【淺析多遠(yuǎn)函數(shù)的極值判定11000字（論文）】

淺析多遠(yuǎn)函數(shù)的極值判定摘要函數(shù)極值在數(shù)學(xué)中是有關(guān)函數(shù)的一個(gè)重要研究課題，函數(shù)極值有很多的實(shí)際應(yīng)用。在我們所學(xué)過的數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中，實(shí)際生活中多元函數(shù)（三元、四元函數(shù)）極值判定有很大的用處，但是我們所學(xué)的教材對(duì)它的討論比較少，所以弄清三元、四元函數(shù)的極值判定有很大的數(shù)學(xué)和實(shí)際意義。本文主要運(yùn)用判別式和黑塞矩陣來討論三元、四元函數(shù)極值的判定。關(guān)鍵詞：極值、黑塞矩陣、多元函數(shù)目錄一、緒論 11.1.函數(shù)極值的產(chǎn)生 11.2.函數(shù)極值的背景和發(fā)展趨勢 11.3.課題意義 3二、基礎(chǔ)知識(shí) 32.1.一元函數(shù)極值相關(guān)知識(shí)（多元函數(shù)相同） 32.2.一元求解極值步驟 42.3.費(fèi)馬定理 42.4.穩(wěn)定點(diǎn) 52.5.第一充分條件（一元函數(shù)極值） 52.6.第二充分條件（一元函數(shù)極值） 52.7.第三充分條件（一元函數(shù)極值） 5三、二元函數(shù)極值的判定方法 63.1.二元函數(shù)的極值 63.2.二元函數(shù)極值的推導(dǎo)過程 6四、三元、四元函數(shù)極值判定方法 74.1.三元函數(shù)的極值 74.1.1.三元函數(shù)的定義 74.1.2.三元函數(shù)取極值的條件 84.1.3.三元函數(shù)極值的求解例題 94.1.4.三元函數(shù)另外一種判斷極值的方法 104.2.四元函數(shù)的極值 124.2.1.四元函數(shù)極值問題 12五、函數(shù)的條件極值 155.1.三元函數(shù)條件極值問題 155.1.四元函數(shù)條件極值問題 17參考文獻(xiàn) 20緒論1.1.函數(shù)極值的產(chǎn)生極值一般是局部范圍內(nèi)的極值。若函數(shù)在x0的值?。ù螅┯诨虻扔谠趚0附近的任何其他點(diǎn)的函數(shù)值，我們就把x0這一點(diǎn)的值叫做函數(shù)的極?。?.2.函數(shù)極值的背景和發(fā)展趨勢背景：近代數(shù)學(xué)，大概從十七世紀(jì)產(chǎn)生以來，數(shù)學(xué)中有許多核心并且比較重要的位置，其中函數(shù)極值的概念就屬于重要且核心的地位。數(shù)學(xué)的絕大部分和科學(xué)的絕大部分都與函數(shù)以及函數(shù)極值的問題和內(nèi)容有關(guān)。在數(shù)學(xué)、物理、金融、科技和其他別的學(xué)科中，函數(shù)關(guān)系與函數(shù)極值問題隨處可見，也十分重要。舉個(gè)例子，物體運(yùn)動(dòng)的路程包括加速運(yùn)動(dòng)減速運(yùn)動(dòng)等都是時(shí)間的函數(shù)，拋物運(yùn)動(dòng)同樣是時(shí)間的函數(shù)，流體膨脹的體積是溫度的函數(shù)等等，并且在一定的條件下，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活以及實(shí)際，我們要求最優(yōu)解，這就運(yùn)用到函數(shù)極值方面的問題了。從十七世紀(jì)開始，許多數(shù)學(xué)家就開始研究數(shù)學(xué)函數(shù)以及函數(shù)極值的取值點(diǎn)等等，像伽利略和笛卡爾最早發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量之間存在某種關(guān)聯(lián)，但是那個(gè)時(shí)候他們并沒有給出明確的函數(shù)定義。隨后約翰?貝努利，歐拉等數(shù)學(xué)家逐漸定義一些函數(shù)符號(hào)以及解析表達(dá)式，再到后來，傅里葉和狄利克雷等眾多數(shù)學(xué)家拓寬了函數(shù)的概念，使得函數(shù)的定義更為清晰和準(zhǔn)確，更好地方便人們?nèi)ダ斫夂瘮?shù)。隨后的康托爾更是打破了函數(shù)的變量是數(shù)這一規(guī)定，函數(shù)的變量可以是點(diǎn)面線，甚至是體、矩陣、向量等等。