連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量本章主要內(nèi)容：隨機(jī)變量及分布函數(shù)

連續(xù)型隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征、契貝曉夫不等式條件分布與條件期望、回歸與第二類回歸特征函數(shù)第2頁,共180頁，2024年2月25日，星期天教學(xué)目的與要求1．掌握分布函數(shù)的定義和性質(zhì)；2．掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，特別是均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的概率密度；二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度和邊際密度。3．掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差。4．掌握表示隨機(jī)變量相互關(guān)系的數(shù)字特征：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，隨機(jī)變量的不相關(guān)與獨(dú)立的異同。5．掌握連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布密度的求法，掌握卷積公式。6.掌握特征函數(shù)及其應(yīng)用第3頁,共180頁，2024年2月25日，星期天教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)，期望、方差的有關(guān)概念。教學(xué)難點(diǎn)是協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的有關(guān)計(jì)算，及卷積公式的應(yīng)用。第4頁,共180頁，2024年2月25日，星期天3.1隨機(jī)變量及分布函數(shù)

一、隨機(jī)變量定義3.1設(shè)（）是一個概率空間，對于是一個取實(shí)值的單值函數(shù)，對任意的x∈R，有{}∈F，則稱為（）上的一個（實(shí)）隨機(jī)變量。第5頁,共180頁，2024年2月25日，星期天二、分布函數(shù)及其性質(zhì)下面總是假設(shè)給定概率空間，所討論的R.V.是同一概率空間上的R.V.【定義】

第6頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例1】擲一枚均勻的硬幣

＝求R.V.的d.f.F（x）【解】不難求得：

第7頁,共180頁，2024年2月25日，星期天01．1○○xy=F（x）第8頁,共180頁，2024年2月25日，星期天F(x)單調(diào)不減，即

0≤F（x）≤1，且F(x)右連續(xù)，即反之，具有上述三個性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要條件?！径ɡ怼浚ǚ植己瘮?shù)性質(zhì)定理）第9頁,共180頁，2024年2月25日，星期天推論：在分布函數(shù)的性質(zhì)定理的條件下，對任意實(shí)數(shù)a＜b，有：P()=F（b）-F（a）P()=F（a+0）-F（a）P()=1-F（a）其中F（a+0）＝第10頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第16頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例2】設(shè)R.V.為:求（1）P（2≤<4）

（2）P（≤3）（3）P（=1）（4）P（≥）第17頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例3】設(shè)，求R.V.的d.f【解】第18頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例4】設(shè)母雞在任意的的時間間隔內(nèi)下蛋個數(shù)服從泊松分布問兩次下蛋之間的“等候時間”服從什么樣的分布函數(shù)？【解】設(shè)前一次下蛋時刻為0，因?yàn)椴豢赡転樨?fù)值，所以當(dāng)t≤0時，而當(dāng)t>0時，因?yàn)樵诘群虻臅r間內(nèi)雞不下蛋，所以故有：

第19頁,共180頁，2024年2月25日，星期天于是：

∵由概率的連續(xù)性即得：

F(t)=

=

=

第20頁,共180頁，2024年2月25日，星期天于是：這是指數(shù)分布的分布函數(shù)。

第21頁,共180頁，2024年2月25日，星期天3.2連續(xù)型隨機(jī)變量一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)

定義：設(shè)R.V.的d.f為，如果存在非負(fù)函數(shù)，使得那么稱為一連續(xù)型R.V.，稱為R.V.的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。第22頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【概率密度函數(shù)的性質(zhì)】這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)P(x)是否為某r.vX的概率密度函數(shù)的充要條件.

P(x)xo面積為1第23頁,共180頁，2024年2月25日，星期天

故

的密度P(x)在x這一點(diǎn)的值，恰好是落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，則P(x)相當(dāng)于線密度.

若x是P(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：=P(x)3.對P(x)的進(jìn)一步理解:第24頁,共180頁，2024年2月25日，星期天

要注意的是，密度函數(shù)P(x)在某點(diǎn)a處的高度，并不反映取值的概率.但是，這個高度越大，則取a附近的值的概率就越大。也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度。

f(x)xo第25頁,共180頁，2024年2月25日，星期天連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0。即：a為任一指定值這是因?yàn)樾枰赋龅氖?第26頁,共180頁，2024年2月25日，星期天由此得，1)對連續(xù)型r.v.,有第27頁,共180頁，2024年2月25日，星期天2)由P(=a)=0可推知而{=a}并非不可能事件并非必然事件稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件?？梢姡蒔(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S第28頁,共180頁，2024年2月25日，星期天

由于連續(xù)型r.v唯一被它的密度函數(shù)所確定。所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型r.v的概率規(guī)律就得到了全面描述.

