2022年湖南省永州市碼市中學高二數(shù)學文測試題含解析

2022年湖南省永州市碼市中學高二數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線﹣=1的兩條漸近線互相垂直，那么它的離心率為（）A． B． C．2 D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)出雙曲線的標準方程，則可表示出其漸近線的方程，根據(jù)兩條直線垂直，推斷出其斜率之積為﹣1進而求得b的值，進而根據(jù)c=求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可得．【解答】解：∵兩條漸近線互相垂直，∴，∴b2=144，∴c2=288，∴．故選A．2.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，其數(shù)量之比依次是3：4：7，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出樣本容量為n的樣本，樣本中A型號產(chǎn)品有15件，那么n等于（）A．50 B．60 C．70 D．80參考答案：C【考點】分層抽樣方法．【分析】根據(jù)分層抽樣的定義和方法，可得=，由此求得n的值．【解答】解：根據(jù)分層抽樣的定義和方法，可得=，解得n=70，故選：C．3.“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點”是“f（a）?f（b）＜0”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．非充分非必要參考答案：D【考點】函數(shù)零點的判定定理；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】通過舉反例可得充分性不成立，通過舉反例可得必要性不成立，從而得出結(jié)論．【解答】解：由“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點”不能推出“f（a）?f（b）＜0”，如f（x）=x2﹣1在（﹣2，2）上有零點，但f（﹣2）?f（2）＞0，故成分性不成立．由“f（a）?f（b）＜0”不能推出“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點”，如f（x）=滿足f（﹣1）?f（1）＜0，但f（x）=在（﹣1，1）上沒有零點，故必要性不成立．故選D．【點評】本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，通過舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法，屬于中檔題．4.6個人并排站成一排，B站在A的右邊，C站在B的右邊，則不同的排法總數(shù)為（）A、

B、

C、

D、參考答案：C5.已知橢圓的長軸在y軸上，且焦距為4，則m等于()A.4

B.5

C.7

D.8參考答案：D6.不等式對一切R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(

)[來A．[2,6)

B．(2,6)

C．(－∞,2]∪(6,+∞)

D．(－∞,2)∪(6,+∞)參考答案：A7.（理，實驗班）在數(shù)列中，，，則=（

）。A.2

B.

C.

D.

1參考答案：B8.一個容量為60的樣本數(shù)據(jù)分組后,分組與頻數(shù)如下:[10,20),6;[20,30),9;[30,40),12;[40,50),15;

[50,60),12;

[60,70),6,則樣本在[10,30)上的頻率為A.

B.

C.

D.參考答案：B9.已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，則的最小值為(

)A．6 B．5 C． D．參考答案：C考點：基本不等式．專題：計算題．分析：將原式子變形為=+=1+++2，使用基本不等式，求得最小值．解答：解：∵正數(shù)x，y滿足x+2y=1，∴=+=1+++2

≥3+2=3+2，當且僅當時，等號成立，故選C．點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用，變形是解題的關(guān)鍵和難點10.若坐標原點O和F(－2,0)分別為雙曲線－y2=1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為(

)A．[3－2,+∞)

B．[3+2,+∞)

C．[,+∞)

D．[,+∞)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從名男同學中選出人，名女同學中選出人，并將選出的人排成一排．若選出的名男同學不相鄰，共有

種不同的排法？（用數(shù)字表示）參考答案：864012.如圖，在△ABC中，D，E分別為邊BC，AC的中點．F為邊AB上的點，且，若，則x+y的值為

．參考答案：【考點】平面向量的基本定理及其意義．【專題】計算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，得=+，結(jié)合題意得到=，結(jié)合平面向量基本定理算出x=，y=1，即可得到x+y的值．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴=+=∵∴根據(jù)平面向量基本定理，得x=，y=1，因此x+y的值為故答案為：【點評】本題給出三角形的中點和邊的三等分點，求向量的線性表達式．著重考查了三角形中線的性質(zhì)和平面向量基本定理等知識，屬于中檔題．13.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為

