北京市2021年中考數(shù)學真題卷（含答案與解析）

北京市2021年中考試卷

數(shù)學

本試卷滿分100分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的學校、姓名、準考證號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題

卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用25鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

一、選擇題（共16分，每題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）

A.長方體B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

2.黨的十八大以來，堅持把教育扶貧作為脫貧攻堅的優(yōu)先任務.2014-2018年，中央財政累計投入“全

面改善貧困地區(qū)義務教育薄弱學?；巨k學條件”專項補助資金1692億元，將169200000000用科學記數(shù)法

表示應為（）

A.0.1692xl012B.1.692xlO12C.1.692x10"1）.16.92x10'°

3.如圖，點O在直線A3上,OCLOD.若ZAOC=120°,則ZBOD的大小為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.下列多邊形中,內(nèi)角和最大的是（

5.實數(shù)a/在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

--3‘-2""0'12

A.a>—2B.同>hC.a+Z?>0D.b-a<0

6.同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是（）

1112

A.—B.-C.—D.一

4323

7.已知432=1849,44?=1936,452=2025,46?=2116.若〃為整數(shù)且〃<<〃+1，則〃的值為

（）

A.43B.44C.45D.46

8.如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為mi,它的鄰邊長為阿，矩形的面積為Sn?.當

x在一定范圍內(nèi)變化時，,和S都隨x的變化而變化，則y與x,S與x滿足的函數(shù)關系分別是（）

y

A.一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系B.反比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

C.一次函數(shù)關系，反比例函數(shù)關系D.反比例函數(shù)關系，一次函數(shù)關系

二.填空題（共16分，每題2分）

9.若G7在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

10.分解因式：5x2-5y2=.

21

11.方程——二—的解為_____________.

x+3x

L

12.在平面直角坐標系xOy中，若反比例函數(shù)y=—（ZwO）的圖象經(jīng)過點A（l,2）和點8（—1,加），則用的

x

值為.

13.如圖，PAP3是。。的切線，A5是切點.若NP=50°,則乙4。8=

A

14.如圖，在矩形ABC。中，點E,F分別在6C,A。上，AF=EC.只需添加一個條件即可證明四邊形

AECR是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

甲、乙兩組數(shù)據(jù)方差分別為海2,壇2,則$甲2‘J（填“>”，或“="）.

16.某企業(yè)有A5兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線.在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工4噸原材料，加工時間為

（4a+l）小時；在一天內(nèi)，8生產(chǎn)線共加工匕噸原材料，加工時間為（抄+3）小時.第一天，該企業(yè)將5噸

原材料分配到A5兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時間相同，則分配到A生產(chǎn)線

的噸數(shù)與分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為.第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結果分配

了5噸原材料后，又給A生產(chǎn)線分配了加噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了“噸原材料.若兩條生產(chǎn)線都能在

一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則'的值為.

n

三、解答題（共68分，第17—20題，每題5分，第21—22題，每題6分，第23題5分，第

24題6分，第25題5分，第26題6分，第27—28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算

步驟或證明過程.

17.計算：25也60。+疝+卜5|—（乃+夜）°.

4x-5>x+1

18.解不等式組：hx-4

<x

2

19.已知/+26一1=（）,求代數(shù)式（a—4+。（24+。）的值.

20.《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一根桿，

在地面上沿著桿的影子的方向取一點8,使8,A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點B

處立一根桿；日落時，在地面上沿著點3處的桿的影子的方向取一點C,使C8兩點間的距離為10步，

在點C處立一根桿.取C4的中點￡>,那么直線03表示的方向為東西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點4氏C的位置如圖所示.使用直尺和圓規(guī)，在圖中作C4

的中點。（保留作圖痕跡）；

（2）在如圖中，確定了直線。8表示的方向為東西方向.根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直

線C4表示的方向為南北方向，完成如下證明.

證明：在AAZ?。中，BA=，。是C4的中點，

:.CA±DB（）（填推理的依據(jù)）.

???直線表示的方向為東西方向，

直線C4表示方向為南北方向.

21.已知關于x的一元二次方程尤2-4〃a+3〃/=0.

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若m>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求〃?的值.

22.如圖，在四邊形ABCO中，NACB=NC4D=90。，點E在上，AE//DC,EF±AB,垂足為F.

