醫(yī)科高等數(shù)學(xué) 第二節(jié) 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第二節(jié)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、按定義求導(dǎo)數(shù)三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、函數(shù)的四則運算的求導(dǎo)法則五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則六、對數(shù)求導(dǎo)法七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)八、高階導(dǎo)數(shù)1一、按定義求導(dǎo)數(shù)１．常數(shù)的導(dǎo)數(shù)2．冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所以23．三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即即同理34．對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即特別地，時4二、函數(shù)的四則運算的求導(dǎo)法則5證(1)6則有證(2):設(shè)7證(3)89推論10解:例2-7

例2-8設(shè)樹枝上樹葉能覆蓋的面積決定陽光的多少,設(shè)樹枝同主干的夾角為,則,求關(guān)于的變化率.解:例2-9解:11同理可得即例2-9解:同理可得即12三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2-1即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).13于是有證明：即14解：同理可得例2-10即15例2-11解：即特別地,當(dāng)時,16

例2-12正常呼吸時,氣流速度是氣管半徑的函數(shù),即有公式:

求咳嗽時,氣管半徑隨氣流速度的變化而擴張的變化率.解：17四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理2-2

即

因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)或證明：18推廣則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或19例2-13解：例2-14解：20例2-15解：21解：例2-1622

例2-17證明冪函數(shù)的求導(dǎo)公式對任意實數(shù)指數(shù)成立.證明:將化為,則例如,23

例2-18有關(guān)血管中血液流動的速度的Poiseuille’s

定律由下面的公式表出擴張.那么動脈中血液流速關(guān)于時間的變化率為多少?其中,是血管半徑,是血管橫截面上離中軸線距離處的血液流速.皆是物理常數(shù).已知阿司匹林具有舒張微細(xì)血管的作用.假定病人遵醫(yī)囑服用了兩片阿司匹林,在隨后的一段時間里,動脈血管的半徑以速率24由Poiseuille定律所以

若某處的血管半徑，則在該處血液流速的變化率為

解：由所作假設(shè)，由決定，而又隨時間而變化，故是復(fù)合函數(shù).則25五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

如果聯(lián)系兩個變量和的函數(shù)式是由方程來確定的，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù).隱函數(shù)的顯化例如（顯化）（不能顯化）問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?

直接從方程兩邊來求導(dǎo),稱為隱函數(shù)的求導(dǎo)法則.26

解:方程兩邊分別關(guān)于求導(dǎo),則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和四則運算法則有解得所以

例2-19已知函數(shù)是由方程確定的.求和27

例2-20設(shè)生物總數(shù)的生長規(guī)律滿足下列l(wèi)ogistic方程其中,均為常數(shù),且.試求生長率解:將寫成如下形式兩邊對求導(dǎo)得整理得28六、對數(shù)求導(dǎo)法

方法:先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:例2-21解：對函數(shù)取自然對數(shù)，得兩邊對求導(dǎo)，得29所以例2-22解：對函數(shù)取自然對數(shù)，得301.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)312.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè))(),(xvvxuu==可導(dǎo)，則（1）vuvu￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數(shù))或3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)32八、高階導(dǎo)數(shù)記作三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),33二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).例2-22解:34解:例2-2335例2-24解:36解:同理可得例