2024屆北京八中學中考數學五模試卷含解析

2024屆北京八中學中考數學五模試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．如圖，若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x=1，與y軸交于點C，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），則①二次函數的最大值為a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④當y＞0時，﹣1＜x＜3，其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知一個多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個多邊形是（）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形3．下列四個多項式，能因式分解的是()A．a－1 B．a2＋1C．x2－4y D．x2－6x＋94．有理數a，b，c，d在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞05．如圖所示是8個完全相同的小正方體組成的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A． B．C． D．6．正方形ABCD和正方形BPQR的面積分別為16、25，它們重疊的情形如圖所示，其中R點在AD上，CD與QR相交于S點，則四邊形RBCS的面積為（）A．8 B． C． D．7．某校舉行運動會，從商場購買一定數量的筆袋和筆記本作為獎品．若每個筆袋的價格比每個筆記本的價格多3元，且用200元購買筆記本的數量與用350元購買筆袋的數量相同．設每個筆記本的價格為x元，則下列所列方程正確的是（）A． B． C． D．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P=（）A．90°-α B．90°+α C． D．360°-α9．下列關于x的方程中一定沒有實數根的是（）A． B． C． D．10．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，則tan∠BCD的值為（）A． B． C． D．11．如圖，四邊形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以點B為圓心，BA為半徑的圓弧與BC交于點E，四邊形AECD是平行四邊形，AB=3，則的弧長為（）A． B．π C． D．312．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．在某公益活動中，小明對本年級同學的捐款情況進行了統(tǒng)計，繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖，其中捐10元的人數占年級總人數的25%，則本次捐款20元的人數為______人．14．如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則tan∠AOD=________.15．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一點E，連接BE，將△BCE沿BE折疊，使點C恰好落在AD邊上的點F處，則CE的長為_____．16．若一個正多邊形的內角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數是______．17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=6cm，將△ABC以點B為中心順時針旋轉，使點C旋轉到AB邊延長線上的點D處，則AC邊掃過的圖形（陰影部分）的面積是_____cm1．（結果保留π）．18．如圖，在梯形中，，E、F分別是邊的中點，設，那么等于__________（結果用的線性組合表示）．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，與X軸交于點C，與Y軸交于點D，已知，A（n，1），點B的坐標為（﹣2，m）（1）求反比例函數的解析式和一次函數的解析式；（2）連結BO，求△AOB的面積；（3）觀察圖象直接寫出一次函數的值大于反比例函數的值時x的取值范圍是．20．（6分）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A，B重合的動點，PC∥AB，點M是OP中點．（1）求證：四邊形OBCP是平行四邊形；（2）填空：①當∠BOP＝時，四邊形AOCP是菱形；②連接BP，當∠ABP＝時，PC是⊙O的切線．21．（6分）計算：2-1+20160-3tan30°+|-|22．（8分）如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當水面的寬度為10m時，橋洞與水面的最大距離是5m．經過討論，同學們得出三種建立平面直角坐標系的方案（如圖），你選擇的方案是（填方案一，方案二，或方案三），則B點坐標是，求出你所選方案中的拋物線的表達式；因為上游水庫泄洪，水面寬度變?yōu)?m，求水面上漲的高度．23．（8分）為了弘揚我國古代數學發(fā)展的偉大成就，某校九年級進行了一次數學知識競賽，并設立了以我國古代數學家名字命名的四個獎項：“祖沖之獎”、“劉徽獎”、“趙爽獎”和“楊輝獎”，根據獲獎情況繪制成如圖1和圖2所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，并得到了獲“祖沖之獎”的學生成績統(tǒng)計表：“祖沖之獎”的學生成績統(tǒng)計表：分數/分80859095人數/人42104根據圖表中的信息，解答下列問題：(1)這次獲得“劉徽獎”的人數是_____，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；(2)獲得“祖沖之獎”的學生成績的中位數是_____分，眾數是_____分；(3)在這次數學知識竟賽中有這樣一道題：一個不透明的盒子里有完全相同的三個小球，球上分別標有數字“﹣2”，“﹣1”和“2”，隨機摸出一個小球，把小球上的數字記為x放回后再隨機摸出一個小球，把小球上的數字記為y，把x作為橫坐標，把y作為縱坐標，記作點(x，y)．用列表法或樹狀圖法求這個點在第二象限的概率．24．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB上一點，以BD為直徑的⊙O和AB相切于點P．（1）求證：BP平分∠ABC；（2）若PC=1，AP=3，求BC的長．25．（10分）拋物線y=﹣x2+（m﹣1）x+m與y軸交于（0，3）點．（1）求出m的值并畫出這條拋物線；（2）求它與x軸的交點和拋物線頂點的坐標；（3）x取什么值時，拋物線在x軸上方？（4）x取什么值時，y的值隨x值的增大而減??？26．（12分）如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D，AE⊥DC，垂足為E，F是AE與⊙O的交點，AC平分∠BAE．求證：DE是⊙O的切線；若AE=6，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積．27．（12分）如圖，正方形ABCD中，BD為對角線．（1）尺規(guī)作圖：作CD邊的垂直平分線EF，交CD于點E，交BD于點F（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，若AB=4，求△DEF的周長．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、B【解析】分析：直接利用二次函數圖象的開口方向以及圖象與x軸的交點，進而分別分析得出答案．詳解：①∵二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x=1，且開口向下，∴x=1時，y=a+b+c，即二次函數的最大值為a+b+c，故①正確；②當x=﹣1時，a﹣b+c=0，故②錯誤；③圖象與x軸有2個交點，故b2﹣4ac＞0，故③錯誤；④∵圖象的對稱軸為x=1，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），∴A（3，0），故當y＞0時，﹣1＜x＜3，故④正確．故選B．點睛：此題主要考查了二次函數的性質以及二次函數最值等知識，正確得出A點坐標是解題關鍵．2、D【解析】