（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形;

一4

(2)若AE1平分N84C,BE=5,cos8=《，求5/和AZ)的長.

23.在平面直角坐標系X0y中，一次函數(shù)丁=依+伙4￥0)的圖象由函數(shù)y=gx的圖象向下平移1個單位

長度得到.

(1)求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)當x>—2時，對于x的每一個值，函數(shù)y=g(，〃#())的值大于一次函數(shù)了=丘+人的值，直接寫出加

的取值范圍.

24.如圖，OO是AABC的外接圓，AO是O。的直徑，4。，5。于點￡.

(1)求證：ZBAD=ZCAD；

(2)連接5。并延長，交AC于點F,交OO于點G,連接GC.若。0的半徑為5,0E=3,求GC

和OF的長.

25.為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業(yè)中，各隨機抽取了25家

郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入(單位：百萬元)的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析.下面給出了

部分信息.

甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組：

6<^<8,8<x<10,10<x<12,12<x<14,14<^<16)：

b.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10〈x<12這一組的是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,11.6,

11.8

C.甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中機的值；

（2）在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為p.在乙城市抽

取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為.比較的大小，并說明

理由；

（3）若乙城市共有200家郵政企業(yè)，估計乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入（直接寫出結果）.

26.在平面直角坐標系xOy中，點。,?。┖忘c（3,在拋物線丁=52+法（q>0）上.

（1）若〃?=3,“=15,求該拋物線的對稱軸；

（2）已知點（一l,y）,（2,%）,（4,%）在該拋物線上.若相〃<（），比較,，%，%的大小，并說明理由.

27.如圖，在△MC中，AB=AC,NA4C=a,"為的中點，點。在上，以點A為中心，將線

段AD順時針旋轉a得到線段AE,連接BE,DE.

（1）比較N8AE與NC4。大?。挥玫仁奖硎揪€段BE,之間的數(shù)量關系，并證明：

（2）過點M作的垂線，交。E于點N,用等式表示線段NE與的數(shù)量關系，并證明.

28.在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,對于點A和線段BC,給出如下定義：若將線段3c繞點

A旋轉可以得到QO的弦B'C（B',C分別是B,C的對應點），則稱線段3c是。。的以點A為中心的

“關聯(lián)線段”.

（1）如圖，點4穌。1，82，。2，鳥,。3的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段BdzG，83c3中，o。的以點A為

中心的“關聯(lián)線段”是;

（2）AA6c是邊長為1的等邊三角形，點A（O,f）,其中txO.若8c是。。的以點A為中心的“關聯(lián)線

段”，求f的值；

（3）在AABC中，AB=\,AC=2.若8C是O。以點A為中心的“關聯(lián)線段”，直接寫出OA的最小

值和最大值，以及相應的BC長.

參考答案

一、選擇題（共16分，每題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）

A.長方體B,圓柱C.圓錐D.三棱柱

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體的展開圖可直接進行排除選項.

【詳解】解：由圖形可得該幾何體是圓柱；

故選B.

【點睛】本題主要考查幾何體的展開圖，熟練掌握幾何體的展開圖是解題的關鍵.

2.黨的十八大以來，堅持把教育扶貧作為脫貧攻堅的優(yōu)先任務.2014-2018年，中央財政累計投入“全

面改善貧困地區(qū)義務教育薄弱學?；巨k學條件”專項補助資金1692億元，將169200000000用科學記數(shù)法

表示應為（）

A.0.1692X1012B.1.692xl012C.1.692x10"D.16.92x10'°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)科學記數(shù)法可直接進行求解.

【詳解】解：由題意得:將169200000000用科學記數(shù)法表示應為1.692x10”；

故選C.

【點睛】本題主要考查科學記數(shù)法，熟練掌握科學記數(shù)法的表示方法是解題的關鍵.

3.如圖，點。在直線A8上，OCLOD.若NAOC=120°,則的大小為（）

A.30°B,40°C.50°D.60°

【答案】A

【解析】

【分析】由題意易得/COB=60°,ZCOD=90°,進而問題可求解.

【詳解】解：?.?點。在直線A3上，OC±OD,

：.ZAOC+/COB=180°,Z.COD=90°,

???ZAOC=\20°,

：.NCO8=60°,

NBOD=90°-NCOB=30°；

故選A.