這種表述有優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)，其中缺點(diǎn)是引來了新的不明確的概念序偶，而它的優(yōu)點(diǎn)是巧妙的避開了定義不明確的“對(duì)應(yīng)”和“變量”的概念。庫拉托夫斯基用集合概念來定義序偶。發(fā)展趨勢：對(duì)于函數(shù)極值的研究，國內(nèi)外的許多數(shù)學(xué)家都已經(jīng)研究得很深入了，包括大學(xué)也開設(shè)了不少課程。經(jīng)過多年的發(fā)展，經(jīng)過多位數(shù)學(xué)專家的刻苦研究，函數(shù)極值的方法與理論的運(yùn)用已經(jīng)滲入了許多現(xiàn)實(shí)生活中的分支，比如說社會(huì)農(nóng)作產(chǎn)業(yè)、社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域、自然科學(xué)領(lǐng)域、社會(huì)金融發(fā)展產(chǎn)業(yè)等等，同時(shí)也奠定了函數(shù)極值的研究方向。1.3.課題意義在我們大學(xué)期間所學(xué)過的數(shù)學(xué)分析課程中，我們主要學(xué)習(xí)了一元函數(shù)和二元函數(shù)極值的判斷方法，但是很少涉及到三元甚至四元函數(shù)的極值判定。實(shí)際生活中多元函數(shù)（三元、四元函數(shù)）極值判定有很大的用處，所以弄清三元、四元函數(shù)的極值判定有很大的學(xué)習(xí)意義。目的：利用我們所學(xué)的函數(shù)極值方面的知識(shí)去解決生活中的實(shí)際問題，把復(fù)雜的、多元化的多元函數(shù)極值問題充分發(fā)揮好實(shí)踐性。意義：函數(shù)極值的問題一直是比較重要的內(nèi)容。函數(shù)極值以及極值點(diǎn)的確定，尤其是在多元函數(shù)中是比較復(fù)雜的。但是在現(xiàn)實(shí)生活中，這一塊的知識(shí)運(yùn)用的較為廣泛。比如在經(jīng)濟(jì)核算、經(jīng)濟(jì)管理、工業(yè)生產(chǎn)、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等等生活常識(shí)中就要用到。要求最優(yōu)解，在一定的條件下，效益最高化。等等一系列的問題就需要運(yùn)用數(shù)學(xué)中的多元函數(shù)求解最值的方法去解決。所以討論多元函數(shù)極值的判定，具有了深刻的現(xiàn)實(shí)意義，可以很好的去解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的實(shí)際問題?；A(chǔ)知識(shí)2.1．一元函數(shù)極值相關(guān)知識(shí)（多元函數(shù)相同）一元函數(shù)極值定義：若函數(shù)f(x)在x0的一個(gè)鄰域D有定義，還有條件，就是D領(lǐng)域里不包含x0的剩下的點(diǎn)，全部都是f(x)<f(x0)，如果是這樣的話，我們就可以把f(x0)稱為f(x)的極值，并且是極大值。

按照同一種理論，如果D領(lǐng)域里不包含x0的剩下的點(diǎn)，全部都是f(x)>f(x0)，我們就可以把如果x0鄰域內(nèi)其他各點(diǎn)處的函數(shù)值都大（?。敲磃(x0極值定義：若函數(shù)f(x)在x0的一個(gè)鄰域D有定義，且對(duì)D中除x0的所有點(diǎn)，都有f(x)<f(x0)，那么我們就可以說f(x0極值函數(shù)：我們通常把泛函數(shù)的變?cè)瘮?shù)到達(dá)極值后稱之為極值函數(shù)。如果這個(gè)變?cè)瘮?shù)到達(dá)極值并且是一元函數(shù)，我們就可以叫它為極值曲線。2.2.一元函數(shù)求解極值步驟函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在的情況下的求解步驟：

（1）求f'(x)=0,f''(x)≠0的x值。

