隨機(jī)過程第一章上

隨機(jī)過程第一章上第一章隨機(jī)過程的概念與基本類型預(yù)備知識（概率論）簡要回顧一下概率論中與本課程有關(guān)的基本概念：隨機(jī)試驗、概率空間、樣本空間、概率、隨機(jī)變量等基本概念第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)試驗試驗結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)言，三個特征:可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；每次試驗結(jié)果不止一個，可預(yù)先知道試驗所有可能結(jié)果；每次試驗前不能確定哪個結(jié)果會出現(xiàn)。第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天概率空間

概率空間是隨機(jī)試驗和概率的數(shù)學(xué)模型；概率空間由3個要素組成1）樣本空間2）定義于樣本空間的事件集3）定義于事件集上的概率集第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天樣本空間隨機(jī)試驗所有可能結(jié)果組成的集合，記為ΩΩ中的元素e稱為樣本點,樣本點是試驗的每一個不可分解的結(jié)果.事件樣本空間的子集A稱為事件.基本事件和復(fù)合事件；必然事件和不可能事件集合運算第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天和事件“事件A和事件B至少一個發(fā)生”構(gòu)成的事件積事件“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”構(gòu)成的事件“事件A和事件B同時發(fā)生”構(gòu)成的事件差事件互不相容關(guān)系事件A與事件B不可能同時發(fā)生互逆關(guān)系事件A與事件B必有一個發(fā)生,且僅有一個發(fā)生第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天古典概率隨機(jī)試驗中一切可能結(jié)果是有限多個；每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；則事件A發(fā)生的概率可表示為第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

例如：一批產(chǎn)品共100件，其中次品4件，從這批產(chǎn)品中任取1件，求取到正品的概率。第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天幾何概率計算無窮個基本事件的情形；樣本點具有均勻分布的性質(zhì)；設(shè)用L（Ω）作為區(qū)域Ω大小的量度，而區(qū)域Ω中任意可能出現(xiàn)的小區(qū)域A的量度用L（A）表示；則事件A（或某一區(qū)域）發(fā)生的概率表示為第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例如：跳傘運動員降落在某一區(qū)域的概率第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例題：在時間間隔T內(nèi)的任何瞬間，兩個不相關(guān)的信號等可能地進(jìn)入收音機(jī)。如果當(dāng)且僅當(dāng)這兩個信號進(jìn)入收音機(jī)的間隔時間不大于t，則收音機(jī)受到干擾，試求收音機(jī)收到干擾的概率。x-y=tx-y=-tT2-(T-t)2第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天統(tǒng)計概率用于計算前兩種隨機(jī)概率概括不了的隨機(jī)事件概率；用事件的頻率近似地去表達(dá)事件的概率；若在同樣的條件下，將隨機(jī)試驗獨立的重復(fù)做n次，事件A出現(xiàn)了nA次，則事件A的頻率是當(dāng)試驗次數(shù)n增大時，其中大量的頻率聚集在一個常數(shù)周圍；這個常數(shù)是客觀存在的，反映了事件A出現(xiàn)可能性的大小，我們認(rèn)為這個常數(shù)就是事件的概率。第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天公理化定義的概率

(1933年前蘇聯(lián)科學(xué)家柯爾莫哥洛夫)

對于一個事件A∈樣本空間Ω，賦予一個實數(shù)P，若滿足：0≤P(A)≤1;(非負(fù)性)P(Ω)=1;(規(guī)范性)若A1,A2,……..,Ak兩兩互斥，則(可加性)我們稱P(A)為事件A的一個概率。第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天概率空間規(guī)定一個隨機(jī)試驗，所有樣本點之集合構(gòu)成樣本空間Ω，在樣本空間中一個樣本點或若干個樣本點之適當(dāng)集合F稱為事件域，F(xiàn)中的每一個集合稱為事件。若A∈F，則P(A)就是事件A的概率，并稱這三個實體的結(jié)合（Ω，F(xiàn)，P）為一個概率空間第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天條件概率在事件B已發(fā)生這一條件下，事件A發(fā)生的概率。全概率若有N個互斥事件An（n=1,2,…,N），它的并集等于整個樣本空間，則:其中,事件B伴隨事件Ai發(fā)生第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

10箱同規(guī)格產(chǎn)品，其中5箱為甲廠生產(chǎn)，3箱為乙廠生產(chǎn)，2箱為丙廠生產(chǎn)，而甲廠、乙廠，丙廠生產(chǎn)的次品率分別為0.1，0.06，0.03，現(xiàn)在任取1箱，在從箱子中任取1件，問取得正品的概率?

