材料習題解答第五章

材料習題解答[第五章]5-1構件受力如圖5-26所示。試：(1)確定危險點的位置；(2)用單元體表示危險點的應力狀態(tài)（即用縱橫截面截取危險點的單元體，并畫出應力）。（a）（（a）（b）（c）（d）解：a)1)危險點的位置：每點受力情況相同，均為危險點；2）用單元體表示的危險點的應力狀態(tài)見下圖。b)1)危險點的位置：外力扭矩3T與2T作用面之間的軸段上表面各點；2）應力狀態(tài)見下圖。c)1)危險點：A點，即桿件最左端截面上最上面或最下面的點；2）應力狀態(tài)見下圖。d)1）危險點：桿件表面上各點；2）應力狀態(tài)見下圖。a)b)a)b)c)d)5-2試寫出圖5-27所示單元體主應力σ1、σ2和σ3的值，并指出屬于哪一種應力狀態(tài)（應力單位為MPa）。c)b)a)c)b)a)題5-2圖解：a)=50MPa,==0,屬于單向應力狀態(tài)b)=40MPa,=0,=－30MPa，屬于二向應力狀態(tài)c)=20MPa,=10MPa,=－30MPa，屬于三向應力狀態(tài)5-3已知一點的應力狀態(tài)如圖5-28所示（應力單位為MPa）。試用解析法求指定斜截面上的正應力和切應力。c)b)a)c)b)a)題5-3圖解：取水平軸為x軸，則根據正負號規(guī)定可知：=50MPa,=30MPa,=0,α=－30帶入式（5-3），（5-4）得=45MPa=-8.66MPa取水平軸為x軸，根據正負號規(guī)定：=-40MPa,=0,=20MPa,α=120帶入公式，得：=7.32MPa==7.32MPa取水平軸為x軸，則=-10MPa,=40MPa,=-30MPa,α=30代入公式得：按代數值得MPa，MPa，MPa由公式（5-7）可求得主應力方向=，=最大主應力的方向與x軸正向夾角為順時針3）最大切應力由公式（5-20）MPab）解：（1）求指定斜截面上的應力取水平軸為x軸，=60MPa,=-20MPa,=-30MPa,α=-30代入公式得:=14.02MPa==-49.64MPa(2)求主應力及其方向，由公式（5-8）得：MPa按代數值得MPa，MPa，MPa由公式（5-7）可求得主應力方向=，=最大主應力的方向與x軸正向夾角為逆時針如圖所示：3）最大切應力由公式（5-20）MPac)解:取水平軸為x軸，則=60MPa,=0,=-40MPa,α=-150代入公式得：=79.64MPa==5.98Mpa(2)求主應力及其方向，由公式（5-8）得：MPa按代數值得MPa，MPa，MPa由公式（5-7）可求得主應力方向=，=最大主應力的方向與x軸正向夾角為逆時針如圖所示：3）最大切應力由公式（5-20）5-5已知一點的應力狀態(tài)如圖5-30所如圖所示（應力狀態(tài)為MPa）。試用圖解法求：(1)指定斜截面上的應力；(2)主應力及其方位，并在單元體上畫出主應力狀態(tài)；(3)最大切應力。c)b)a)c)b)a)題5-5圖解：(1)求指定斜截面上的應力由圖示應力狀態(tài)可知=40MPa,=20MPa,=10MPa,=-10MPa由此可確定-面內的D、D’兩點，連接D、D’交于C。以C為圓心，DD’為直徑可做應力圓，斜截面與x軸正方向夾角為60，在應力圓上，由D逆時針量取120得E點，按比例量的E點坐標即為斜截面上的正應力和切應力：=60MPa，=3.7MPa（2）求主應力及其方程應力圓中A、B兩點橫坐標對應二向應力狀態(tài)的兩個主應力：==44.14MPa，==15.86Mpa按照得約定，可得三個主應力為：=44.14MPa，=15.86MPa，=0MPa由D轉向A的角度等于2。量得2=45（順時針）因此，最大主應力與x軸正方向夾角為順時針22.5。