（2）用極值的定義，討論f(x)的間斷點(diǎn)。2.3．費(fèi)馬定理現(xiàn)在我們假設(shè)有一個(gè)函數(shù)為f，而且還有一個(gè)條件是在x0的附近區(qū)域內(nèi)有意義，而且在這個(gè)x0點(diǎn)可以求導(dǎo)。如果這個(gè)點(diǎn)x0為f的證明：因?yàn)榧僭O(shè)f'(x0)存在，由定義可得左導(dǎo)數(shù)f當(dāng)x<x0時(shí)，f(x)?f(x當(dāng)x>x0時(shí)，f(x)?f(x所以f'以上是對(duì)于f(x)≤f(x0)2.4．穩(wěn)定點(diǎn)我們稱滿足方程f'(x0)2.5．一元函數(shù)極設(shè)f在x0連續(xù)，在某領(lǐng)域U（i）若當(dāng)x?(x0?δ,x0)時(shí)f'(x)（ii）若當(dāng)x?(x0?δ,x0)時(shí)f'(x)2.6．一元函數(shù)極設(shè)f在x0的某領(lǐng)域U0(x0;δ)內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù)，在x=x0（i）若f''(x0)（ii）若f''(x0)2.7．一元函數(shù)極設(shè)f在x0的某領(lǐng)域內(nèi)存在直到n?1階導(dǎo)數(shù)，并且函數(shù)在x0處n階可導(dǎo)，且f(k)(把n的取值設(shè)置成偶數(shù)，函數(shù)在x0這一點(diǎn)取得極值。f(n)(x0)<0（ii）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f在x0總之，一元函數(shù)的判斷方法可以歸納如下：在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的課程中，我們已經(jīng)十分了解一元函數(shù)中的極值問題,我們通常用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和它的的二階導(dǎo)數(shù)這兩者相結(jié)合，去判斷函數(shù)是否存在極值點(diǎn)。駐點(diǎn)就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的時(shí)候。有些時(shí)候，雖然是駐點(diǎn)，但它不一定是極值點(diǎn)，只有當(dāng)駐點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)不同號(hào)的時(shí)候，才可以叫做極值點(diǎn)。我們一般判斷這個(gè)過程是主要是根據(jù)函數(shù)的二階導(dǎo)是否為正數(shù)。f''(x三.二元函數(shù)極值判定方法3.1.二元函數(shù)的極值（討論對(duì)象：可微的二元函數(shù)）二元函數(shù)和一元函數(shù)有許多不同的地方，比如說二者的自變量的靈活性就有很大區(qū)別。一元函數(shù)的自變量靈活性遠(yuǎn)低于二元函數(shù)，在定義上，一元函數(shù)的自變量只在x坐標(biāo)軸上變化，二元函數(shù)是在整個(gè)平面xOy上變換的。所以說，二元函數(shù)的極值點(diǎn)想要成立的話，需要達(dá)到更多條件才能成立。假如P(x0,y0)是函數(shù)z=f(x,y)的極值點(diǎn)，這就意味著在P點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域里(圓域)無論點(diǎn)M(x,y)以哪種方式（無論從哪個(gè)方向趨近P點(diǎn)，P點(diǎn)都是極值點(diǎn)），滿足這個(gè)條件的時(shí)候才可以稱P點(diǎn)是這個(gè)二元函數(shù)的極值點(diǎn)。但是這個(gè)問題看上去難以解決，想要P這個(gè)點(diǎn)在任何曲線以及方向上都要是極值點(diǎn)，該怎么做呢？這時(shí)候我們可以用到降維度的思想，我們可以把二元的問題變成一元的問題。這也是人們最初創(chuàng)建方向?qū)?shù)的用途?？梢宰孧(x,y)以直線的方式無限逼近P點(diǎn)，把P點(diǎn)的鄰域都被這段直線所包涵，也就可以理解成M在每一條這樣的直線上變化時(shí)P點(diǎn)都為它的極值點(diǎn)。當(dāng)自變量在這條直線上不斷變換的時(shí)候，我們可以把二元函數(shù)當(dāng)作一元函數(shù)去探索。根據(jù)上述的原理，通過降維度的思想我們可以將研究一元函數(shù)的方法運(yùn)用到二元函數(shù)上面去3.2.二元函數(shù)極值的推導(dǎo)過程我們假設(shè)有一條直線，并且我們可以取直線上的一個(gè)方向：P(x0,y0)到M(x+?x,y+?y),在這個(gè)直線的方向上z=f(x,y)的方向?qū)?shù)為:?因?yàn)閒x??xρ+fy??y方向?qū)Ш瘮?shù)在這個(gè)方向上的導(dǎo)數(shù)：?2f?l2=??f?l?l0.