【點睛】本題主要考查垂直的定義及鄰補角的定義，熟練掌握垂直的定義及鄰補角的定義是解題的關鍵.

4.下列多邊形中，內(nèi)角和最大的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可直接進行排除選項.

【詳解】解：A、是一個三角形，其內(nèi)角和為180。；

B、是一個四邊形，其內(nèi)角和為360°；

C、是一個五邊形，其內(nèi)角和為540°；

D、是一個六邊形，其內(nèi)角和為720°；

內(nèi)角和最大的是六邊形；

故選D.

【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關鍵.

5.實數(shù)。力在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

-"3"-2""012

A.a>—2B.|a|>bC.a+b>0D.b-a<0

【答案】B

【解析】

【分析】由數(shù)軸及題意可得—3<a<-2,0<人<1,依此可排除選項.

【詳解】解：由數(shù)軸及題意可得：—3<a<—2,0<8<1,

：.\a\>b,a+b<0,b-a>0,

只有B選項正確,

故選B.

【點睛】本題主要考查實數(shù)的運算及數(shù)軸，熟練掌握實數(shù)的運算及數(shù)軸是解題的關鍵.

6.同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是（）

I12

A.-B.-D.-

43°I3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意可畫出樹狀圖，然后進行求解概率即可排除選項.

【詳解】解：由題意得：

..一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是尸=一=二；

42

故選C.

【點睛】本題主要考查概率，熟練掌握利用樹狀圖求解概率是解題的關鍵.

7.已知43?=1849,44?=1936,45?=2025,46?=2116.若“為整數(shù)且〃<<〃+1，則〃值為

（）

A.43B.44C.45D.46

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可直接進行求解.

【詳解】解：V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

M<2021<45?,

44<,2021<45，

n=44；

故選B.

【點睛】本題主要考查算術平方根，熟練掌握算術平方根是解題的關鍵.

8.如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為由，它的鄰邊長為）m,矩形的面積為sm?.當

x在一定范圍內(nèi)變化時，N和S都隨x的變化而變化，則y與x,S與x滿足的函數(shù)關系分別是（）

y

X

A.一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系B.反比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

C.一次函數(shù)關系，反比例函數(shù)關系D.反比例函數(shù)關系，一次函數(shù)關系

【答案】A

【解析】

【分析】由題意及矩形的面積及周長公式可直接列出函數(shù)關系式，然后由函數(shù)關系式可直接進行排除選項.

【詳解】解：由題意得：

2（x+y）=10,整理得：y=—x+5,（O<x<5）,

S=Ay=x（—x+5）=—A?+5x,（0<x<5）,

與x成一次函數(shù)的關系，S與x成二次函數(shù)的關系；

故選A.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的應用，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的應用是解題的關鍵.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.若G7在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

【答案】x>l

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可直接進行求解.

【詳解】解：由題意得：

x—120,

解得：x>7；

故答案為x27.

【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵.

10.分解因式：5X2-5/=.

【答案】5（x+y）（尤-y）

【解析】

【分析】根據(jù)提公因式法及平方差公式可直接進行求解.

【詳解】解：5d-5y2=5（x2-y2）=5（x+y）（x-y）；

故答案為5（x+y）（x-y）.

【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.

21

11.方程一^=一的解為

x+3x

【答案】x=3

【解析】

【分析】根據(jù)分式方程的解法可直接進行求解.

【詳解】解：—

x+3x

2x=x+3，

x=3，

經(jīng)檢驗：x=3是原方程解.

故答案為：x=3.

【點睛】本題主要考查分式方程的解法，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵.

12.在平面直角坐標系尤0y中，若反比例函數(shù)y=8（人聲0）的圖象經(jīng)過點A（l,2）和點3（—1,加），則m的

x

值為.

【答案】-2

【解析】

【分析】由題意易得k=2,然后再利用反比例函數(shù)的意義可進行求解問題.

【詳解】解：把點A（l,2）代入反比例函數(shù)丁=人（左#0）得：k=2,

—lxm=2,解得：〃?=—2,

故答案為-2.

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵.

13.如圖，PAP8是。。的切線，是切點.若/尸=50°,則NA03=.

