梯形的性質(zhì)與輔助線

第五講：梯形的性質(zhì)與輔助線第一局部：知識(shí)模塊與方法知識(shí)模塊一：梯形的性質(zhì)與判別1．梯形的定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。平行的兩邊叫做梯形的底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，夾在兩底之間的垂線段叫做梯形的高。2．等腰梯形的定義：兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。3．直角梯形的定義：一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。4．等腰梯形的性質(zhì)：〔1〕等腰梯形的兩腰相等?！?〕等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等?！?〕等腰梯形的對(duì)角線相等?！?〕梯形的中位線與兩底同時(shí)平行，且等于兩底和的一半。5．等腰梯形的判別方法：〔1〕兩條腰相等的梯形是等腰梯形。〔定義法〕〔2〕同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。〔3〕對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。知識(shí)、題型、方法梯形的性質(zhì)例1：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延長(zhǎng)線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC。〔1〕求證：△ABE≌△CDA；〔2〕假設(shè)∠DAC=40°，求∠EAC的度數(shù)。變式練習(xí)〔2012，南京〕如圖，梯形ABCD中，AD平行于BC，AB=CD，ACBD，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)?！?〕求證：四邊形EFGH為正方形；〔2〕假設(shè)AD=2，BC=4，求四邊形EFGH的面積。例2：〔2011，蘇州〕如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足為E?！?〕求證：△ABD≌△ECB；〔2〕假設(shè)∠DBC=50°，求∠DCE的度數(shù)。變式練習(xí)：〔2011，重慶潼南〕如圖,在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC?！?〕求證：AD=AE；〔2〕假設(shè)AD=8，DC=4，求AB的長(zhǎng)。課堂練習(xí)一：1．〔2011，四川綿陽(yáng)〕如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，對(duì)角線AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，那么△COD的面積為〔〕A.B.C.D.2．〔2011，江蘇宿遷〕如以下圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分線與∠BDC的平分線的交點(diǎn)E恰在AB上。假設(shè)AD＝7cm，BC＝8cm，那么AB的長(zhǎng)度是cm。3．〔2012，咸寧〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，，BE平分∠ABC且交CD于E，E為CD的中點(diǎn)，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，當(dāng)，時(shí)，四邊形BGEF的周長(zhǎng)為。ABCABCDFEG〔第3題圖〕ABCDE4．ABCDE5．〔2012，巴中〕如右圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且DE∥AB，那么∠BCD的度數(shù)是____________。6．〔2011，山東棗莊〕如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，，交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，連結(jié)EF。〔1〕證明：；〔2〕當(dāng)時(shí)，求EF的長(zhǎng)。FFDBAEC等腰梯形與直角梯形的判別例3：〔2012，湖北襄陽(yáng)〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點(diǎn)，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC與ED相交于點(diǎn)F．〔1〕求證：梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕當(dāng)AB與AC具有什么位置關(guān)系時(shí)，四邊形AECD是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出此時(shí)菱形AECD的面積．AACBDEF變式練習(xí)：1．如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BDCD，ABCD，且∠ABC為銳角。假設(shè)AD，BC，E為BC邊上一點(diǎn)。問(wèn)：當(dāng)CE分別為何值時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形、直角梯形？請(qǐng)分別說(shuō)明理由。ADBC2．〔2011，茂名改編〕如圖，在等腰△ABC中，點(diǎn)D、E分別是兩腰AC、BC上的點(diǎn)，連接AE、BD相交于點(diǎn)O，∠1=∠2?！?〕求證：OD=OE；〔2〕求證：四邊形ABＥD是等腰梯形；〔3〕假設(shè)AB=3DE，DE2，AD4，求四邊形ABED的面積。知識(shí)模塊二：梯形問(wèn)題中的輔助線梯形問(wèn)題中常見(jiàn)輔助線做法：〔1〕平移梯形一腰即過(guò)梯形上底或下底的一個(gè)端點(diǎn)作一腰的平行線，將梯形分割成三角形和平行四邊形，并出現(xiàn)上下底的差，利用這些條件解決所給的問(wèn)題?！?〕平移梯形的一條對(duì)角線即過(guò)梯形上底或下底的一個(gè)端點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，將梯形割補(bǔ)成與之等積的三角形，并出現(xiàn)上下底的和，利用這些條件解決所給的問(wèn)題〔3〕過(guò)上底的兩個(gè)端點(diǎn)作梯形的高線，將梯形分成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形.〔4〕延長(zhǎng)梯形兩腰交于一點(diǎn)，構(gòu)成兩個(gè)三角形.〔5〕連結(jié)上底的一端點(diǎn)與一腰的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交下底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，將梯形割補(bǔ)成與之等積的三角形.〔6〕連結(jié)兩腰中點(diǎn)，作中位線。知識(shí)、題型、方法例4：如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90o，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，那么CD＝cm。例5：〔2012，呼和浩特〕：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，那么梯形的面積是。AADBC例6：〔2011，臨沂〕如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，那么梯形ABCD的周長(zhǎng)是〔〕A．12B．14C．16D．18例7：〔2011，重慶〕如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD。過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交對(duì)角線BD于F．點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連結(jié)EG、AF?！?〕求EG的長(zhǎng)；〔2〕求證：CF＝AB＋AF。課堂練習(xí)二：1．〔2011，湖北武漢〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，假設(shè)∠ABD＝25°，那么∠BAD的大小是〔〕

