計(jì)算機(jī)控制技術(shù)：第二章 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)理論基礎(chǔ)

第二章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)理論基礎(chǔ)一、采樣控制系統(tǒng)

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖。一第一節(jié)采樣過程與采樣定理采樣系統(tǒng)：具有離散傳輸通道的系統(tǒng)。

信號(hào)的傳遞過程：連續(xù)離散連續(xù)問題：采樣系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別？二、采樣過程因此：采樣過程可視為單位理想脈沖序列被輸入的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行幅值調(diào)制的過程采樣過程：利用采樣開關(guān)將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)的過程。采樣過程的數(shù)學(xué)描述：稱為單位理想脈沖序列。

其中

采樣的幅值調(diào)制過程三、采樣定理采樣周期T越短，采樣信號(hào)就越接近原始被采樣信號(hào)。反之，T越大，則差別就越大。采樣定理（香農(nóng)(shannon)定理）：

為保證采樣信號(hào)f*(t)的頻譜是f(t)的頻譜無重疊的重復(fù)（沿頻率軸方向），以便f*(t)采樣信號(hào)能反映被采樣信號(hào)f(t)的變化規(guī)律，采樣頻率至少應(yīng)是f(t)頻譜的最高頻率的兩倍，即采樣定理物理含義：如果選擇的頻率（采用周期）對(duì)連續(xù)信號(hào)所包含的最高頻率(最小周期)來說，能做到在一個(gè)周期內(nèi)采用兩次以上，則經(jīng)采樣獲取的脈沖序列中將包含連續(xù)信息的全部信息。第二節(jié)零階保持器一、信號(hào)復(fù)現(xiàn)保持器：將采樣信號(hào)復(fù)現(xiàn)為連續(xù)信號(hào)的裝置。

a)b)a)理想的濾波器

b)濾波器輸出信號(hào)頻譜

目的：解決從離散到連續(xù)的問題，即插值問題；思考：如何插值？二、零階保持器概念零階保持器：把前一采樣時(shí)刻kT的采樣值一直保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T，從而使采樣信號(hào)f*(t)變?yōu)殡A梯信號(hào)fk(t)。零階保持器的輸入輸出特性:零階保持器的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)gh(t)

T01tT10t－1脈沖響應(yīng)函數(shù)gh(t)的分解：式中，T為采樣周期三、零階保持器的單位脈沖響應(yīng)取拉氏變換，得令，得零階保持器的頻率特性因?yàn)?/p>

，那么上式可表示為

頻率特性圖三、零階保持器的特性低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說明零階保持器基本上是一個(gè)低通濾波器，但與理想濾波器特性相比，在ω=ωs/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止頻率不止一個(gè)，所以零階保持器允許主要頻譜分量通過外，還允許部分高頻分量通過,從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。相角特性：由相頻特性可見，零階保持器要產(chǎn)生相角遲后，且隨的增大而加大，在ω=ωs

時(shí)，相角遲后可達(dá)－180o，從而使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。時(shí)間遲后：零階保持器的輸出為階梯信號(hào)eh(t)其平均響應(yīng)為e[t－(T/2)],表明輸出比輸入在時(shí)間上要遲后T/2，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加一個(gè)延遲時(shí)間為T/2的延遲環(huán)節(jié)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定不利。第三節(jié)

z變換理論對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，則可得到令

稱:F(z)

為采樣信號(hào)f*(t)的z變換。

一、z變換的定義對(duì)連續(xù)信號(hào)f(t)進(jìn)行周期為T的采樣f*(t)，可以得到采樣信號(hào),它是在采樣時(shí)刻t=0,T,2T,…定義的，即

采樣值相同的兩個(gè)不同的連續(xù)函數(shù)注意：1、z變換的每項(xiàng)確定對(duì)應(yīng)的幅值和時(shí)間；2、z變換由采樣函數(shù)決定，不能反映非采樣時(shí)刻的信息；二、z變換的求法1、直接法直接法:直接根據(jù)z變換的定義式求一個(gè)函數(shù)的z變換。例1求單位階躍1(t)函數(shù)的z變換。解故：例2求指數(shù)函數(shù)的e-α

z(α

≥0)變換。解

令f(t)=e-αt，由z變換的定義有故：2、部分分式法式中，si為的非重極點(diǎn)，Ai為常系數(shù)。所以

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)為s的有理函數(shù)，將F(s)展開成部分分式形式又：思路：s域t域z域例3已知，求F(z)。

解

注意：1、z變換的基本方法是直接法；

2、部分分式法適用于s域，本質(zhì)為直接法：

3、直接查表（?。。。?？？）；三、Z變換的基本定理1、線性性；對(duì)于任何常數(shù)和，若2、延遲定理注意：離散信號(hào)在時(shí)域內(nèi)延遲T，則其z變換應(yīng)乘以z-1

，所以z-1可看作是滯后一個(gè)采樣周期的算子。3、超前定理特殊地，如果初始值為零，即則注意（z的物理意義）：在滿足初始條件為零的前提下，z1代表超前一個(gè)采樣周期。4、復(fù)位移定理5、復(fù)微分定理6、初值定理注意：終值定理是研究離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的重要工具。注意：初值定理給定了初值的求法；7、終值定理解