（方向函數(shù)的梯度在L方向上令fxx=A,fxy=B,要判斷?2f?l2正負(fù)，等價(jià)于U(T)=C?T2+2B?T+A的正負(fù)。同樣需要注意的是U的正負(fù)要在所有方向上一致。也就是θ在0到2π上變化，即T在U(+∞,?∞)上時(shí)，U對(duì)所有的T都是正值，或都是負(fù)值。（θ是所取直線與x正向夾角）若對(duì)于任意T,U(T)恒為負(fù)值需要:C<0,?=4B2?4AC<0,此時(shí)P點(diǎn)為極大值點(diǎn)。即B2?AC<0且A<0為極大值條件。l若對(duì)于任意T,U(T)恒為正值需要:C>0,?四.三元、四元函數(shù)極值判定方法4.1.三元函數(shù)的極值下面我們來探討三元函數(shù)、四元函數(shù)以至多元函數(shù)的極值的判定。4.1.1.三元函數(shù)的定義函數(shù)z=f(x,y,z),若滿足不等式f(x,y,z)<f(x4.1.2.三元函數(shù)取極值的條件我們假設(shè)一個(gè)三元函數(shù)u=f(x,y,z)在P0（x0,y0,z0）這個(gè)點(diǎn)如果能使偏導(dǎo)fx(x0,y0,z0),fy(設(shè)函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P0（x0,y0,z0）偏導(dǎo)存在，而且該點(diǎn)是極值點(diǎn)，則fxx(x0,y0,zfxy(x0,y0,z則f(x,y,z)在點(diǎn)(x當(dāng)A?D2?1>0B?E2?1>0C?F2?1>0當(dāng)A+D2+1<0B+E2+1<0C+F2+1<0證明：我們可以根據(jù)三元函數(shù)的泰勒公式，對(duì)任意的(x0=12其中0<θ<1，為書寫簡便，把fxx(x,y,z)、fyy(x,y,z)、fxz(x,y,z)、fyz(x,y,z)在點(diǎn)(x0+θl,y0+θ?,z0+θk)的值記為?f=1為討論P(yáng)0(x0,?f=所以當(dāng)l,?,k不全為零，(x0+l,y0+?,z0+k)∈U(P0)當(dāng)A?D2?1>0B?E2?1>0同理，?f所以，當(dāng)A+D2+1<0B+E2+1<0證明完畢。為清楚起見，將三元函數(shù)極值判斷步驟歸納如下：首先求偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,yfxx(x0,y0,zfxy(x0,y0,z（2）確定f的各個(gè)駐點(diǎn)，即求解fx（3）確定A?D2?1B?4.1.3.三元函數(shù)極值的求解例題例1.求三元函數(shù)f(x,y,z)=x解：（1）先求偏導(dǎo)數(shù)fx=2x+2=0,fyfxx=2,fyy=4,fzz=6,（2）三元函數(shù)f的駐點(diǎn)為fx=2x+2=0f（3）根據(jù)三元函數(shù)極值判斷條件A?D所以，P0（-1，-1,1）為三元函數(shù)的極小值點(diǎn)，?6為極小值4.1.4.三元函數(shù)另外一種判斷極值的方法設(shè)f(x1,x2,x3)是集合S?R3上的函數(shù)，如果對(duì)f(（所以我們可以說f(x10,x20,x30)是f(x1,x2定理1若P0=(x10,x20,x30)是證明:P0是內(nèi)點(diǎn)，因而x10是三?f(x10定義：設(shè)f(x1,x2,x3)在區(qū)域D上處處存在偏導(dǎo)數(shù)，如果在點(diǎn)P如果P0是函數(shù)f(x1,x2,x3)的與一元函數(shù)相同，我們需要利用f(x1,引理：設(shè)3階矩陣A是一個(gè)對(duì)稱矩陣，就是A=AT，而且我們說矩陣A是正定(x((x證明:R3中單位球面S3=(x1,x2,x(x引理得證。（這里的矩陣A的表達(dá)式為fx定理2設(shè)P0=(x10,x20,x30)是f(x1,x2,x3)在區(qū)域D內(nèi)的判別點(diǎn)，如果f(x1,x2,x3)在P0=(x10證明：H正定，取ε>0，把f在P0點(diǎn)作二階Taylor展開，我們把這個(gè)點(diǎn)(xf(=1≥ε由于o在(x1,x2,x3)趨于(x10,x2如果Hf(P0)不定，則存在n維向量α≠0和β≠0，使得αHf(P0)α'>0,而βHff(=t充分小時(shí)αHf(f(=在t充分小時(shí)小于零，因此P0不是極小值點(diǎn)，得P例1.