（3）最大切應力等于由畫出的應力圓的半徑=22.07MPab)解：首先做應力圓：其中D（0，-20）D（50，+20）1）斜截面與y軸正方向夾角45（逆），因此從D逆時針量2=90得E點：==5MPa，==25Mpa2)==57MPa，==-7Mpa按照得=57MPa，=0MPa，=-7MPa主應力方向：最大主應力與y軸夾角為（順）3)最大切應力等于由畫出的應力圓的半徑：MPa(c)解：由圖示應力狀態(tài)可得應力圓上兩點D（-20，20）和D（30，-20）連DD交軸于C,以C為圓心，DD為直徑作圓，即為應力圓，如圖所示斜截面與x軸正方向夾角為60(順),因此由D順時針量120得E點==34.82MPa，==11.65MPa主應力及其方位應力圓與軸的兩個交點A,B的橫坐標即為兩個主應力：==37MPa，==-27Mpa因此=37MPa，=0MPa，=-27MPa由D到A的夾角為逆時針38.66，因此最大主應力為由y軸正方向沿逆時針量19.33所得截面上的正應力。3）最大切應力為由畫出的應力圓半徑MPa5-6一矩形截面梁，尺寸及載荷如圖5-31所示，尺寸單位為mm。試求：(1)梁上各指定點的單元體及其面上的應力；(2)作出各單元體的應力圓，并確定主應力及最大切應力。題5-6圖解：各點的單元體及應力由梁的靜力平衡求得kNA,B,C三點所在截面上的彎矩Nm剪力kNPa=93.75MPa（壓應力）MPa（壓應力）MPaMPa作各單元體的應力圓A點：MPa，=46.875MPaB點：MPa，MPa，，=27.3MPaC點：18.75MPa，0，=-18.75MPa，=18.75MPa5-7試用解析法求圖5-32所示各單元體的主應力及最大切應力（應力單位為MPa）。c)a)b)c)a)b)題5-7圖解：主應力MPa，由于其它兩方向構成純剪切應力狀態(tài)，所以有，=50MPa。b)一個主應力為50MPa，其余兩個方向應力狀態(tài)如圖所示=30MPa，=-20MPa，=20MPa代入公式（5-8）MPa所以=50MPa，=37MPa，=-27MPa==MPa一個主應力為-30MPa，其余兩方向應力狀態(tài)如圖所示取=120MPa，=40MPa，=-30MPa代入公式MPa所以=130MPa，=30MPa，=0MPa==MPa5-8單元體各面上的應力如圖5-33所示。試作三向應力圖，并求主應力和最大切應力。題5-8圖解：a)三個主應力為三向應力圓可作如下b)這是一個純剪切應力狀態(tài)其三向應力圓為=τ三向應力狀態(tài)：一個主應力為零先做一二向應力狀態(tài)的應力圓，得再由和分別作應力圓三個應力圓包圍的陰影部分各點對應三向應力狀態(tài)5-9二向應力狀態(tài)如圖5-34所示。試作應力圓并求主應力（應力單位為MPa）。題5-9圖解：畫出二向應力狀態(tài)的單元體，取水平方向為x軸，則=？,=50MPa,=？，α=30時=80MPa,=0代入式（5-3）（5-4）=80Mpa=0=70MPa,=MPa可做應力圓如圖所示由應力圓可求的三個主應力分別為=80MPa，=40MPa，=0MPa最大切應力為=40MPa5-10圖5-35所示棱柱形單元體為二向應力狀態(tài)，AB面上無應力作用。試求切應力τ和三個主應力。題5-10圖解：畫出二向應力狀態(tài)單元體，取水平方向為x軸則=15MPa,=-15MPa,=τ，α=135時=0,=0代入式（5-3）（5-4）=0=0(自然滿足)由上式解得=15MPa主應力可由公式（5-8）求MPa因此三個主應力為：=0，=0，=-30MPaMPa5-11已知單元體的應力圓或三向應力圖如圖5-36所示（應力單位為MPa）。試畫出單元體的受力圖，并指出應力圓上A點所在截面的位置。