根據多邊形的外角和是360°，以及多邊形的內角和定理即可求解．【詳解】設多邊形的邊數是n，則(n?2)?180=3×360，解得：n=8.故選D.【點睛】此題考查多邊形內角與外角，解題關鍵在于掌握其定理.3、D【解析】試題分析：利用平方差公式及完全平方公式的結構特征判斷即可．試題解析：x2-6x+9=（x-3）2．故選D．考點：2．因式分解-運用公式法；2．因式分解-提公因式法．4、C【解析】

根據數軸上點的位置關系，可得a，b，c，d的大小，根據有理數的運算，絕對值的性質，可得答案．【詳解】解：由數軸上點的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．A、a＜﹣4，故A不符合題意；B、bd＜0，故B不符合題意；C、∵|a|＞4，|b|＜2，∴|a|＞|b|，故C符合題意；D、b+c＜0，故D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了有理數大小的比較、有理數的運算，絕對值的性質，熟練掌握相關的知識是解題的關鍵5、A【解析】分析：根據主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、側面和上面看所得到的圖形，從而得出該幾何體的左視圖．詳解：該幾何體的左視圖是：故選A．點睛：本題考查了學生的思考能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力．6、D【解析】

根據正方形的邊長，根據勾股定理求出AR，求出△ABR∽△DRS，求出DS，根據面積公式求出即可．【詳解】∵正方形ABCD的面積為16，正方形BPQR面積為25，∴正方形ABCD的邊長為4，正方形BPQR的邊長為5，在Rt△ABR中，AB=4，BR=5，由勾股定理得：AR=3，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠BRQ=90°，∴∠ABR+∠ARB=90°，∠ARB+∠DRS=90°，∴∠ABR=∠DRS，∵∠A=∠D，∴△ABR∽△DRS，∴，∴，∴DS=，∴∴陰影部分的面積S=S正方形ABCD-S△ABR-S△RDS=4×4-×4×3-××1=，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質，相似三角形的性質和判定，能求出△ABR和△RDS的面積是解此題的關鍵．7、B【解析】試題分析：設每個筆記本的價格為x元，根據“用200元購買筆記本的數量與用350元購買筆袋的數量相同”這一等量關系列出方程即可．考點：由實際問題抽象出分式方程8、C【解析】試題分析：∵四邊形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，∵PB和PC分別為∠ABC、∠BCD的平分線，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，則∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．故選C．考點：1.多邊形內角與外角2.三角形內角和定理．9、B【解析】

根據根的判別式的概念,求出△的正負即可解題.【詳解】解:A.x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有兩個不相等的實數根,B.,△=36-144=-1080,∴原方程沒有實數根,C.,,△=10,∴原方程有兩個不相等的實數根,D.,△=m2+80,∴原方程有兩個不相等的實數根,故選B.【點睛】本題考查了根的判別式,屬于簡單題,熟悉根的判別式的概念是解題關鍵.10、D【解析】

先求得∠A＝∠BCD，然后根據銳角三角函數的概念求解即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，在Rt△ABC與Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tanA＝＝，故選D．【點睛】本題考查解直角三角形，三角函數值只與角的大小有關，因而求一個角的函數值，可以轉化為求與它相等的其它角的三角函數值．11、B【解析】∵四邊形AECD是平行四邊形，

∴AE=CD，

∵AB=BE=CD=3，

∴AB=BE=AE，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠B=60°，∴的弧長=.故選B.12、B【解析】

