常微分方程考研復試題庫及答案

第頁123――――132133――――138139――――143144――――145146――――150151――――156157――――162164――――167168173174――――177178――――180181184185―――――189190――――192193――――194195――――198199――――202203――――205206――――210211――――216217――――221222――――226227――――229230――――233234――――235236――――241242將（2x-4y+6）dx+(x+y-3)dy=0化為齊次方程。243求解=f(x+y+1)244說明當p(x連續(xù)時，線性齊次方程的0解唯一。245證明線性齊次方程任意兩個解的和及差仍是它的解。246常數(shù)變易法用變換y=C(x)exp(-dx)及線性齊次方程通解有什么不同248dy/dx--y=0.249求初值問題的解250求解－2xy=4x.251求解方程y－2y=xexp(2x),y(0)=0.252解方程=253設y(x),y(x)是一階線性方程兩個不相同的特解，試用這兩個特解來表示通解。254.用變量替換或微分方法將下面方程化為線性xdx=(x－2y+1)dy(x+1)(yy-1)=yy(x)=x+1255化下列方程為線性方程y’-y=xy’=y--x-1256將方程ydx+(y-x)dy=0給兩種解法。257試證明：凡具有通解為y=C(x)+(x)式的一階方程都是線性方程。其中(x)，(x)為可微函數(shù)。常微分方程2答案123――――132133――――138139――――143144――――145146――――150151――――1562157――――162163164――――167168――――173174――――177178――――180181――――184185――――189190――――192193――――194195――――198199――――202203――――205206――――210211――――216217――――221222―――226227――――229230――――233234――――235236――――241242方程變形為=，它的分子，分母兩條直線交點為（1,2）作變換，于是得到＝，它已經(jīng)是齊次方程。243令z=x+y+1,則＝1＋，于是=1+f(z),只要＋f(z)0,可分離變量得x=+C244因p(x)連續(xù)，y(x)=yexp(-)在p(x)連續(xù)的區(qū)間有意義，而exp(-)＞0。如果y＝0，推出y(x)=0,如果y(x)0,故零解y(x)=0唯一。245設有兩個解y(x),y(x),則y(x)+p(x)y(x)0,y(x)+p(x)y(x)0,則（y(x)y(x)）＋y(x)(y(x)+y(x))=(y(x)+p(x)y(x))+y(x)+p(x)y(x)0表明y(x)y(x)仍是解。246在線性齊次方程通解公式中C是任意常數(shù)而在常數(shù)變易法中C（x）是x的可微函數(shù)。將任意常數(shù)C變成可微函數(shù)C（x），期望它解決線性非齊次方程求解問題，這一方法成功了，稱為常數(shù)變易法。247用線性齊次方程通解公式得y=Cexp（sinx）249p(x)=-cosx用線性齊方程初值問題解公式即得y=exp(sinx)250用線性方程通解公式：y=exp(-)(C+)dx)=exp(-x)(C+2exp(-x))=2+Cexp(-x)251公式求得方程通解y(x)=exp(2x)(C+xexp(2x)exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+x)利用初始條件代入上式y(tǒng)(0)=0=C,故y=xexp(2x)252x看作自變量，y看成函數(shù)，則它是非線性方程，經(jīng)變形為＝x+y以x為未知函數(shù),y是自變量，它是線性方程，則通積分為x=exp()(c+=cexp(y)-y-1253任一解y(x)滿足（y(x)-y(x)）/y(x)-y(x))=C,或(y(x)--y(x))+|y(x)這就是一階方程通解的結(jié)構(gòu)。254令z=x,則dz=2xdx,代入方程得1/2dz=(z-2y+1)dy它已經(jīng)是線性方程。令u=y,則=2yy’,代回原方程得（x+1）(1/2u-1)=u,變形為=＋2這已經(jīng)是線性方程。它不是微分方程，但對它求導后得＝y(tǒng)(x)+1,這已經(jīng)是線性方程。-2xy=exp(x)cosx此為線性方程，從而通解為y=exp()(C+cosxexp(-)dx)=exp(x)(C+sinx)+y(x)(x),((x)是已知可微函數(shù))此方程為線性方程，從而通解為y=exp(--dx)(C+(x)(x)exp((x)dx)dx=exp(-(x))(C+exp((x))((x)-1)=Cexp(-(x))+(x)-1255此為貝努利方程。令z=得－z=,它是線性方程。此為黎卡提方程，通