

D.參考答案：A7.設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的

（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B8.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各打靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則（

）

甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)

甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)

甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差

甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差參考答案：C9.函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),若點(diǎn)在直線上,其中,則的最小值為(

)A．8

B．4

C．1

D．

參考答案：A10.定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A.1-

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)sin2α=﹣sinα，α∈（，π），則tanα的值是．參考答案：-考點(diǎn)： 二倍角的余弦；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．專(zhuān)題： 三角函數(shù)的求值．分析： 依題意，利用二倍角的正弦可得cosα=﹣，又α∈（，π），可求得α的值，繼而可得tanα的值．解答： 解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，∴cosα=﹣，又α∈（，π），∴α=，∴tanα=﹣．故答案為：﹣．．點(diǎn)評(píng)： 本題考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系與二倍角的正弦，屬于基礎(chǔ)題12.已知為常數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是

參考答案：0<a<1/2略13.隨機(jī)向邊長(zhǎng)為5，5，6的三角形中投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是________。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】幾何概型K3本題符合幾何概型，由題意作圖如下，

則點(diǎn)P應(yīng)落在黑色陰影部分，S△=×6×=12，

三個(gè)小扇形可合并成一個(gè)半圓，故其面積S=π，

故點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率P==．【思路點(diǎn)撥】本題符合幾何概型，由題意作圖，求面積比即可．14.函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny－1＝0上，則＋的最小值為_(kāi)_______．參考答案：4函數(shù)y＝a1－x的圖像過(guò)點(diǎn)(1,1)，故m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，故＋的最小值是4．15.若不等式成立的充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.

參考答案：16.若滿足約束條件則的最小值為_(kāi)_____________．參考答案：0略17.若為正實(shí)數(shù)，則的最大值是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≤g（x）的解集；（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法；函數(shù)恒成立問(wèn)題．專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式等價(jià)于3個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．（2）由題意可得，|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2，化簡(jiǎn)它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范圍．解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，等價(jià)于①，或②，或③．解①求得x無(wú)解，解②求得0≤x＜，解③求得≤x≤，綜上，不等式的解集為{x|0≤x≤}．（2）由題意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，轉(zhuǎn)化為|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2=（a＞0），易得h（x）的最小值為﹣1，令﹣1≥0，求得a≥2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上的最大值和最小值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法；三角函數(shù)的最值．【分析】（1）利用正弦函數(shù)的兩角和與差的公式與輔助角公式將f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化為f（x）=sin（2x+），即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上是增函數(shù)，在區(qū)間[，]上是減函數(shù)，從而可求得f（x）在區(qū)間[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x?cos+cos2x?sin+sin2x?cos﹣cos2x?sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函數(shù)f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上是增函數(shù)，在區(qū)間[，]上是減函數(shù)，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上的最大值為，最小值為﹣1．20.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，a=5，△ABC的面積為．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；兩角和與差的余弦函數(shù)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用三角形的面積公式求解b，利用余弦定理求解c的值；（Ⅱ）通過(guò)余弦定理求出B的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出B的正弦函數(shù)值，利用兩角和與差的余弦函數(shù)求的值．【解答】（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）由已知，，a=5，因?yàn)?/p>

，即

，解得b=8．由余弦定理可得：，所以

c=7．…..（Ⅱ）由（Ⅰ）有，由于B是三角形的內(nèi)角，易知，所以==．…..（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和與差的三角函數(shù)，考查計(jì)算能力．21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣，0），B（，0），直線MA，MB相交于點(diǎn)M，它們的斜率之積為常數(shù)m（m≠0），且△MAB的面積最大值為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E．（Ⅰ）求曲線E的方程；（Ⅱ）過(guò)曲線E外一點(diǎn)Q作E的兩條切線l1，l2，若它們的斜率之積為﹣1，那么·是否為定值？若是，請(qǐng)求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由題意和斜率公式列出方程并化簡(jiǎn)，根據(jù)題意求出曲線E的方程；（Ⅱ）設(shè)Q（x0，y0），由曲線E的方程和題意畫(huà)出圖象，由圓的切線的性質(zhì)求出OQ，由兩點(diǎn)之間的距離公式列出式子，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可求出為定值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），且A（﹣，0），B（，0），由題意得kMA?kMB=m，即（），化簡(jiǎn)得，y2=m（x2﹣3）（m≠0），則mx2﹣y2=3m（），∵△MAB的面積最大值為，∴，∴當(dāng)m=﹣1時(shí)，方程為x2+y2=3滿足條件，則曲線E的方程是x2+y2=3（）；（Ⅱ）是定值，設(shè)Q（x0，y0），由（Ⅰ）知曲線E：原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓（除A，B點(diǎn)），∵過(guò)E外一點(diǎn)Q作E的兩條切線l1，l2，且它們的斜率之積為﹣1，∴l(xiāng)1⊥l2，切點(diǎn)分別是M和N，即QN⊥QM，如圖所示：連接OM、ON、OQ，由圓的切線的性質(zhì)得，ON⊥NQ，OM⊥MQ，∴△ONQ≌△OMQ，則△ONQ是等腰直角三角形，∵0N=，∴OQ=3，即，∴=（﹣x0，﹣y0）?（x0，0﹣y0）=，∴是定值為6．22.（本小題滿分12分）

已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且（I）求角A的值；（II）若AB=3，AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為，求△ABC的面積。參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）．試題分析：（Ⅰ）根據(jù)已知等式并運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變形將其進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，然后運(yùn)用三角形的內(nèi)角和為即將代入上述等式即可得出角的大小；（Ⅱ）在中直接應(yīng)用余弦定理可求出的長(zhǎng)度，再由D是的中點(diǎn)結(jié)合三角形的面積公式即可得出所求的結(jié)果.試題解析：(Ⅰ)由，變形為，，即