例如：第16頁,共39頁，2024年2月25日，星期天設(shè)事件A1，A2，…，An構(gòu)成一個完備事件組，概率P(Ai)>0,i=1,2,……,n,對于任何一個事件B，若P(B)>0,有貝葉斯公式(后驗概率公式或逆概率公式)事件A1，A2，……，An看作是導(dǎo)致事件B發(fā)生的“因素”，P(Ai)是在事件B已經(jīng)出現(xiàn)這一信息前Ai出現(xiàn)的概率，通常稱為先驗概率公式給出的P(Ai︱B)是在經(jīng)過試驗獲得事件B已經(jīng)發(fā)生這個信息之后，事件Ai發(fā)生的概率，稱為后驗概率第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天例題：設(shè)一個二進(jìn)制的數(shù)字通信系統(tǒng)，主要由1和0兩種符號組成，如下圖，且P(B1)=0.6，P(B2)=0.4，求條件概率第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

10箱同規(guī)格產(chǎn)品，其中5箱為甲廠生產(chǎn)，3箱為乙廠生產(chǎn)，2箱為丙廠生產(chǎn)，而甲廠、乙廠，丙廠生產(chǎn)的次品率分別為0.1，0.06，0.03，現(xiàn)在任取1箱。

若取得的是正品，問該箱產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率是多少？例如：第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天獨立事件設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）為一概率空間，事件A∈F，B∈F且P(A)>0，若P(B|A)=P(B)，則稱事件B隨機(jī)獨立于事件A.例題：設(shè)每個家庭有3個孩子，男孩、女孩排列的八種可能性的概率均為1/8，定義如下事件：A＝既有男孩又有女孩的家庭B＝最多只有一個女孩的家庭問：A，B是否統(tǒng)計獨立？P(A)=(8-1-1)/8=3/4P(B)=(1+3)/8=1/2P(AB)=P(1女)=3/8第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量定義：設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是概率空間，對任一個e∈Ω,都有實數(shù)X(e)與之對應(yīng)，則稱X(e)為隨機(jī)變量，簡記為X。引入隨機(jī)變量后,隨機(jī)事件就可以表示為隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的取值.事件隨機(jī)變量第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天離散型隨機(jī)變量：只取有限個數(shù)值或可列無窮多個值。連續(xù)型隨機(jī)變量：從原樣本空間到新樣本空間的映射是某一個范圍，是一段（或幾段）實線（也可能是整個坐標(biāo)軸），隨機(jī)變量可以取值于某一區(qū)間中的任一數(shù)。第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天分布函數(shù)（一個描述隨機(jī)變量取值的概率分布情況的統(tǒng)一方法）性質(zhì)：F(x)是非降函數(shù)；(單調(diào)不減性)0≤F(x)≤1；(有界性)P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)F(x+0)=F(x)

(右連續(xù))第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天離散型隨機(jī)變量的所有取值為xi(i=1,2…)Pi是X取xi的概率，稱：P(X=xi)=Pi，i=1,2…為離散型隨機(jī)變量X分布律。設(shè)F(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，有：則f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X概率密度函數(shù)。第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天離散型隨機(jī)變量的概率分布用分布列（律）描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布用概率密度描述0-1分布二項分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量函數(shù)的分布在給定某任意的隨機(jī)變量X，以及它的分布函數(shù)FX(x)，希望進(jìn)一步求出給定的隨機(jī)變量的某些可測函數(shù)（如Y=g(X)）的分布函數(shù)。g(x)YXY的分布函數(shù)公式為如果上式右端概率的導(dǎo)數(shù)對于y處處存在，那么這個導(dǎo)數(shù)就給出了隨機(jī)變量Y的概率密度第26頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第27頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天邊際分布若二維聯(lián)合分布函數(shù)中有一個變元趨于無窮，則其極限函數(shù)便是一維分布函數(shù)，對于這種特殊性質(zhì)，我們稱其為邊際分布。對于任意兩個隨機(jī)變量X,Y，其聯(lián)合分布函數(shù)為FXY(x,y)，則分別稱F1(x)和F2(y)為FXY(x,y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊際分布函數(shù)。離散型隨機(jī)變量（X，Y）邊際分布函數(shù)計算如下連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）邊際分布函數(shù)計算如下第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天相互獨立的隨機(jī)變量設(shè)X，Y是兩個隨機(jī)變量，若對任意實數(shù)x，y有則稱X，Y為相互獨立的隨機(jī)變量。若X，Y為相互獨立隨機(jī)變量，則有聯(lián)合密度邊際密度聯(lián)合密度邊際密度第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天條件分布在給定條件隨機(jī)變量Y=y下，隨機(jī)變量X的條件概率密度函數(shù)為：第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量的數(shù)字特征統(tǒng)計平均與數(shù)學(xué)期望方差協(xié)方差相關(guān)系數(shù)獨立與不相關(guān)第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天統(tǒng)計平均與數(shù)學(xué)期望設(shè)離散隨機(jī)變量X，它可能取4個值x1，x2，x3，x4，做試驗n次，計算X的算術(shù)平均可得：P(X=xk)對于離散型隨機(jī)變量可以用脈沖函數(shù)來表示其概率密度沖激函數(shù)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望值已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望，第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天K階原點矩，k階中心矩隨機(jī)變量X，若E[|X|k]<∞，稱E[Xk]為k階原點矩。離散隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量又若E[X]存在，且E[|X-E[X]|k]<∞，稱為X的k階中心矩。離散隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天一階原點矩就是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望大致的描述了概率分布的中心。二階中心矩就是隨機(jī)變量的方差，方差反映隨機(jī)變量取值的離散程度。0－1分布泊松分布正態(tài)分布數(shù)學(xué)期望和方差（見page3，表1－1）第36頁,共39頁，2024年2月25日，星期天第37頁,共39