P(x)xo第29頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例1】設(shè)R.V.具有密度函數(shù)試求（1）常數(shù)C

（2）的d.f.F（x）（3）P(0≤≤1）

【解】

第30頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例2】設(shè)R.V.的d.f為求常數(shù)及R.V.的p.d.f。【解】第31頁,共180頁，2024年2月25日，星期天二、幾種常見的連續(xù)型分布

它的實(shí)際背景是:r.vX取值在區(qū)間(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比.則X具有(a,b)上的均勻分布。1.均勻分布第32頁,共180頁，2024年2月25日，星期天2.正態(tài)分布若

的密度函數(shù)為則稱服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作～N(,2)為常數(shù)，第33頁,共180頁，2024年2月25日，星期天p(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對稱：f(+x)=f(-x)在x=

時,p(x)取得最大值在x=

±

時,曲線y=p(x)在對應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線y=p(x)以x軸為漸近線曲線y=p(x)的圖形呈單峰狀第34頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共180頁，2024年2月25日，星期天p(x)的兩個參數(shù)：

—

位置參數(shù)即固定

,對于不同的

,對應(yīng)的p(x)的形狀不變化，只是位置不同

—形狀參數(shù)固定

，對于不同的

，p(x)的形狀不同。若

1<

2則比x=

2所對應(yīng)的拐點(diǎn)更靠近直線x=附近值的概率更大。x=

1所對應(yīng)的拐點(diǎn)前者取

第36頁,共180頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)用場合若隨機(jī)變量受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則服從正態(tài)分布?？捎谜龖B(tài)變量描述的實(shí)例非常之多：各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績；第37頁,共180頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算：一種重要的正態(tài)分布：N(0,1)—標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第38頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共180頁，2024年2月25日，星期天-xx第40頁,共180頁，2024年2月25日，星期天對一般的正態(tài)分布：～N(

,

2)其分布函數(shù)作變量代換第41頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例3】設(shè)~N(1,4),求P(01.6)【解】P460附表3第42頁,共180頁，2024年2月25日，星期天解一第43頁,共180頁，2024年2月25日，星期天解二圖解法0.2由圖0.3第44頁,共180頁，2024年2月25日，星期天0=1.645=2.575=-1.645=-2.575標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上

分位數(shù)u

第45頁,共180頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)有一項(xiàng)工程有甲、乙兩家公司投標(biāo)承包。甲公司要求投資2.8億元，但預(yù)算外開支波動較大，設(shè)實(shí)際費(fèi)用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投資3億元，但預(yù)算外開支波動較小，設(shè)實(shí)際費(fèi)用Y~N(3,0.22)?，F(xiàn)假定工程資方掌握資金(1)3億元，(2)3.4億元，為了在這兩種情況下，不至造成資金赤字，選擇哪家公司來承包較為合理？解（1）工程資方掌握資金3億元。若委托甲公司承包若委托乙公司承包標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表=0.6554(2)請自己完成。委托甲公司承包較為合理。第46頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例5】設(shè)測量的誤差～N(7.5,100)(單位：米),問要進(jìn)行多少次獨(dú)立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過10米的概率大于0.9?解設(shè)A表示進(jìn)行n次獨(dú)立測量至少有一次誤差的絕對值不超過10米n>3所以至少要進(jìn)行4次獨(dú)立測量才能滿足要求。

第47頁,共180頁，2024年2月25日，星期天3.指數(shù)分布則稱服從

參數(shù)為

的指數(shù)分布。

>0為常數(shù)第48頁,共180頁，2024年2月25日，星期天對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似第49頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例6】令：B={等待時間為10～20分鐘}第50頁,共180頁，2024年2月25日，星期天3.3多維隨機(jī)變量及其分布一、多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)定義1：如果是概率空間上的n個隨機(jī)變量，那么稱向量（）為n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量。定義2：對，稱為n維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。【注】為方便，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量此時，有第51頁,共180頁，2024年2月25日，星期天由上述得：F(x,y）是二維隨機(jī)變量落入圖中陰影部分的概率。●（x，y）xy第52頁,共180頁，2024年2月25日，星期天對于(x1,y1),(x2,y2)

R2,(x1<

x2，y1<y2)，則隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形區(qū)域[x1<X

x2，y1<Y

y2]內(nèi)的概率可用分布函數(shù)表示為P(x1<X

x2，y1<Y

y2)＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)(x1,y1)(x2,y2)O

x1

x2xy1y2y第53頁,共180頁，2024年2月25日，星期天定理1：二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)具有如下的基本性質(zhì)：