A．40°．B．45°．

C．50°．D．60°．第7題圖第7題圖ABCD2．〔2012，臨沂〕如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，以下結(jié)論不一定正確的選項(xiàng)是〔〕A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD3．〔2012，廣州〕如圖，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E，且EC=3，那么梯形ABCD的周長(zhǎng)是〔〕A．26B．25C．21D．204．〔2011邵陽(yáng)〕如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，那么上底DC的長(zhǎng)是_______cm。5．〔2012，四川內(nèi)江〕如下圖，四邊形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，假設(shè)AB＝2，CD＝4，那么S梯形ABCD＝。AABDC6．〔2011，南京〕等腰梯形的腰長(zhǎng)為5㎝，它的周長(zhǎng)是22㎝，那么它的中位線長(zhǎng)為_(kāi)___㎝。7．〔2011，江蘇連云港〕一等腰梯形兩組對(duì)邊中點(diǎn)連線段的平方和為8，那么這個(gè)等腰梯形的對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)______。8．〔2011，山東煙臺(tái)〕如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E、F、G分別是BD、AC、DC的中點(diǎn)。兩底差是6，兩腰和是12，那么△EFG的周長(zhǎng)是。AABCDEFG〔第8題圖〕9．〔2009，齊齊哈爾〕在梯形中，，，，，，那么的長(zhǎng)為。10．〔2009，山東威?！吃谔菪蜛BCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6，那么AB的長(zhǎng)度為。11．〔2009，益陽(yáng)〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm。〔1〕求∠CBD的度數(shù)；〔2〕求下底AB的長(zhǎng)。ABABCD60°12．〔2011，東營(yíng)改編〕如圖，在四邊形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，連接AE，使得∠E∠C?！?〕求證：四邊形ABDE是平行四邊形；〔2〕假設(shè)DC=12，求AD的長(zhǎng)；〔3〕求四邊形ABCD的面積。13．〔2012，杭州〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．〔1〕求證：AF=DE；〔2〕假設(shè)∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長(zhǎng)。第二局部：模型思維與思想證明線線段相等的方法總結(jié)證明線段相等，首選全等三角形，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證得線段相等：〔1〕直接證明兩三角形全等〔此種類型比擬容易〕；〔2〕通過(guò)構(gòu)造全等三角形〔此種類型主要為猜測(cè)探究型題目，較難〕〔常用技巧：作垂線構(gòu)造旋轉(zhuǎn)形全等三角形；加倍中線構(gòu)造中心對(duì)稱型全等三角形；截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形〕其次選擇等量代換技巧；〔1〕證等腰三角形，利用等腰三角形兩腰相等證得線段相等；〔2〕考查一些幾何圖形的性質(zhì)，如：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半；平行四邊形對(duì)邊相等；等腰梯形兩腰相等；角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。同學(xué)們，此上兩種方法為證明線段相等的重要方法，這兩種方法有時(shí)可以獨(dú)立使用，有時(shí)可相互運(yùn)用，一定要多加體會(huì)。知識(shí)、題型、方法利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明線段相等例8：〔2008，義烏〕如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE。我們探究以下圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：〔1〕猜測(cè)如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；〔2〕將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷。變式練習(xí)：1.〔2011，山東臨沂〕如圖1，獎(jiǎng)三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，三角板的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。 〔1〕求證：EF＝EG；如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變，〔1〕中的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，給予證明；假設(shè)不成立，說(shuō)明理由。2.〔2011，成都節(jié)選〕如圖，線段AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)K，E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)。連接BE，假設(shè)BE平分∠ABC，且當(dāng)AE=AD時(shí)，猜測(cè)線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明。例9：利用等腰三角形兩腰相等證明線段相等〔2012，江蘇鹽城〕如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=900，E為BC上一點(diǎn)，∠BDE=∠DBC?！?〕求證：DE=EC?！?〕假設(shè)AD=BC，試判斷四邊形ABED的形狀，并說(shuō)明理由。變式練習(xí)：1.如圖，△ABC〔ABAC〕中，D、E在BC上，且DEEC，AE平分∠BAC，過(guò)D作DF∥BA交AE于點(diǎn)F。求證：ACDF。AFBDEC〔2011，重慶〕如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD。過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交對(duì)角線BD于F．點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連結(jié)EG、AF?！?〕求EG的長(zhǎng)；〔2〕求證：CF＝AB＋AF。課堂練習(xí)三：1.如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn)，于E，，交AG于F。求證：。DCDCBAEFG2.圖2〔2008，重慶〕：如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E。圖2求證：〔1〕△BFC≌△DFC；〔2〕AD=DE〔2012，重慶〕：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過(guò)M作ME⊥CD于點(diǎn)E,∠1=∠2。〔1〕假設(shè)CE=1，求BC的長(zhǎng)；〔2〕求證AM=DF+ME?！?009，山西節(jié)選〕在中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得交于點(diǎn)，分別交于兩點(diǎn)?！?〕如圖1，觀察并猜測(cè)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；〔2〕如圖2，當(dāng)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由。AADBECFADBECF圖1