8、卷積定理例4已知，求終值f(∞)。四、z反變換由f(t)的z變換F(z)，求其相對(duì)應(yīng)的脈沖序列f*(t)或數(shù)值序列f(kT)，稱為z反變換，表示為數(shù)值序列時(shí)

脈沖序列時(shí)

觀察：

1、直接法（羅朗展開）例5求下列函數(shù)的z反變換：例6求下列的z反變換：

2、留數(shù)法例7已知，試用留數(shù)法求。解：

根據(jù)洛朗展開系數(shù)和留數(shù)的關(guān)系可知：其極點(diǎn)為：

故

例6(解法2)

求下列的z反變換：

解：

其極點(diǎn)為：

故

定理

設(shè)a為f(z)的n級(jí)極點(diǎn),推論1:

設(shè)a為f(z)的一級(jí)極點(diǎn),則推論2:設(shè)a為f(z)的二級(jí)極點(diǎn),則推論3

設(shè)a為的一級(jí)極點(diǎn)

補(bǔ)充：

第四節(jié)采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、線性常系數(shù)差分方程及其解法1、差分的定義設(shè)采樣信號(hào)f(kT)，并令T=1s一階前向差分定義為

二階前向差分定義為n階前向差分同理，一階后向差分定義為二階后向差分定義為n階后向差分定義為：差分方程：若方程的變量除了含有f(k)以外，還有f(k)的差分，則稱該方程為差分方程。2、用z變換法解差分方程式中為常系數(shù)，r(k)為輸入信號(hào)；c(k)為輸出信號(hào)。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，其線性定常差分方程可表示為：

解對(duì)上式進(jìn)行z變換得代入初始條件，并解得

故：例9

用z變換解下列差分方程

①對(duì)差分方程進(jìn)行z變換；②解出方程中輸出量的z變換F(z)；③求F(z)的z反變換，得差分方程的解f(k)。z變換法的具體步驟是：二、脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)：在采樣控制系統(tǒng)中，在初始靜止（輸入量r(-1),r(-2),…和輸出量c(-1),c(-2),…均為零）的條件下，一個(gè)環(huán)節(jié)（系統(tǒng)）的輸出脈沖序列的z變換與輸入脈沖序列的z變換之比。

在圖所示的環(huán)節(jié)中，若R(z)和是C(z)初始靜止條件下的輸入脈沖序列和輸出脈沖序列的z變換，則該環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)為注意：

1、G（s）線性環(huán)節(jié)本身的傳遞函數(shù)，G（z）表示線性環(huán)節(jié)和采樣器兩者組合體的傳遞函數(shù)；2、G（z）不是通過G（s）置換兩個(gè)自變量而成，而是通過求G(s)的Z變換而來；3、實(shí)際上大多數(shù)采樣系統(tǒng)的輸出信號(hào)往往是連續(xù)信號(hào)c(t)，而不是離散信號(hào)。在這種情況下，為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念，我們可以在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān)。如圖中虛線所示，它與輸入采樣開關(guān)一樣以周期T同步工作。這樣，輸出的采樣信號(hào)就可根據(jù)公式求得

三、開環(huán)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的脈沖傳遞函數(shù)a）兩環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)b）兩環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)1、串聯(lián)環(huán)節(jié)的環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣器隔開兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣器隔開為簡(jiǎn)化起見，表示為

一般，幾個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間都有采樣器隔開時(shí)，等效的脈沖傳遞函數(shù)等于幾個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之積。所以，等效的脈沖函數(shù)為注意：z變換的乘積和傳遞函數(shù)乘積的z變換是不同的，求脈沖傳遞函數(shù)解例設(shè)注意：

1、串聯(lián)環(huán)節(jié)有無同步采樣開關(guān)時(shí)，其總的脈沖傳遞函數(shù)和輸出z變換是不同的；2、不同表現(xiàn)在零點(diǎn)不同，但極點(diǎn)相同；a)b)c)d)a）連續(xù)輸入，連續(xù)輸出

b）連續(xù)輸入，采樣輸出c）采樣輸入，采樣輸出

d）采樣輸入，連續(xù)輸出

離散系統(tǒng)中含連續(xù)元件類型：對(duì)圖a，連續(xù)輸入，連續(xù)輸出：C(s)=G(s)R(s)。對(duì)圖b，連續(xù)輸入，采樣輸出：C(z)=Z[R(s)G(s)]=RG(z)。對(duì)圖c，采樣輸入，采樣輸出：C(z)=R(z)G(z)。

對(duì)圖d，采樣輸入，連續(xù)輸出：如果不必掌握所有時(shí)刻的輸出c(t)，而只需注意采樣瞬間c*(t)的信號(hào)，則可以在輸出端人為地附加一個(gè)理解的采樣開關(guān)，這時(shí)，元件的輸出就和圖c情況相同，即C(z)=R(z)G(z)。2、有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：r*(t)r(t)G(s)C(t)C*(t)因?yàn)橹邪瑑蓚€(gè)分量，一個(gè)分量是輸入采樣信號(hào)經(jīng)后所產(chǎn)生的響應(yīng)，其z變換另一個(gè)分量是輸入采樣r*(t)信號(hào)經(jīng)所產(chǎn)生的響應(yīng)，而e-Ts是一個(gè)延遲環(huán)節(jié)，因此