．參考答案：略14.在中，,則_____________.參考答案：15.若不等式對于一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__

__參考答案：<-8略16.若，則

．參考答案：1017.在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使成立的概率為__________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（16分）已知橢圓具有性質(zhì)：若A，B是橢圓C：=1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是橢圓上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線=1（a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．參考答案：雙曲線類似的性質(zhì)為：若A，B是雙曲線且a，b為常數(shù)）上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點P位置無關(guān)的定值．證明：設(shè)P，A，則B，且①，②，兩式相減得：，∴即，是與點P位置無關(guān)的定值．由橢圓到雙曲線進行類比，不難寫出關(guān)于雙曲線的結(jié)論：kPA?kPB=，其中點A、B是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，P是雙曲線上的任意一點．然后設(shè)出點P、A、B的坐標，代入雙曲線方程并作差，變形整理即可得到是與點P位置無關(guān)的定值．19.已知點位于直線右側(cè)，且到點與到直線的距離之和等于4．（1）求動點的坐標之間滿足的關(guān)系式，并化簡且指出橫坐標的范圍；（2）設(shè)（1）中的關(guān)系式表示的曲線為C，若直線過點且交曲線C于不同的兩點A、B，①求直線的斜率的取值范圍，②若點P滿足，且，其中點E的坐標為，試求x0的取值范圍。參考答案：解：（1）設(shè)點，由題意得，-------------2分化簡得

-----------------------------------4分------------------------------------------------------------------6分（2）①由題意可直線l的斜率k存在且不為0，故可設(shè)方程為，由得，，，由，得＜1，

---------------------------------8分由，令，得，即，故

-------------------------------------------12分②由可知，點P為線段AB的中點，∴．由可知，EP⊥AB，∴，整理得，-------------------------14分∴x0的取值范圍是----------------------------------------------16分20.已知橢圓E：+=1的右焦點為F（c，0）且a＞b＞c＞0，設(shè)短軸的兩端點為D，H，原點O到直線DF的距離為，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于C，G兩點，且||+||=4．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)O為坐標原點，過點P（0，1）的動直線與橢圓E交于A，B兩點，是否存在常數(shù)λ，使得?+λ?為定值？求λ的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，則a=2，由bc=，a2=b2+c2=4，由a＞b＞c＞0，即可求得b和c的值，即可求得橢圓方程；（2）當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出定值．當直線AB的斜率不存在時，則?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7成立．【解答】解：（1）由橢圓的定義及對稱性可知：||+||=4．則2a=4，a=2，由題意，O到直線DF的距離為，則=，則bc=，又a2=b2+c2=4，由a＞b＞c＞0，則b=，c=1，∴橢圓的標準方程：；（2）當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）．聯(lián)立，得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0．其判別式△＞0，x1+x2=﹣，x1x2=﹣．從而?+λ?=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]，=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣2λ﹣3，當λ=2時，﹣2λ﹣3=﹣7，即?+λ?=﹣7為定值．當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，此時?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7，故存在常數(shù)λ=2，使得?+λ?為定值﹣7．21.已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線，被圓M所截的弦長為，且圓心M在直線l的下方．（I）求圓M的方程；（II）設(shè)A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圓M是△ABC的內(nèi)切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值．參考答案：【考點】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】（I）設(shè)圓心M（a，0），利用M到l：8x﹣6y﹣3=0的距離，求出M坐標，然后求圓M的方程；（II）設(shè)A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），設(shè)AC斜率為k1，BC斜率為k2，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，求出面積的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心M（a，0），由已知，得M到l：8x﹣6y﹣3=0的距離為，∴，又∵M在l的下方，∴8a﹣3＞0，∴8a﹣3=5，a=1，故圓的方程為（x﹣1）2+y2=1．（Ⅱ）設(shè)AC斜率為k1，BC斜率為k2，則直線AC的方