【答案】130°

【解析】

【分析】由題意易得NQ4Q=N~BO=90。，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求解.

【詳解】解：???PA,P3是。。的切線,

NPAO=NP5O=90°,

.?.由四邊形內(nèi)角和可得：NAO5+NP=180。，

NP=50°,

ZAOB=130°；

故答案為130。.

【點睛】本題主要考查切線的性質及四邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵.

14.如圖，在矩形48CD中，點瓦廠分別在上，AF=EC.只需添加一個條件即可證明四邊形

【答案】AF^AE（答案不唯一）

【解析】

【分析】由題意易得四邊形AECE是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定定理可進行求解.

【詳解】解：?.?四邊形ABC。是矩形，

AD//BC,

AF=EC,

：.四邊形AECF是平行四邊形，

若要添加一個條件使其為菱形，則可添力HAF=AE或AE=CE或CE=CF或AF=CF,理由：一組鄰邊相等

的平行四邊形是菱形；

故答案為AE=AE（答案不唯一）.

【點睛】本題主要考查菱形的判定定理、矩形的性質及平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定定理、矩

形的性質及平行四邊形的判定是解題的關鍵.

15.有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，如表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為S甲2,吃2,則"2s/（填或"="）.

【答案】＞

【解析】

【分析】根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別求出甲、乙的平均數(shù)，然后再利用方差公式進行求解比較即可.

【詳解】解：由題意得：

—11+12+13+14+15——12+12+13+14+14…

樂日——-13,~=13,

,2[(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2

.??！?，

十5

,[(12-13)2+02—13)2+03—13)2+(14-13)2+(14-13)2

4

.c2、c2

??、甲/?乙；

故答案為〉.

【點睛】本題主要考查平均數(shù)及方差，熟練掌握平均數(shù)及方差的計算是解題的關鍵.

16.某企業(yè)有AB兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線.在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工4噸原材料，加工時間為

(牝+1)小時；在一天內(nèi)，8生產(chǎn)線共加工。噸原材料，加工時間為(加+3)小時.第一天，該企業(yè)將5噸

原材料分配到A,5兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時間相同，則分配到A生產(chǎn)線

的噸數(shù)與分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為.第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結果分配

了5噸原材料后，又給A生產(chǎn)線分配了M噸原材料，給3生產(chǎn)線分配了〃噸原材料.若兩條生產(chǎn)線都能在

一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則'的值為.

n

【答案】①.2：3②.

2

【解析】

【分析】設分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為(5-x)噸，依題意可得

4x+l=2(5—x)+3,然后求解即可，由題意可得第二天開工時，由上一問可得方程為

4(2+加)+1=2(3+〃)+3,進而求解即可得出答案.

【詳解】解：設分配到A生產(chǎn)線噸數(shù)為x噸，則分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為(5-x)噸，依題意可得：

4%+1=2(5—x)+3,解得：x=29

，分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)為5-2=3（噸），

分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為2：3：

.?.第二天開工時，給A生產(chǎn)線分配了（2+〃。噸原材料，給8生產(chǎn)線分配了（3+〃）噸原材料，

加工時間相同，

/.4（2+m）+l=2（3+〃）+3,

解得：m=-n,

2

m1

??一二一;

n2

故答案為2:3,

【點睛】本題主要考查一元一次方程、二元一次方程的應用及比例的基本性質，熟練掌握一元一次方程的

應用及比例的基本性質是解題的關鍵.

三、解答題（共68分，第17—20題，每題5分，第21—22題，每題6分，第23題5分，第

24題6分，第25題5分，第26題6分，第27—28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算

步驟或證明過程.

17.計算：2sin60。++卜5|—（zr+J^）°.

【答案】36+4

【解析】

【分析】根據(jù)特殊三角函數(shù)值、零次幕及二次根式的運算可直接進行求解.

【詳解】解：原式=2x3+26+5-1=36+4.

2

【點睛】本題主要考查特殊三角函數(shù)值、零次累及二次根式的運算，熟練掌握特殊三角函數(shù)值、零次哥及

二次根式的運算是解題的關鍵.

4x-5>x+l

18.解不等式組：—4

-----<x

I2

【答案】2<x<4

【解析】

【分析】根據(jù)一元一次不等式組的解法可直接進行求解.