其開環(huán)傳遞函數(shù)為

故開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

例10具有零階保持器的開環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中T=1秒，試求脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解：r*(t)r(t)G(s)C(t)C*(t)所以有

四、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù):是指系統(tǒng)的輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的z變換之比。例11求下圖所示典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。D(z)、G(z)分別表示計(jì)算機(jī)和連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)。解：由于輸入、輸出信號(hào)都是連續(xù)信號(hào)，不能直接作z變換。又所以

消去中間變量可得故：

教材P25表2-1列出了常見的采樣系統(tǒng)（包括開環(huán)和閉環(huán)）及其C(z)的表達(dá)式。讀者可對(duì)表中所列的系統(tǒng)進(jìn)行分析，進(jìn)一步熟悉閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求取。有些系統(tǒng)僅僅只能求得輸出的表達(dá)式C(z)，而求不到閉環(huán)的脈沖傳遞函數(shù)(推導(dǎo)1個(gè))。

第五節(jié)采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析其中s是復(fù)變量，即

1、z平面與s平面的關(guān)系根據(jù)z變換的定義故：

s平面的虛軸上則：在z平面上為即s平面上的虛軸對(duì)應(yīng)于z平面上的單位圓類似分析，s左半平面內(nèi)的點(diǎn)：則：在z平面上為即s左半平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于z平面上的單位圓內(nèi)的點(diǎn)；同理s右半平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于z平面上的單位圓外的點(diǎn)；2、z域穩(wěn)定性條件推論1：若有一個(gè)或一個(gè)以上的閉環(huán)特征根在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定；采樣控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：

閉環(huán)系統(tǒng)的特征根均位于z平面的單位圓之內(nèi)；連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：

是閉環(huán)系統(tǒng)的特征根均位于s平面的左半平面；推論2：若有一個(gè)或一個(gè)以上的閉環(huán)特征根在單位圓上時(shí)，系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定。即：必須尋求一種變換，使z平面上單位圓內(nèi)映射到一個(gè)新平面的虛軸之左，我們稱該新平面為w平面?；?/p>

令

3、勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)：特征根在s左半平面連續(xù)系統(tǒng)特征根在z平面單位圓內(nèi)部采樣系統(tǒng)z平面單位圓內(nèi)s左半平面根據(jù)雙線性變換則當(dāng)：

（z平面的單位圓方程）

即：z平面的單位圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于w平面虛軸當(dāng)：

（z平面的單位圓內(nèi)部）

即：z平面的單位圓內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于w平面左半平面例13設(shè)采樣控制系統(tǒng)的特征方程為試用勞斯判據(jù)判別穩(wěn)定性。代入特征多項(xiàng)式中，有

解：因?yàn)?/p>

化簡(jiǎn)得

列勞斯表

由于第一列元素的符號(hào)有兩次改變，則有兩個(gè)根在右半平面，即有兩個(gè)根處于平面單位圓外，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定。

單位反饋系統(tǒng)應(yīng)用終值定理，得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

第六節(jié)采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析上式說明，和連續(xù)系統(tǒng)一樣，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不僅與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，而且與輸入信號(hào)有關(guān)。一、單位階躍輸入令則稱其為位置誤差系數(shù)。

0，Ⅰ，Ⅱ型系統(tǒng)：采樣控制系統(tǒng)中其開環(huán)傳遞函數(shù)包含0,1,2，…個(gè)z=1的極點(diǎn)1）對(duì)于0型系統(tǒng)，G(z)沒有z=1的極點(diǎn)，Kp為有限值2）對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)或高于Ⅰ型的，G(z)有一個(gè)或一個(gè)以上z=1的極點(diǎn)，

二、單位斜坡輸入令稱為速度誤差系數(shù)

1)對(duì)于0型系統(tǒng)2)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)3)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)或更高三、單位加速度輸入稱為加速度誤差系數(shù)令1）對(duì)于0型、Ⅰ型系統(tǒng)

2）對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)

3)對(duì)于Ⅲ型或高于Ⅲ型系統(tǒng)

不同典型輸入信號(hào)作用時(shí)各類系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差綜上：采樣穩(wěn)態(tài)誤差和采樣周期相關(guān)，采樣周期越小，則穩(wěn)態(tài)誤差越小一、采樣系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)應(yīng)用長(zhǎng)除法，將分子分母相除，再用z反變換，即可得C*(t)。對(duì)一個(gè)穩(wěn)定性較好的系統(tǒng)，過渡過程在有限個(gè)采樣周期結(jié)束，故只需相除前幾項(xiàng)，就能求得ts、σ等指標(biāo)。第七節(jié)采樣控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析若采樣控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為Φ(z)則系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的輸出響應(yīng)為例14求下圖所示系統(tǒng)的ts、σ

近似值。已知K=2，a=0.368，T=0。1s。