湖北省名校教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（新高考卷）(含答案)

數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某演講比賽8位參賽選手的最終得分分別為92，88，95，93，90，97，94，96，其中位數(shù)為（）A．91.5 B．93 C．93.5 D．942．已知集合，，則（）A．{2，3} B．{1，2，3} C． D．3．設(shè)，則（）A． B． C． D．4．圓心為（2，1），且與直線相切的圓在x軸上的弦長為（）A．2 B．4 C． D．5．若底面半徑為r，母線長為l的圓錐的表面積與直徑也為l的球的表面積相等，則（）A． B． C． D．6．在中，，，，則點(diǎn)A到邊BC的距離為（）A． B． C． D．7．定義域均為R的函數(shù)，滿足，且，則（）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù) C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)8．在棱長為2的正方體中，P，Q，R分別為線段BD，，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．5二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．某次數(shù)學(xué)考試滿分150分，記X，Y分別表示甲、乙兩班學(xué)生在這次考試中的成績，且，，則（）A．甲班的平均分低于乙班的平均分B．甲班的極差大于乙班的極差C．成績?cè)赱100，110]的人數(shù)占比乙班更高D．成績?cè)赱90，100]的人數(shù)占比甲班更高10．設(shè)，則（）A． B．C． D．11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：（，）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過A且平行于y軸的直線與C的一條漸近線交于點(diǎn)B，過B且平行于x軸的直線與y軸交于點(diǎn)D，若，則C的離心率等于（）A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量，，則______．13．已知拋物線：，：的焦點(diǎn)分別為，，一條平行于x軸的直線與，分別交于點(diǎn)A，B，若，則四邊形的面積為______．14．已知函數(shù)．設(shè)k為正數(shù)，對(duì)于任意x，若，二者中至少有一個(gè)大于2，則k的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）設(shè)過C的左焦點(diǎn)且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求的面積．16．（15分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面ABCD，，E為PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAC；（2）若F為AB的中點(diǎn)，求二面角的大小．17．（15分）某商場(chǎng)為回饋顧客舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，顧客一次消費(fèi)超過一定金額即可參加抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱里放有個(gè)大小相同的小球，其中有兩個(gè)標(biāo)有“中獎(jiǎng)”字樣，每位參加抽獎(jiǎng)的顧客一次抽獎(jiǎng)可隨機(jī)抽取兩個(gè)小球．（1）當(dāng)時(shí)，記X為一次抽獎(jiǎng)抽到“中獎(jiǎng)”小球的個(gè)數(shù)，求X的分布列與期望；（2）商場(chǎng)規(guī)定參加抽獎(jiǎng)的顧客一次抽獎(jiǎng)只要抽到一個(gè)“中獎(jiǎng)”小球即視為中獎(jiǎng)，若使中獎(jiǎng)概率不低于25%，求n的最大值．18．（17分）對(duì)于數(shù)列，及常數(shù)p，若滿足，且，則稱對(duì)關(guān)于p耦合．（1）若對(duì)關(guān)于0耦合，且，，求；（2）若對(duì)關(guān)于1耦合，且，求，的通項(xiàng)公式；（3）若存在，，使得對(duì)關(guān)于耦合，且對(duì)關(guān)于耦合，證明：，．19．（17分）“對(duì)稱性”是一個(gè)廣義的概念，包含“幾何對(duì)稱性”、“置換對(duì)稱性”等范疇，是數(shù)學(xué)之美的重要體現(xiàn)．假定以下各點(diǎn)均在第一象限，各函數(shù)的定義域均為．設(shè)點(diǎn)，，，規(guī)定，且對(duì)于運(yùn)算“”，表示坐標(biāo)為的點(diǎn)．若點(diǎn)U，V，W滿足，則稱V與U相似，記作V~U．若存在單調(diào)函數(shù)和，使得對(duì)于圖像上任意一點(diǎn)T，均在圖像上，則稱為的鏡像函數(shù)．（1）若點(diǎn)，，且N~M，求的坐標(biāo)；（2）證明：若為的鏡像函數(shù)，，則；（3）已知函數(shù)，為的鏡像函數(shù)．設(shè)R~S，且．證明：．?dāng)?shù)學(xué)參考答案1．【答案】C【解析】92，88，95，93，90，97，94，96的中位數(shù)是．2．【答案】D【解析】，，則，所以．3．【答案】B【解析】，故．