求三元函數(shù)f(x,y,z)=x解：設(shè)f(x,y,z)上處處存在偏導(dǎo)數(shù)，如果在點(diǎn)P0=(x0,y令fx=2x+2=0fy=4y+4=0設(shè)P0=(?1，?1,1)是f(x,y,z)的判別點(diǎn)，如果f(x,y,z)在P0=(?1，?1,1)的Hesse矩陣Hf(P0)是正定的，則P0=(?1，?1,1)是f(x,y,z)的嚴(yán)格極小點(diǎn)，如果矩陣H先求解Hesse矩陣Hf(P0)，fxx=2,fxy=0,ffzz=6,所以Hf(P0)=2000400064.2四元函數(shù)的極值通過上面的定義，證明以及例題，我們了解了一元函數(shù)到三元函數(shù)的極值問題，我們進(jìn)行推廣，在面對(duì)四元函數(shù)問題的時(shí)候我們又該如何分析解決。4.2.1四元函數(shù)極值問題設(shè)f(x1,x2,x3,x4)是集合f((f(所以我們把f(x10,x20,x30,x40)叫做f(x定理1若一個(gè)點(diǎn)P0=(x10,x20,x30,x證明:P0是內(nèi)點(diǎn)，因而x10是四?f(x10定義：設(shè)f(x1,x2,x3,x4假如我們說P0這個(gè)點(diǎn)就是函數(shù)f(x1,x與一元函數(shù)相同，我們需要利用f(x1,引理：我們假設(shè)有一個(gè)4階矩陣A，這個(gè)四階矩陣是對(duì)稱矩陣，就是說是A=AT，而且這個(gè)矩陣A它是正定的，或者說這個(gè)矩陣A它是負(fù)定的，那么如果有ε>0，?(x((x證明:R4中單位球面S4=(x1,x2,x3,x4)/x12(x引理得證。（這里的矩陣A的表達(dá)式為fx定理2設(shè)P0=(x10,x20,x30,x40)是f(x1,x2,x3,x4)在區(qū)域D內(nèi)的判別點(diǎn)，如果f(x1,x2證明：設(shè)H正定，取ε>0滿足上面引理，將f在P0點(diǎn)作二階Taylor展開，由(f(=1≥ε由于o在(x1,x2,x3,x4)趨于(x10如果Hf(P0)不定，則存在n維向量α≠0和β≠0，使得αHf(P0)α'>0,而βHff(=t充分小時(shí)αHf(f(=在t充分小時(shí)小于零，因此P0不是極小值點(diǎn)，得P函數(shù)的條件極值問題5.1.三元函數(shù)條條件極值問題的一般形式：在條件組φk(x1的限制下，求目標(biāo)函數(shù)y=f(x1的極值。我們想要從條件組①中解出兩個(gè)變?cè)灰欢尚?，我們可以利用拉格朗日乘?shù)法進(jìn)行消元來求解條件極值。我們可以假設(shè)f,φ都是二元函數(shù)z=f(x,y)③的極值，其中(x,y)受條件C:φ(x,y)=0的限制。我們可以把C當(dāng)成(x,y)所符合條件的曲線方程，而且把C上的點(diǎn)P0(x0,y0)為f在條件④下的極值點(diǎn)，在點(diǎn)P0(x0,y0)的某領(lǐng)域內(nèi)方程④能唯一確定可微的隱函?'(x0而當(dāng)φ滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件時(shí)g'(x把⑥代入⑤后又得到fx(從而存在某一常數(shù)μ0，使得在Pfxfy(φ(如果引入輔助變量μ和輔助函數(shù)L(x,y,μ)=f(x,y)+則⑧中三式就是LxLy(Lμ通過這樣以上的過程就把條件極值問題③和④變成了討論函數(shù)⑨的無條件極值問題，我們可以把一般條件極值問題的拉格朗日函數(shù)L(=其中μ1設(shè)在條件①的限制下，求函數(shù)②的極值問題，其中f與φk在區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。若D的內(nèi)點(diǎn)P0=(x10,x20,x30求條件極值的步驟如下：作拉格朗日函數(shù)L=f+μ分別令L'x對(duì)所有的條件極值點(diǎn)進(jìn)行判斷。例題：例1.求三元函數(shù)f(x,y,z)=x?2y?2z滿足條件的x2解：令u=x?2y?2z+μ先求偏導(dǎo)數(shù)：ux=1+2μ=0,uyuxx=2μ,uyy=2μ,三元函數(shù)u的駐點(diǎn)為uxP1(?1P2(1當(dāng)p(13,23,2當(dāng)p(13,2處可以得到最大值，且最大值為3。例2.x+y+z=12,求u=x解：令f(x,y,z)=首先求偏導(dǎo)數(shù)：fx=3x2yfxx=6xy2z,fyy=2x3函數(shù)f的駐點(diǎn)為fx=3根據(jù)上面我們證明的這一種分配法所得的判別式以及判別條件可以知道函數(shù)f在駐點(diǎn)處取得了最大值。所以，umax5.2.四四元函數(shù)條件極值問題的一般形式是在條件組φk(x1的限制下，求目標(biāo)