醫(yī)科高等數(shù)學(xué) 第四節(jié) 定積分的應(yīng)用

一、微元法二、平面圖形的面積三、旋轉(zhuǎn)體的體積四、定積分在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用第四節(jié)

定積分的應(yīng)用1Ox

yy=f(x)

ab回憶:曲邊梯形面積的求法一、微元法(1)分割(2)近似(3)求和(4)求極限2分析:面積元素Ox

yy=f(x)

ab3一般的解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：(1)

確定所求量和自變量,以及的變化范圍;(2)任取,給一個(gè)增量,則區(qū)間可視為上的任一小區(qū)間,且將該區(qū)間上的局部量記為,并求出的近似值.其中為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).稱為所求量的微元,記為(3)將的微元從無(wú)限累加到,便得到所求的量,即以上用定積分解決實(shí)際問(wèn)題的方法稱為微元法.4二、平面圖形的面積1.由曲線與直線、、軸所圍成的圖形的面積.由定積分的幾何意義可知,所求圖形的面積

例3-55求拋物線與直線、所圍成的平面圖形的面積.解：先畫出草圖，定出所求的平面圖形.在區(qū)間上,;在區(qū)間上,5所求面積為6

2.由曲線、與直線、

所圍成的圖形的面積.7

例3-56求由拋物線和所圍成的圖形的面積.解:解方程組得兩曲線的交點(diǎn)、所求面積為83.由曲線與直線、、軸所圍成的圖形的面積.

4.由曲線、與直線、

所圍成的圖形的面積.9解:解方程組得兩曲線的交點(diǎn)

例3-57求由曲線和直線所圍成的圖形的面積.

、選為積分變量解法一:1011選為積分變量解法二:12

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)三、旋轉(zhuǎn)體的體積13旋轉(zhuǎn)體的體積為

下面用微元法來(lái)求由連續(xù)曲線、直線、及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體體積.

任取,給一個(gè)增量,得一微小小區(qū)間,它所對(duì)應(yīng)的小旋轉(zhuǎn)體體積可近似看作是以為底半徑、以為高的圓柱體體積.即xyo14

同理,由連續(xù)曲線與直線、及軸所圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體體積.15

例3-58求由橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解：將橢圓方程化為由公式得出所求的體積為b-ba-aOx

y16

例3-59求由曲線與直線、圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.解：由公式得出所求的體積為17

例3-60求由曲線、與直線、圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

解：所求的旋轉(zhuǎn)體體積等于曲邊梯形OACD

、曲邊三角形OAB分別繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積之差.所求的體積18四、定積分在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用例3-61

血藥濃度時(shí)間曲線下的面積

假設(shè)口服一定劑量的某種藥物之后,血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系為試求總面積AUC.解:19例3-62藥物有效度測(cè)定

藥物從病人的以尿液中排出,一種典型的排泄速率函數(shù)為,其中為消除速率常數(shù).求排出藥物的總量.解:在時(shí)間間隔[0,T]內(nèi),排出藥物的總量20所以,藥物排出的總量21例3-63血液中胰島素的平均濃度的測(cè)定

由實(shí)驗(yàn)測(cè)定患者的胰島素濃度，先讓病人禁食，以降低體內(nèi)血糖水平，然后通過(guò)注射給病人大量的糖。假定由實(shí)驗(yàn)測(cè)得患者的血液中的胰島素的濃度C(t)(單位/ml)為

其中,時(shí)間t的單位是分鐘.求1小時(shí)內(nèi),該患者體內(nèi)胰島素的平均濃度C(t).22解：由積分中值定理可知:23例3-64單位時(shí)間內(nèi)血管穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)血流量取血管的一個(gè)橫截面來(lái)討論單位時(shí)間內(nèi)的血流量Q.

設(shè)有一段長(zhǎng)為L(zhǎng),截面半徑為R的血管,其左端動(dòng)脈端的血壓為,右端相對(duì)靜脈的血壓為,血液黏滯系數(shù)為.假設(shè)血管中的血液流動(dòng)是穩(wěn)定的,由實(shí)驗(yàn)可知,在血管的橫截面上離血管中心處的血液流速為L(zhǎng)24rr+dr

解:血液量等于血流流速截面積的,由于血液流速隨流層而變化,故在橫截面上任取一個(gè)內(nèi)半徑為,外半徑為的小圓環(huán).

在該小圓環(huán)上血液流速可近似認(rèn)為是相等的,所以單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)該小圓環(huán)的血流量即小圓環(huán)面積25于是因此,單位時(shí)間內(nèi)血管穩(wěn)定流動(dòng)的血流量為26例3-65實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn),某重金屬毒物(如鎘、汞、鉛等)在t時(shí)刻在體內(nèi)的殘留量

其中為開始時(shí)體內(nèi)最初數(shù)量(濃度),即每日吸收量;為該物質(zhì)由體內(nèi)排出體外的速率常數(shù)(排泄率).且已知為該毒物由體內(nèi)排出一半的時(shí)間,即生物半衰期.求體內(nèi)重金屬最大的蓄積量.解:先求出時(shí)間段內(nèi),體內(nèi)重金屬的蓄積量.27體內(nèi)重金屬最大的蓄積量將,代入上式,故最大的的蓄積量=1.44每是吸收量生物半衰期.28例3-66染料稀釋法確定心輸出量

心輸出量是指每分鐘心臟泵出的血量,在生理學(xué)實(shí)驗(yàn)中常用染料稀釋法來(lái)測(cè)定.把一定量的染料注入靜脈,染料將隨血液循環(huán)通過(guò)心臟到達(dá)肺部,再返回心臟而進(jìn)入動(dòng)脈系統(tǒng).

假定在時(shí)刻t=0時(shí)注入5mg的染料，自染料注入后便開始在外周動(dòng)脈中連續(xù)30秒監(jiān)測(cè)血液中染料的濃度,它是時(shí)間的函數(shù)C(t):29

注入染料的量M與在30秒之內(nèi)