福建省泉港區(qū)第二中學2023-2024學年九年級上學期開學考試數(shù)學試題【含答案】

2023年9月泉港二中九年級上暑假返校測試數(shù)學試卷（考試時間：100分鐘，滿分100分）一、單選題（每題4分，共40分）1.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式加減法的法則，乘除法法則對各選項進行計算判斷即可．詳解】解：A．與不能合并，所以A選項不符合題意；B．與不能合并，所以B選項不符合題意；C．，所以C選項符合題意；D．與不能合并，所以D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的運算：解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式加減乘除運算的法則．2.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)，列出不等式，解之即可得出答案．【詳解】解：∵式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，

∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出被開方數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．3.若，則的值為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)合比性質(zhì)進行計算．【詳解】解：，．故選：A．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)）是解決問題的關(guān)鍵．4.已知，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置可得，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式進行化簡，再合并即可．【詳解】解：由實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置可知，，∴∴；故選：A．【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握數(shù)軸表示數(shù)的方法以及二次根式的性質(zhì)與化簡方法是正確解答的前提．5.我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為文．如果每株椽的運費是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是（）A. B.C.（ D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢可得一株椽的價錢為文，再根據(jù)總價錢等于一株椽的價錢乘以椽的數(shù)量建立方程即可．【詳解】解：由題意得：一株椽的價錢為文，則可列方程為：，故選：A．【點睛】本題考查了列一元二次方程，找準等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．6.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，，且，則k的值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整理即可求解．【詳解】解：由題意得：，，則：，即：，解得：，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的是解題的關(guān)鍵．7.如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、、和、、，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，根據(jù)合比性質(zhì)即得．【詳解】，，．故選：A．【點睛】本題主要考查了平行線分線段，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，合比性質(zhì)．8.如圖，若將圖1所示的正方形剪成四塊，恰能拼成圖2所示的長方形，設(shè)，則這個正方形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】從圖中可以看出，正方形的邊長，所以面積，矩形的長和寬分別是，，面積，兩圖形面積相等，列出方程得，其中，求的值，即可求得正方形的面積．【詳解】解：根據(jù)圖形和題意可得：正方形的邊長，∴正方形面積，矩形的長和寬分別是，，∴矩形面積，，其中，則方程是解得：，（不合題意舍去），所以正方形的面積為．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，解題的關(guān)鍵是從兩圖形中，找到兩圖形的邊長的值，然后利用面積相等列出等式求方程，解得的值，從而求出邊長，求面積．9.如圖，在平面直角坐標系中，已知，，三點，其中m，n滿足關(guān)系式．若在第二象限內(nèi)有一點，使四邊形的面積與三角形的面積之比為，則點P的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，，解得，，即，，，，，由面積比可得，，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，，，解得，∴，即，，，∴，，∵四邊形的面積與三角形的面積之比為，∴，解得，∴，故選：B．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，坐標與圖形．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．10.已知兩個多項式，，x為實數(shù)，將A、B進行加減乘除運算：①若A+B=10，則；②，則x需要滿足的條件是；③，則關(guān)于x的方程無實數(shù)根；④若x正整數(shù)()，且為整數(shù)，則1，2，4，5．上面說法正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】利用可求出，故①錯誤；對分情況討論可知②正確；若，則或，利用根的判別式可知，時，方程無解，故③正確；由為整數(shù)，可得是整數(shù)，可求出，2，4，5，故④正確．【詳解】解：∵，，∴①當時，則，解得：，故①錯誤；②當，則，當時，，解得：；當，，解得：；當，，解得：（舍去）；綜上所述：，故②正確；③若，則或，當時，，，無解；當時，，，無解；∴，關(guān)于x的方程無實數(shù)根；故③正確；④∵，若為整數(shù)，則是整數(shù)，∵x為正整數(shù)()，解得：，2，4，5，故④正確；∴正確的有②③④故選：C【點睛】本題考查分式的化簡，含絕對值的一元一次方程的求解，根的判別式，能夠正確解方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）11.古希臘幾何學家海倫在他的著作《度量》中給出了計算三角形面積的海倫公式，若三角形三邊長分別為、、，記，三角形的面積為，如圖，請你利用海倫公式計算的面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中的公式，代入計算求值．【詳解】解：，的面積為：，故答案為．【點睛】本題考查了二次根式的應用，掌握二次根式的計算是解題的關(guān)鍵．12.計算的結(jié)果是___________．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的混合運算法則及分母有理數(shù)的方法即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算及分母有理數(shù)，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．13.“黃金分割”被視為最美麗幾何學比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見.主持人站在舞臺的黃點分割位置會更自然得體，如圖，舞臺長米，點是線段的黃金分割點(即)，則的長是______．【答案】米【解析】【分析】利用黃金分割的定義進行計算，即可解答．【詳解】點是線段的黃金分割點(即)，米，米，米，故答案為：米．【點睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在中，平分，交于點，且，，交于點．若，則的長是______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對等角可得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，結(jié)合即可得出答案．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，平行線分線段成比例定理等知識，理解并掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．15.《安徽省電動自行車管理條例》自2023年3月1日起施行．《條例》規(guī)定，駕駛?cè)撕痛钶d人應當規(guī)范佩戴安全頭盔，同時，針對不規(guī)范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標準．某商店以每件元的價格購進一批安全頭盔，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該頭盔每周銷售量（件）與銷售單價（元/件）滿足一次函數(shù)，物價部門規(guī)定每件頭盔的利潤不能超過進價的．若商店計劃每周銷售該頭盔獲利元，則每件頭盔的售價應為________元．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，列方程表示每周利潤，代入求解即可．【詳解】解：由題意，得，即，解得，，，∵每件頭盔的利潤不能超過進價的，∴每件頭盔的售價不能超過元，所以舍去，所以售價應100元，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的營銷問題，理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．16.對于兩個不相等的實數(shù)，我們規(guī)定符號表示中的較大值，如：，按照這個規(guī)定，如果，則此時的值是______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)與的大小關(guān)系，取與中的最大值化簡所求方程，求出解即可．【詳解】解：當，即時，方程為，去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解；當，即時，方程為去分母得：，解得：（不符合題意，舍），，經(jīng)檢驗都為分式方程的解．故答案為：或．【點睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．三、解答題（共36分）17.先化簡，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】先把括號內(nèi)通分和除法運算化為乘法運算，再約分得到原式，然后把x的值代入計算即可．【詳解】解：原式，當時，原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值和二次根式的計算，解題的關(guān)鍵是掌握分式和二次根式的運算方法．18.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根為，請解答下列問題：①若，，求的取值范圍；②請判斷的值能否等于，若能，請求出此時的值；若不能說明理由．【答案】（1）見解析（2）①；②不能，見解析【解析】【分析】先計算根的判別式的值得到，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，則，然后解不等式即可；由于，，所以，由于時，有最小值，從而可判斷的值不能為．【小問1詳解】證明：，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；【小問2詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，，，解得，即的范圍為；的值不能為．理由如下：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，，時，有最小值，的值不能為．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．19.課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在中，對角線，垂足為．求證：是菱形．（2）知識應用：如圖，在中，對角線和相交于點，．①求證：是菱形；②延長至點，連接交于點，若，求的值．【答案】（1）見解析（2）①見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出，同理可得，則，，進而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，得出，即可得證；②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出，則，過點作交于點，根據(jù)平行線分線段成比例求