4x-5>x+1①

【詳解】解：,3x-4△

------<X2）

I2

由①可得：x>2,

由②可得：x<4,

原不等式組的解集為2Vx<4.

【點睛】本題主要考查一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵.

19.已知Y+zk-uo,求代數(shù)式（口一。）2+可24+。）的值.

【答案】1

【解析】

【分析】先對代數(shù)式進行化簡，然后再利用整體思想進行求解即可.

【詳解】解：（a-bf+b（2a+b）

=。2-2ab+b2+2ab+b2

=a2+2b2>

Va2+2b2-1=Q>

???/+2/=1，

代入原式得：原式=1.

【點睛】本題主要考查整式的乘法運算及完全平方公式，熟練掌握利用整體思想進行整式的化簡求值是解

題的關鍵.

20.《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一根桿，

在地面上沿著桿的影子的方向取一點8,使區(qū)A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點8

處立一根桿；日落時，在地面上沿著點5處的桿的影子的方向取一點C,使C6兩點間的距離為10步，

在點C處立一根桿.取C4的中點O,那么直線08表示的方向為東西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A,8,。的位置如圖所示.使用直尺和圓規(guī)，在圖中作C4

的中點。（保留作圖痕跡）;

（2）在如圖中，確定了直線。B表示的方向為東西方向.根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直

線C4表示的方向為南北方向，完成如下證明.

證明：在AABC中，B4=，。是C4的中點，

:.CA±DB（）（填推理的依據(jù)）.

???直線表示的方向為東西方向，

直線CA表示的方向為南北方向.

【答案】（1）圖見詳解；（2）BC,等腰三角形的三線合一

【解析】

【分析】（1）分別以點A、C為圓心，大于AC長的一半為半徑畫弧，交于兩點，然后連接這兩點，與AC

的交點即為所求點。；

（2）由題意及等腰三角形的性質可直接進行作答.

【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）證明：在中，BA=BC,。是C4的中點，

:.CA±DB（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據(jù)）.

?.?直線表示的方向為東西方向，

，直線CA表示的方向為南北方向；

故答案為8C,等腰三角形的三線合一.

【點睛】本題主要考查垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質，熟練掌握垂直平分線的尺規(guī)作圖及等

腰三角形的性質是解題的關鍵.

21.已知關于x的一元二次方程V一4〃a+3機2=0.

（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若m>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求〃?的值.

【答案】（1）見詳解；（2）m=l

【解析】

【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進行求證;

（2）設關于x的一元二次方程/一4/^+3〃22=0的兩實數(shù)根為知馬，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的

關系可得玉+々=4m=3，/,進而可得（王一%）2=4,最后利用完全平方公式代入求解即可.

【詳解】（1）證明：由題意得：a=\,b=c=3m2,

?*-A=-4ac=16nr-4x1x3//=4m2，

Vm2>0，

***A=4m2>0，

???該方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：設關于x的一元二次方程優(yōu)+3m2=0的兩實數(shù)根為3,々，則有：

玉+尢2=4占?無2=3"?2,

V|%1-^|=2,

2）=（%+9）-4玉工2-16m2-12m2=4,

解得：m=±L

*.*m>0,

/.m=1.

【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及

根與系數(shù)的關系是解題的關鍵.

22.如圖，在四邊形ABC。中，NACB=NCAT）=90。，點后在上，AE//DC.EF±ABf垂足為尸.

（1）求證：四邊形AECZ）是平行四邊形;

4

（2）若Af平分N84C,BE=5,cosB=y,求B/45*7和AD的長.

【答案】（1）見詳解；（2）BF=4,AD=3

【解析】

【分析】（1）由題意易得AD〃CE,然后問題可求證；

4

（2）由（1）及題意易得EF=CE=AD,然后由BE=5,cosB=y可進行求解問題.

【詳解】（1）證明：???NAC5=NCW=90°,

：.AD//CE,

'：AE//DC,

四邊形AECO是平行四邊形；

（2）解：由（1）可得四邊形AECD是平行四邊形，

CE-AD,

VEFrAB,AE平分Za4C,ZACB=90°,

：.EF=CE,

:.EF=CE=AD,

4

BE=5,cosB=—,

5

4

BF=BE-cosB=5x—=4,

5

???EF=\IBE2-BF2=3,

，AD=EF=3.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質與判定、勾股定理、角平分線的性質定理及三角函數(shù)，熟練掌握

平行四邊形的性質與判定、勾股定理、角平分線的性質定理及三角函數(shù)是解題的關鍵.