F（x，y）對每個變元是非降的；F（x，y）對每個變元右連續(xù)；F（-∞，y）＝0，F(xiàn)（x，-∞）＝0,F(+∞,+∞）=1

【注】第54頁,共180頁，2024年2月25日，星期天二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個整體，具有聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有它們的分布函數(shù)，記

X的分布函數(shù)為FX(x)，稱為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；

Y的分布函數(shù)為FY(y)，稱為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。由分布函數(shù)的定義可得到聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)的關(guān)系

第55頁,共180頁，2024年2月25日，星期天例3.6設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A，B，C為常數(shù)，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)

(1)試確定A，B，C；(2)求X和Y的邊緣分布函數(shù)；(3)求P(X>2)解

(1)由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)2可知解得(2)(3)由X的分布函數(shù)可得故第56頁,共180頁，2024年2月25日，星期天二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量定義：如果二維R.V.的聯(lián)合分布函數(shù)F（x，y），存在非負(fù)可積函數(shù)p（x，y），使得那么，稱F（x，y）是連續(xù)型聯(lián)合分布函數(shù)，并稱是二維連續(xù)型R.V。此時，也稱p（x，y）為的概率密度函數(shù)。第57頁,共180頁，2024年2月25日，星期天

的聯(lián)合密度函數(shù)p(x,y)具有如下性質(zhì)：

p(x,y)≥0

在p(x,y)的連續(xù)點(diǎn)(x,y)處有

G是平面上某一區(qū)域，則第58頁,共180頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為(1)求常數(shù)k；(2)求概率P(X+Y≤1)。解(1)解得k=15O1x1yy=xx+y=1(2)第59頁,共180頁，2024年2月25日，星期天(1)求常數(shù)K；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y

1)。例已知解(1)K=6Oxyx+2y=1(2)(3)第60頁,共180頁，2024年2月25日，星期天p(x,y)的邊際p.d.f第61頁,共180頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)二維隨機(jī)變量求邊緣密度函數(shù)pX(x)和pY(y)解當(dāng)0<x<1時,O1xy1y=x2y=x3當(dāng)x≤0或x≥1時，pX(x)=0，所以當(dāng)0<y<1時,當(dāng)y≤0或y≥1時，pY(y)=0，所以第62頁,共180頁，2024年2月25日，星期天三、常用的二維連續(xù)型分布1.均勻分布

設(shè)是一平面區(qū)域，其面積為，向內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn)，表示投點(diǎn)的坐標(biāo)，由幾何概型知：對任一區(qū)域,有假設(shè)顯然：p(x,y)是隨機(jī)變量服從區(qū)域上的均勻分布第63頁,共180頁，2024年2月25日，星期天注：可以把二維區(qū)域上的均勻分布推廣到n維區(qū)域上的均勻分布第64頁,共180頁，2024年2月25日，星期天2.二元正態(tài)分布（1）二元正態(tài)分布定義第65頁,共180頁，2024年2月25日，星期天（2）二元正態(tài)密度的性質(zhì)

第66頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例1】兩個邊際分布都是正態(tài)的，但它們的聯(lián)合分布可以不是二元正態(tài)第67頁,共180頁，2024年2月25日，星期天四、隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義：定理1第68頁,共180頁，2024年2月25日，星期天思考題把定理1推廣到n元的情形【例2】【解】第69頁,共180頁，2024年2月25日，星期天定理2第70頁,共180頁，2024年2月25日，星期天3.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、單個隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般解法而事件：即：即：第71頁,共180頁，2024年2月25日，星期天所以有如果是連續(xù)型分布，則利用d.f與p.d.f之間的關(guān)系，可得：【例1】【解】第72頁,共180頁，2024年2月25日，星期天定義1由此可知：本例中，則第73頁,共180頁，2024年2月25日，星期天一般地，求連續(xù)型R.V函數(shù)的p.d.f有如下的定理：定理第74頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例2】【例3】【解】第75頁,共180頁，2024年2月25日，星期天二．多維R.V.函數(shù)的分布1.預(yù)備知識【引理】R.V.相互獨(dú)立對一切一元波雷爾點(diǎn)集有P=.【定理*】如果n個R.V.相互獨(dú)立,且是一元波雷爾函數(shù)，那么也相互獨(dú)立.第76頁,共180頁，2024年2月25日，星期天2.多維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

設(shè)=是一個n維R.V.，是n元波雷爾可測函數(shù)，作為上的函數(shù)也是R.V.，如果=的聯(lián)合p.d.f.為，如何求出的p.d.f.呢？同前述同類：