c)b)a)c)b)a)d)e)f)題5-11圖5-12圖5-37所示單元體為二向應力狀態(tài)。已知：。試求主應力和最大切應力。題5-12圖解：=80MPa,=40MPa,=τ，=50MPa,α=60將以上已知數據代入公式（5-3）=0再把，，代入公式（5-8）求主應力MPa因此三個主應力為：=80MPa，=40MPa，=-30MPa==40MPa5-13如圖5-38所示單元體處于二向應力狀態(tài)。已知兩個斜截面α和β上的應力分別為；。試作應力圓，求出圓心坐標和應力圓半徑R。題5-13圖解：已知=40MPa,=200MPa,=60MPa,=60MPa由上面兩組坐標可得應力圓上兩點D1,D2,連D1D2,作其垂直平分線交σ軸于C點，以C為圓心，CD為半徑作圓即為所求應力圓。由圖中幾何關系可得圓心坐標C(120,0)半徑=1005-14今測得圖5-39所示受拉圓截面桿表面上某點K任意兩互垂方向的線應變和。試求所受拉力F。已知材料彈性常數E、ν，圓桿直徑d。題5-14圖解：圍繞K點取單元體，兩截面分別沿ε’和ε”方向。如下圖所示由廣義胡克定律聯(lián)求解得我們還可以取K點的單元體如下，即沿桿件橫截面，縱截面截取根據單元體任意兩相互垂直截面上的正應力之和為一常量得： 又=所以F=A=5-15今測得圖5-40所示圓軸受扭時，圓軸表面K點與軸線成30°方向的線應變。試求外力偶矩T。已知圓軸直徑d,彈性模量E和泊松比ν。題5-15圖解：圍繞K點沿ε30方向和與之垂直的方向取單元體如左圖由沿橫縱截面單元體如右圖由公式（5-3、5-4)得:由胡克定律又τ=，所以5-16一剛性槽如圖5-41所示。在槽內緊密地嵌入一鋁質立方塊，其尺寸為10×10×10mm3，鋁材的彈性模量E=70GPa，ν=0.33。試求鋁塊受到F=6kN的作用時，鋁塊的三個主應力及相應的變形。題5-16圖解：F力作用面為一主平面，其上的正應力為MPa=-60MPa前后面為自由表面，也為主平面，=0由題意知=0由胡克定律=所以==所以5-17現測得圖5-42所示受扭空心圓軸表面與軸線成45°方向的正應變，空心圓軸外徑為D,內外徑之比為α。試求外力偶矩T。材料的彈性常數E、ν均為已知。題5-17圖解：受扭圓軸表面上任一點均為純剪切應力狀態(tài)，純剪切應力狀態(tài)單元體上45和135面上主應力取得極大值和極小值，為主平面，=τ，=-τ由胡克定律==代入化簡得所以τ=由受扭圓軸表面上一點剪應力公式5-18現測得圖5-43所示矩形截面梁中性層上K點與軸線成45°方向的線應變，材料的彈性模量,。試求梁上的載荷F之值。題5-18圖解：K點的應力狀態(tài)如圖所示其中τ由公式（3-40）求得又K點有，135方向有，代入到胡克定律有Pa比軸兩式有=48000N=48kN5-19圖5-44所示受拉圓截面桿。已知A點在與水平線成60°方向上的正應變，直徑d=20mm，材料的彈性模量。試求載荷F。題5-19圖解：A點應力狀態(tài)如圖所示由公式（5-3）由胡克定律又=所以=37233.7N=37.23kN5-20試求圖5-45所示矩形截面梁在純彎曲時AB線段長度的改變量。已知：AB原長為a，與軸線成45°，B點在中性層上，梁高為h，寬為b，彈性模量為E，泊松比為ν，彎矩為M。題5-20圖解：求AB的伸長量需先求AB方向的應變，去AB中點位置C其應力狀態(tài)如圖所示，其中==由此可求出AB方向及與其垂直方向的正應力由胡克定律5-21用45°應變花測得受力構件表面上某點處的線應變值為ε0°=-267×10-6,ε45°=-570×10-6及ε90°=79×10-6。構件材料為Q235鋼，E=210GPa，ν=0.3。試求主應變，并求出該點處主應力的數值和方向。解：由公式（5-36）可求