23.在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)丁=區(qū)+伙女工0）的圖象由函數(shù)y=的圖象向下平移1個單位

長度得到.

（1）求這個一次函數(shù)的解析式；

（2）當x>-2時，對于X的每一個值，函數(shù)y=g（機工0）的值大于一次函數(shù)y=H+b的值，直接寫出m

的取值范圍.

【答案】（1）y=-x-l；（2）-<m<\

22

【解析】

【分析】（1）由圖象的平移及題意可直接求得一次函數(shù)的解析式;

（2）由題意可先假設函數(shù)y=/nr（mHO）與一次函數(shù)y=的交點橫坐標為—2,則由⑴可得：m=l,

然后結合函數(shù)圖象可進行求解.

【詳解】解：（1）由一次函數(shù)〉="+匕化HO）圖象由函數(shù)y=gx的圖象向下平移1個單位長度得到可

得：一次函數(shù)的解析式為y=-

（2）由題意可先假設函數(shù)丁=如（加。0）與一次函數(shù)＞=依+8的交點橫坐標為—2,則由（1）可得：

-2m=；x（—2）—1,解得：m=1,

...當x＞—2時，對于x的每一個值，函數(shù)y=（加。0）的值大于一次函數(shù)y=的值時，根據(jù)一次函

數(shù)的k表示直線的傾斜程度可得當m=g時，符合題意，當機＜g時，則函數(shù)y=ax（m，0）與一次函數(shù)

丫=履+匕的交點在第一象限，此時就不符合題意，

綜上所述：

2

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵.

24.如圖，是AABC的外接圓，AO是的直徑，于點E.

B

（1）求證：ZBAD=ZCAD；

（2）連接50并延長，交AC于點F,交O。于點G,連接GC.若O。的半徑為5,0E=3,求GC

和OF的長.

25

【答案】（1）見詳解；（2）GC=6,0F=—

【解析】

【分析】（1）由題意易得BO=CO,然后問題可求證；

（2）由題意可先作圖，由（1）可得點E為3c的中點，則有0E='CG,OE//CG,進而可得AAOFSACG廠,

2

然后根據(jù)相似三角形的性質可進行求解.

【詳解】（1）證明：；AO是的直徑，ADLBC,

BD=CD，

：.ZBAD=ZCAD；

（2）解：由題意可得如圖所示：

由（1）可得點E為BC的中點,

???點。是BG的中點,

OE=-CG,OE//CG,

2

，AAOFSACGF，

.OA_OF

"CG~GF'

OE=3,

CG=6，

QO的半徑為5,

OA-OG=5,

,5OF

??一=，

6GF

【點睛】本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質與判定，熟練掌握垂徑定理、三角形

中位線及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

25.為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業(yè)中，各隨機抽取了25家

郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析.下面給出了

部分信息.

。.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：

6<x<8,8<x<10,10<x<12,12<x<14,14<%<16）：

b.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10?尤<12這一組的是：10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,11.6,

11.8

c.甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)寫出表中的值；

(2)在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為小.在乙城市抽

取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為2?比較P2的大小，并說明

理由；

(3)若乙城市共有200家郵政企業(yè)，估計乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入(直接寫出結果).

【答案】(1)相=10.1;(2)Pi<〃2,理由見詳解：(3)乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入為2200百萬

元.

【解析】

【分析】(1)由題中所給數(shù)據(jù)可得甲城市的中位數(shù)為第13個數(shù)據(jù)，然后問題可求解；

(2)由甲、乙兩城市的中位數(shù)可直接進行求解；

(3)根據(jù)乙城市的平均數(shù)可直接進行求解.

【詳解】解：(1)由題意可得，”為甲城市的中位數(shù)，由于總共有25家郵政企業(yè)，所以第13家郵政企業(yè)的

收入作為該數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

?；6Mx<8有3家，8Kx<10有7家，10Kx<12有8家，

中位數(shù)落在10<x<12上，

m=10.1；

(2)由(1)可得：甲城市中位數(shù)低于平均數(shù)，則P1最大12個；乙城市中位數(shù)高于平均數(shù)，則〃2至少

為13個,

Pl<P2；

(3)由題意得：

200x11=2200(百萬元)；

答：乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入為2200百萬元.