然后求導(dǎo)即得.第77頁,共180頁，2024年2月25日，星期天3.和與商的分布

定理1（和的分布）：設(shè)為二維連續(xù)型R.V.，其聯(lián)合p.d.f.為p(x,y),,則有p.d.f.或注：如果與相互獨(dú)立，則或第78頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例4】設(shè)，求的p.d.f.【解】第79頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【注】當(dāng)與相互獨(dú)立時，即=0時，一般的，如果，且相互獨(dú)立，那么.第80頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例5】設(shè)與相互獨(dú)立，，，求的p.d.f..【解】第81頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第82頁,共180頁，2024年2月25日，星期天定義2如果R.V.的p.d.f.為.第83頁,共180頁，2024年2月25日，星期天那么稱R.V.服從參數(shù)為的分布.記為R.V.分布.記為R.V..【例6】設(shè)，.且與相互獨(dú)立，那么

.【解】第84頁,共180頁，2024年2月25日，星期天注1：本例說明：分布對第一參數(shù)具有可加性：如果，，且相互獨(dú)立.那么

.注2：在中，，,則

這是.即.

由分布對第一參數(shù)具有可加性知：對參數(shù)n具有可加性.第85頁,共180頁，2024年2月25日，星期天注3：由前面推導(dǎo)知：，則由分布的可加性知：

這里我們用到一個結(jié)論：如果相互獨(dú)立，f(x)為波雷爾可測函數(shù)，那么也相互獨(dú)立.第86頁,共180頁，2024年2月25日，星期天

定理2（商的分布）設(shè)為二維連續(xù)型R.V.，其p.d.f.為p(x,y).

那么商的p.d.f.為.【推論】當(dāng)如果與相互獨(dú)立時，第87頁,共180頁，2024年2月25日，星期天定義3如果R.V.的p.d.f.為那么稱R.V.服從參數(shù)為（n,m）的分布，記為n——第一參數(shù)，也稱為第一自由度或分子自由度.m——第二參數(shù)，也稱為第二自由度或分母自由度.

第88頁,共180頁，2024年2月25日，星期天0yx第89頁,共180頁，2024年2月25日，星期天定義4如果的p.d.f.為那么稱服從參數(shù)為n的學(xué)生氏分布或自由度為n的t—分布.記為.

如果記.那么由極限的計(jì)算可以證明：第90頁,共180頁，2024年2月25日，星期天0yx第91頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例7】設(shè)與相互獨(dú)立，且，，試求的概率密度函數(shù).【解】第92頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例8】設(shè)，，又與相互獨(dú)立，試求的p.d.f..【解】第93頁,共180頁，2024年2月25日，星期天三.max、min分布設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,X~FX(x),Y~FY(y),M=max{X,Y},N=min{X,Y},求M,N的分布函數(shù).第94頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第95頁,共180頁，2024年2月25日，星期天推廣相互獨(dú)立，且設(shè)則第96頁,共180頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)隨機(jī)變量列獨(dú)立同分布，都服從，試求第97頁,共180頁，2024年2月25日，星期天4.多維R.V.的變換的分布這里只討論連續(xù)型情況：設(shè)為n維連續(xù)型R.V.，其p.d.f.為,又設(shè)，均是上的連續(xù)函數(shù)，組成一個m維，，，如何求的聯(lián)合

.其一般方法是：先求的聯(lián)合d.f.G.，歸結(jié)為計(jì)算積分：第98頁,共180頁，2024年2月25日，星期天（*）式中有如下情況：①當(dāng)m=n=1時，前面已經(jīng)解決過.②當(dāng)m=1,n>1時，前面也解決過.③當(dāng)m=n>1時，這是一類重要的情況，有如下定理：（*）見后第99頁,共180頁，2024年2月25日，星期天定理設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量具有聯(lián)合p.d.f.為，.是到的一個一一映射，如果具有逆變換：

連續(xù)，且有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，那么的聯(lián)合p.d.f.為第100頁,共180頁，2024年2月25日，星期天其中G為的值域.第101頁,共180頁，2024年2月25日，星期天【例9】設(shè)與相互獨(dú)立，同具有參數(shù)為的指數(shù)分布，試求的聯(lián)合分布密度函數(shù)g（u,v）.【解】順便得出z，y的邊際分布密度函數(shù)：第102頁,共180頁，2024年2月25日，星期天§3.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征

切比雪夫不等式第103頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第104頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第105頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第106頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第107頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第108頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第109頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第110頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第111頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第112頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第113頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第114頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第115頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第116頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第117頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第118頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第119頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第120頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第121頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第122頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第123頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第124頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第125頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第126頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第127頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第128頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第129頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第130頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第131頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第132頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第133頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第134頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第135頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第136頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第137頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第138頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第139頁,共180頁，2024年2月25日，星期天第140頁,共180頁，20