4．【答案】B【解析】圓心（2，1）到直線的距離為，即圓的半徑，所以圓的方程為，令，則或4，故圓在x軸上的弦長為4．5．【答案】D【解析】圓錐的表面積為，球的表面積為，故，即，故．6．【答案】A【解析】由，可知，．由余弦定理有，故．設(shè)點(diǎn)A到邊BC的距離為d，由三角形面積公式得：，故．2237．【答案】D【解析】由可知，又因?yàn)?，故，即，故是偶函?shù)．且根據(jù)題意可得f（x）=f（2-x），故f（x）不一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)．8．【答案】A【解析】設(shè)R在線段CD，上的射影分別為E，F(xiàn)，根據(jù)題意有，，故EP和FQ均取最小值時(shí)，即，且時(shí)滿足要求．設(shè)，則，故．設(shè)，則，故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，即的最小值為．9．【答案】AC（選對(duì)部分得3分）【解析】甲班的平均分為90分，乙班的平均分為100分，甲班平均分低于乙班，故A正確；甲班的方差大于乙班，但不能認(rèn)為甲班的極差一定大于乙班，故B錯(cuò)誤；甲班的平均分為90分，乙班的平均分為100分，且乙班方差小，成績分布更集中，故甲班成績?cè)趨^(qū)間[90，100]的人數(shù)占比低于乙班，且低于乙班成績?cè)趨^(qū)間[100，110]的人數(shù)占比，故C正確，D錯(cuò)誤．10．【答案】BC（選對(duì)部分得3分）【解析】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，，若，則，矛盾，故D錯(cuò)誤．11．【答案】BCD（選對(duì)部分得3分）【解析】設(shè)C的半焦距為c，離心率為e，則有，，，，當(dāng)時(shí)，由直角三角形射影定理可知，，，，故A錯(cuò)誤，B正確，C正確；又，，，且，故，又因?yàn)?，故，即，解得?2．【答案】1【解析】因?yàn)椋?，故，?3．【答案】【解析】設(shè)，，根據(jù)題意可知，故，即，又由拋物線的定義可知，，當(dāng)時(shí)，，故，，，所以，四邊形是平行四邊形，故四邊形的面積為．14．【答案】【解析】，令，則或，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的極大值是，極小值是．當(dāng)時(shí)，；令，即，因?yàn)槭菢O小值點(diǎn)，設(shè)存在使得，解得，故當(dāng)時(shí)，；易知，故當(dāng)時(shí)，，，且當(dāng)時(shí)，．結(jié)合的圖像可知，對(duì)于任意x，若，二者中至少有一個(gè)大于2，則或，即k的取值范圍是．15．（13分）【解析】（1）設(shè)C的半焦距為c，則．故．將代入C的方程有，故，，．所以C的方程為．（2）由（1）可知C的左焦點(diǎn)為．故過左焦點(diǎn)且斜率為的直線為l：．將l與C的方程聯(lián)立有．設(shè)，，則不妨取，．故．且P到l的距離．所以的面積為．16．（15分）【解析】（1）方法1：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)G，因?yàn)锳BCD是正方形，故，又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，故，由于，所以平面PDB，因?yàn)槠矫鍼DB，故．取線段PA的中點(diǎn)H，連接DH，EH，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，則．又因?yàn)?，，且，故平面PAD，且平面PAD，所以．因?yàn)?，且，故平面DEH，．由于，所以平面PAC．方法2：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面PAC的法向量為，則，不妨取，則，所以平面PAC．（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面BCE與平面CEF的法向量分別為，，則，，不妨取，，則，，所以，因?yàn)?，故二面角的大小?0°．17．（15分）【解析】（1）根據(jù)題意有，1，2，則，，．……3分X的分布列為：所以．（2）當(dāng)有n個(gè)小球時(shí)，顧客中獎(jiǎng)概率為．故，即．解得，滿足條件的n的最大值為15．所以若使中獎(jiǎng)概率不低于25%，則n的最大值為15．18．（17分）【解析】（1）若對(duì)關(guān)于0耦合，則，且，所以，，因?yàn)?，，故，．所以．?）若對(duì)關(guān)于1耦合，則，且，所以，，故，又因?yàn)?，故，故?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，即，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．綜上，．（3）由題設(shè)可知，，，且，．（?。┤?，則，，，，顯然．（ⅱ）若，由上得，故．假設(shè)，則，，故或．①若，則，，，這與矛盾；②若，則，，這與矛盾．所以若，則，．故，可得，故．所以對(duì)于任意，，且，由于，故，，代入題設(shè)檢驗(yàn)，各式均成立．綜上，，．17分19．（17分）【解析】（1）設(shè)，則根據(jù)題意有．因?yàn)镹~M，則存在點(diǎn)，使得：．由條件知，由得，解得，所以N的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為．故的坐標(biāo)為．（2）由條件知