【點睛】本題主要考查中位數(shù)、平均數(shù)及統(tǒng)計與調查，熟練掌握中位數(shù)、平均數(shù)及統(tǒng)計與調查是解題的關

鍵.

26.在平面直角坐標系xOy中，點和點（3,N）在拋物線丁=口？+區(qū)（“＞（））上.

（1）若加=3,n=15,求該拋物線的對稱軸；

（2）已知點（一l,y）,（2,必）,（4,%）在該拋物線上.若加?＜0，比較%，%，%的大小，并說明理由.

【答案】（1）x=-l；（2）當＜弘＜為，理由見解析

【解析】

【分析】（1）由題意易得點（1,3）和點（3,15）,然后代入拋物線解析式進行求解，最后根據(jù)對稱軸公式進行

求解即可；

（2）由題意可分當機＜0,〃＞0時和當機＞0,〃＜0時，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質進行分類求解即可.

【詳解】解：（1）當加=3,〃=15時，則有點（1,3）和點（3,15）,代入二次函數(shù)丫=磔2+樂（。＞0）得：

a+b-3a=1

c.，解得：1

9a+3〃=15、b=2'

???拋物線解析式為y=V+2x,

拋物線的對稱軸為x==-1；

2a

（2）由題意得：拋物線丫=磔2+笈（。＞0）始終過定點（0,0）,則由加〃＜0可得：

①當機＞0,〃＜0時，由拋物線y=ax2+bx（a＞0）始終過定點（0,0）可得此時的拋物線開口向下，即a＜0,

與Q＞0矛盾；

②當mv0,0時，

?..拋物線y=ax2+bx（a＞0）始終過定點（0,0）,

13

???此時拋物線的對稱軸的范圍為一＜x＜2,

22

?.?點（-1,y）,（2,%）,（4,%）在該拋物線上，

3S1357

.?.它們離拋物線對稱軸的距離的范圍分別為巳＜%-（—1）＜/,—＜2—》＜二,己＜4—X＜一，

2''22222

?：a＞Q,開口向上，

由拋物線的性質可知離對稱軸越近越小，

%M<%?

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵.

27.如圖，在AA6c中，==為8c的中點，點。在上，以點A為中心，將線

段AD順時針旋轉a得到線段AE，連接BE,DE.

（1）比較與NC4D的大??；用等式表示線段BE,之間的數(shù)量關系，并證明；

（2）過點M作A3的垂線，交DE于點、N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關系，并證明.

【答案】（1）ZBAE=ZCAD,BM=BE+MD，理由見詳解；（2）DN=EN,理由見詳解.

【解析】

【分析】（1）由題意及旋轉的性質易得NB4C=NE4￡>=a,AE=AD，然后可證△ABEg^AC。，

進而問題可求解；

（2）過點E作垂足為點Q,交AB于點”，由（1）可得Z45E=NACZ）,BE=CD,易證

BH=BE=CD,進而可得=然后可得ADMNSADHE,最后根據(jù)相似三角形的性質可求證.

【詳解】（1）證明：?.?/R4C=NE4T>=a,

ZBAE+ZBAD=ZBAD+ZCAD=a,

/.ZBAE=ZCAD,

由旋轉的性質可得AE=4D，

AB^AC,

：.^ABE^ACD（SAS）,

BE=CD,

?.?點M為8C的中點，

BM=CM,

'：CM=MD+CD=MD+BE,

；?BM=BE+MD；

（2）證明：DN=EN,理由如下：

過點E作EHLAB,垂足為點2,交A8于點”，如圖所示:

...ZEQB=ZHQB=90°,

由（1）可得△ABE也△AC。，

AZABE=ZACD,BE=CD,

AB=AC,

：.ZABC=NC=ZABE,

???BQ=BQ,

：.^BQE^BQH(ASA),

BH=BE=CD,

■:MB=MC,

HM=DM，

'：MN±AB,

MN//EH,

:.ADMNS&DHE,

.DMDN1

?■---------——,

DHDE2

DN=EN.

【點睛】本題主