根據菱形的性質得出△DAB是等邊三角形，進而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積，進而求出即可．【詳解】連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等邊三角形，∵AB=2，∴△ABD的高為，∵扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，設AD、BE相交于點G，設BF、DC相交于點H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積，∴圖中陰影部分的面積是：S扇形EBF-S△ABD==．故選B．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、35【解析】分析：根據捐款10元的人數占總人數25%可得捐款總人數，將總人數減去其余各組人數可得答案．詳解：根據題意可知,本年級捐款捐款的同學一共有20÷25%=80(人)，則本次捐款20元的有：80?(20+10+15)=35(人)，故答案為：35.點睛：本題考查了條形統(tǒng)計圖.計算出捐款總人數是解決問題的關鍵.14、1【解析】

首先連接BE，由題意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的對應邊成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：1，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，繼而求得答案．【詳解】如圖，連接BE，∵四邊形BCEK是正方形，∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根據題意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：1，∴KO=OF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF==1，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=1．故答案為1【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，三角函數的定義．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，注意轉化思想與數形結合思想的應用．15、【解析】

設CE=x，由矩形的性質得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折疊的性質得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的長度，進而求出DF的長度；然后在Rt△DEF根據勾股定理列出關于x的方程即可解決問題．【詳解】設CE=x．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵將△BCE沿BE折疊，使點C恰好落在AD邊上的點F處，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52-32=16，∴AF=4，DF=5-4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3-x）2+12，解得：x=，故答案為．16、8【解析】

解：設邊數為n，由題意得，180（n-2）=3603解得n=8.所以這個多邊形的邊數是8.17、9π【解析】

根據直角三角形兩銳角互余求出∠BAC=30°，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BC=AB，然后求出陰影部分的面積=S扇形ABE﹣S扇形BCD，列計算即可得解．【詳解】∵∠C是直角，∠ABC=60°，∴∠BAC=90°﹣60°=30°，∴BC=AB=×6=3（cm），∵△ABC以點B為中心順時針旋轉得到△BDE，∴S△BDE=S△ABC，∠ABE=∠CBD=180°﹣60°=110°，∴陰影部分的面積=S扇形ABE+S△BDE﹣S扇形BCD﹣S△ABC=S扇形ABE﹣S扇形BCD=﹣=11π﹣3π=9π（cm1）．故答案為9π．【點睛】本題考查了旋轉的性質，扇形的面積計算，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，求出陰影部分的面積等于兩個扇形的面積的差是解題的關鍵．18、．【解析】

作AH∥EF交BC于H，首先證明四邊形EFHA是平行四邊形，再利用三角形法則計算即可．【詳解】作AH∥EF交BC于H．∵AE∥FH，∴四邊形EFHA是平行四邊形，∴AE=HF，AH=EF．∵AE=ED=HF，∴．∵BC=2AD，∴2．∵BF=FC，∴，∴．∵．故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量，解題的關鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考?？碱}型．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）y=；y=x﹣；（2）；（1）﹣2＜x＜0或x＞1；【解析】

（1）過A作AM⊥x軸于M，根據勾股定理求出OM，得出A的坐標，把A得知坐標代入反比例函數的解析式求出解析式，吧B的坐標代入求出B的坐標，吧A、B的坐標代入一次函數的解析式，即可求出解析式．

（2）求出直線AB交y軸的交點坐標，即可求出OD，根據三角形面積公式求出即可．

（1）根據A、B的橫坐標結合圖象即可得出答案．【詳解】解:（1）過A作AM⊥x軸于M，則AM=1，OA=，由勾股定理得：OM=1，即A的坐標是（1，1），把A的坐標代入y=得：k=1，即反比例函數的解析式是y=．把B（﹣2，n）代入反比例函數的解析式得：n=﹣，即B的坐標是（﹣2，﹣），把A、B的坐標代入y=ax+b得：，解得：k=．b=﹣，即一次函數的解析式是y=x﹣．（2）連接OB，∵y=x﹣，∴當x=0時，y=﹣，即OD=，∴△AOB的面積是S△BOD+S△AOD=××2+××1=．（1）一次函數的值大于反比例函數的值時x的取值范圍是﹣2＜x＜0或x＞1，故答案為﹣2＜x＜0或x＞1．【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題以及用待定系數法求函數的解析式，函數的圖象的應用.熟練掌握相關知識是解題關鍵.20、(1)見解析;(2)①120°；②45°【解析】

