高數(shù)第十二章冪級數(shù)

高數(shù)第十二章冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念設為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù).對若常數(shù)項級數(shù)斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域

;若常數(shù)項級數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天為級數(shù)的和函數(shù)

,并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數(shù)項級數(shù)前n

項的和,即在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是

x

的函數(shù)稱它機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例如,

等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?

級數(shù)級數(shù)發(fā)散;所以級數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天二、冪級數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列下面著重討論例如,冪級數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù)

.即是此種情形.的情形,即稱機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散定理1.(Abel定理)

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x

冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式證:

設收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使阿貝爾目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天當時,收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂.也收斂,反之,若當時該冪級數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設有一點滿足不等式所以若當滿足且使級數(shù)收斂,面的證明可知,級數(shù)在點故假設不真.的x,原冪級數(shù)也發(fā)散.

時冪級數(shù)發(fā)散,則對一切則由前也應收斂,與所設矛盾,證畢機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天冪級數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0時,冪級數(shù)僅在x=0收斂;R=

時,冪級數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天定理2.

若的系數(shù)滿足證:1)若

≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當原級數(shù)收斂;當原級數(shù)發(fā)散.即時,1)當

≠0時,2)當

＝0時,3)當

＝∞時,即時,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(或)第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂,3)若則對除x=0以外的一切x原級發(fā)散,對任意

x原級數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級數(shù)的收斂半徑機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天對端點

x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例1.求冪級數(shù)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例2.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例3.的收斂半徑.解:

級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例4.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫攖=2

時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

求冪級數(shù)解:定理2的條件不滿足,故不能直接應用定理2?？紤]用根值求法：的收斂半徑.從而說明:

可以證明比值判別法成立根值判別法成立第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例2

求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散第16頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天三、冪級數(shù)的運算定理3.

設冪級數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天乘法(其中柯西乘積第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天說明:兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天定理4

若冪級數(shù)的收斂半徑(證明見第六節(jié))則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:注:

逐項積分時,運算前后端點處的斂散性不變.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天說明：利用定理4,我們可以求得一些冪級數(shù)的和機動目錄上頁下頁返回結(jié)束和函數(shù),具體的步驟如下:(1)先求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域；(2)在收斂區(qū)間內(nèi),利用逐項積分或逐項求導得到關于和函數(shù)的積分方程式或微分方程式,解方程求和函數(shù)；(3)討論端點的情況,給出收斂域的和函數(shù).第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天解兩邊積分得第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共39頁，2024年2月25日，星期天解:

由例2可知級數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數(shù).因此得設機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例6.

的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時級數(shù)發(fā)散,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例7.

求級數(shù)的和函數(shù)解:

易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天解第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天解收斂區(qū)間(-1,1),第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例8.解:

設則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天而故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)第36頁,共39頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.求冪級數(shù)收斂域的方法1)對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(shù)(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進行加、減與也可通過換元化為標準型再求.乘法運算.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第37頁,共39頁，2024年2月25日，星期天2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導和求積分.思考與練習1.

已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散