（1）由AAS證明△CPM≌△AOM，得出PC=OA，得出PC=OB，即可得出結論；

（2）①證出OA=OP=PA，得出△AOP是等邊三角形，∠A=∠AOP=60°，得出∠BOP=120°即可；

②由切線的性質和平行線的性質得出∠BOP=90°，由等腰三角形的性質得出∠ABP=∠OPB=45°即可．【詳解】（1）∵PC∥AB，∴∠PCM＝∠OAM，∠CPM＝∠AOM．∵點M是OP的中點，∴OM＝PM，在△CPM和△AOM中，，∴△CPM≌△AOM（AAS），∴PC＝OA．∵AB是半圓O的直徑，∴OA＝OB，∴PC＝OB．又PC∥AB，∴四邊形OBCP是平行四邊形．（2）①∵四邊形AOCP是菱形，∴OA＝PA，∵OA＝OP，∴OA＝OP＝PA，∴△AOP是等邊三角形，∴∠A＝∠AOP＝60°，∴∠BOP＝120°；故答案為120°；②∵PC是⊙O的切線，∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，∵PC∥AB，∴∠BOP＝90°，∵OP＝OB，∴△OBP是等腰直角三角形，∴∠ABP＝∠OPB＝45°，故答案為45°．【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定、切線的性質、菱形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，熟練掌握切線的性質和平行四邊形的判定是解題的關鍵．21、【解析】

原式第一項利用負指數冪法則計算，第二項利用零指數冪法則計算，第三項利用特殊角的三角函數值化簡，最后一項利用絕對值的代數意義化簡，即可得到結果；【詳解】原式===．【點睛】此題考查實數的混合運算．此題難度不大，注意解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數指數冪、零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值等考點的運算．22、(1)方案1;B（5,0）;;(2)3.2m.【解析】試題分析：（1）根據拋物線在坐標系的位置，可用待定系數法求拋物線的解析式．（2）把x=3代入拋物線的解析式，即可得到結論．試題解析：解：方案1：（1）點B的坐標為（5，0），設拋物線的解析式為：．由題意可以得到拋物線的頂點為（0，5），代入解析式可得：，∴拋物線的解析式為：；（2）由題意：把代入，解得：=3.2，∴水面上漲的高度為3.2m．方案2：（1）點B的坐標為（10，0）．設拋物線的解析式為：．由題意可以得到拋物線的頂點為（5，5），代入解析式可得：，∴拋物線的解析式為：；（2）由題意：把代入解得：=3.2，∴水面上漲的高度為3.2m．方案3：（1）點B的坐標為（5，），由題意可以得到拋物線的頂點為（0，0）．設拋物線的解析式為：，把點B的坐標（5，），代入解析式可得：，∴拋物線的解析式為：；（2）由題意：把代入解得：=，∴水面上漲的高度為3.2m．23、（1）劉徽獎的人數為人，補全統(tǒng)計圖見解析；（2）獲得“祖沖之獎”的學生成績的中位數是90分，眾數是90分；（3）（點在第二象限）．【解析】

（1）先根據祖沖之獎的人數及其百分比求得總人數，再根據扇形圖求出趙爽獎、楊輝獎的人數，繼而根據各獎項的人數之和等于總人數求得劉徽獎的人數，據此可得；（2）根據中位數和眾數的定義求解可得；（3）列表得出所有等可能結果，再找到這個點在第二象限的結果，根據概率公式求解可得．【詳解】（1）∵獲獎的學生人數為20÷10%=200人，∴趙爽獎的人數為200×24%=48人，楊輝獎的人數為200×46%=92人，則劉徽獎的人數為200﹣（20+48+92）=40，補全統(tǒng)計圖如下：故答案為40；（2）獲得“祖沖之獎”的學生成績的中位數是90分，眾數是90分．故答案為90、90；（3）列表法：∵第二象限的點有（﹣2，2）和（﹣1，2），∴P（點在第二象限）．【點睛】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率、頻數分布直方圖以及利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，也考查列表法或畫樹狀圖法求概率．24、（1）證明見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）連接OP，首先證明OP∥BC，推出∠OPB=∠PBC，由OP=OB，推出∠OPB=∠OBP，由此推出∠PBC=∠OBP；

（2）作PH⊥AB于H．首先證明PC=PH=1，在Rt△APH中，求出AH，由△APH∽△ABC，求出AB、BH，由Rt△PBC≌Rt△PBH，推出BC=BH即可解決問題.試題解析：（1）連接OP，∵AC是⊙O的切線，∴OP⊥AC，∴∠APO=∠ACB=90°，∴OP∥BC，∴∠OPB=∠PBC，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠PBC=∠OBP，∴BP平分∠ABC；（2）作PH⊥AB于H．則∠AHP=∠BHP=∠ACB=90°，又∵∠PBC=∠OBP，PB=PB，∴△PBC≌△PBH，∴PC=PH=1，BC=BH，在Rt△APH中，AH=，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2∴(AP+PC)2+BC2=(AH+HB)2，即42