第02講 定義與命題（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第2講定義與命題1.理解定義與命題的概念；2.分清命題的條件和結(jié)論，會把命題改寫成“如果……那么……”的形式，并能判斷命題的真假；3.會用反例說明一個命題是假命題。知識點命題、定理、證明【題型1命題的定義】【典例1】（2022秋?市北區(qū)校級期末）下列語句屬于命題的是（）A．你今天打卡了嗎？ B．請戴好口罩！ C．畫出兩條相等的線段 D．同位角相等【答案】D【解答】解：A、是問句，未做判斷，故本選項錯誤；B、是祈使句，不符合命題的概念，故本選項錯誤；C、是描述性語句，未做判斷，故本選項錯誤；D、符合命題的概念，故本選項正確；故選：D．【變式1】（2022秋?平昌縣期末）下列句子是命題的是（）A．畫∠AOB＝45° B．小于直角的角是銳角嗎？ C．連結(jié)CD D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形【答案】D【解答】解：A、畫∠AOB＝45°，沒有對事情做出判斷，故不是命題；B、小于直角的角是銳角嗎？沒有對事情做出判斷，故不是命題；C、連結(jié)CD，沒有對事情做出判斷，故不是命題；D、有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，是命題；故選：D．【題型2真假命題的判斷】【典例2】（2023春?鄂州期中）下列命題：①同位角相等；②負數(shù)沒有立方根；③兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)；④a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a∥b，b∥c，則a∥c；⑤a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c，其中真命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：①同位角不一定相等，所以結(jié)論錯誤，是假命題；②負數(shù)有立方根，如﹣1的立方根是﹣1，所以結(jié)論錯誤，是假命題；③兩個無理數(shù)的不一定是無理數(shù)，如與的和是2為有理數(shù)，所以結(jié)論錯誤，是假命題；④結(jié)論正確，是真命題；⑤a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，若a⊥b，b⊥c，則a∥c，結(jié)論錯誤，是假命題．故選：A．【變式2-1】（2023春?興寧區(qū)校級期中）下列命題為真命題的是（）A．相等的角是對頂角 B．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等 C．和為180°的兩個角互為鄰補角 D．鄰補角互補【答案】D【解答】解：A、相等的角不一定是對頂角，故本選項說法是假命題，不符合題意；B、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，故本選項說法是假命題，不符合題意；C、和為180°的兩個角不一定是互為鄰補角，故本選項說法是假命題，不符合題意；D、鄰補角互補，是真命題，符合題意；故選：D．【變式2-2】（2023春?東莞市校級期中）下列命題中，真命題的個數(shù)是（）①同位角相等；②垂線段最短；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④三條直線兩兩相交，總有三個交點；⑤若a∥b，b∥c，則a∥c．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：①∵同位角不一定是兩平行直線被截得到，∴同位角相等錯誤，故本小題錯誤；②垂線段最短，故本小題正確；③應為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本小題錯誤；④三條直線兩兩相交，總有一個或三個交點，故本小題錯誤；⑤若a∥b，b∥c，則a∥c，正確．綜上所述，說法正確的有②⑤共2個．故選：B．【變式2-3】（2023春?彭水縣期中）下列命題是假命題的是（）A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B．兩直線平行，同位角相等 C．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 D．同位角相等，兩直線平行【答案】C【解答】解：A、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以A選項為真命題；B、兩直線平行，同位角相等，所以B選項為真命題；C、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，所以C選項為假命題；D、同位角相等，兩直線平行，所以D選項為真命題．故選：C．【變式2-4】（2023春?朝陽區(qū)校級期中）①大小相等的兩個角互為對頂角；②兩點之間，線段最短；③兩角之和為180°，則這兩個角互為鄰補角；④點到直線的距離是點到這條直線的垂線段；⑤過一點有且只有一條直線與已知直線平行；⑥過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑦圖形平移的方向一定是水平的；⑧內(nèi)錯角相等；其中是真命題的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解答】解：①相等的角不一定是對頂角，故為假命題；②兩點之間，線段最短，故為真命題；③兩角之和為180°，則這兩個角互為補角，故為假命題；④點到直線的距離是點到這條直線的垂線段的長度，故為假命題；⑤過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故為假命題；⑥同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故為假命題；⑦圖形平移的方向不一定是水平的，有可能是豎直的以及其他方向的，故為假命題；⑧兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故為假命題；∴真命題有1個，故選：B．【題型3舉反例】【典例3】（2023?江北區(qū)一模）能說明命題“對于任意實數(shù)x，x2＞0”是假命題的一個反例可以是（）A． B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣1【答案】C【解答】解：∵02＝0，∴當x＝0時，該命題是假命題，故選：C．【變式3-1】（2023春?江寧區(qū)校級月考）下列選項中，可以用來說明命題“若a＞b，則a2＞b2”屬于假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝2，b＝1 B．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2D．a(chǎn)＝﹣1，b＝1【答案】C【解答】解：當a＝﹣1，b＝﹣2時，a＞b，而a2＜b2，說明命題“若a＞b，則a2＞b2”屬于假命題，故選：C．【變式3-2】（2023春?建鄴區(qū)校級期中）為說明命題“若m＞n，則m2＞n2”是假命題，所列舉反例正確的是（）A．m＝3，n＝6 B．m＝6，n＝3C．m＝﹣3，n＝﹣6D．m＝﹣6，n＝﹣3【答案】C【解答】解：A．3＜6，故選項錯誤，不符合題意；B．6＞3，62＞32，故選項錯誤，不符合題意；C．﹣3＞﹣6，（﹣3）2＜（﹣6）2，可以推出原命題是假命題，故選項正確，符合題意；D．﹣6＜﹣3，故選項錯誤，不符合題意；故選：C．【變式3-3】（2023?義烏市校級開學）下列選項中，能說明命題“兩個銳角的和是銳角”是一個假命題的反例是（）A．∠A＝20°，∠B＝60° B．∠A＝30°，∠B＝90° C．∠A＝40°，∠B＝50° D．∠A＝50°，∠B＝100°【答案】C【解答】解：例如：若∠A＝40°，∠B＝50°，則∠A+∠B＝90°．故選：C．【題型4命題論證過程】【典例4】（2023春?九龍坡區(qū)校級月考）（1）如圖，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，試說明FG⊥AB；（2）若把（1）中的題設中的“DE∥BC”與結(jié)論“FG⊥AB”對調(diào)，所得命題是否為真命題？試說明理由．【答案】（1）證明見解答過程；（2）所得命題為真命題，理由見解答過程．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CD∥FG，∵CD⊥AB，∴FG⊥AB；（2）把題設中的“DE∥BC”與結(jié)論“FG⊥AB”對調(diào)，所得命題為真命題，理由如下：∵FG⊥AB，CD⊥AB，∴FG∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴DE∥BC．【變式4】（2022秋?惠濟區(qū)校級期末）如圖，在△AFD和△CEB中，點A、E、F、C在同一條直線上，有下面四個選項：①AD＝CB；②AE＝CF；③DF＝BE；④AD∥BC．請用其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，編一道真命題．并寫出證明過程．條件為：（填序號）．結(jié)論為：（填序號）．【答案】①②④；③（答案不唯一）；證明過程詳見解答部分．【解答】解：條件為：①②④，結(jié)論為：③；（答案不唯一）已知：如圖，在△AFD和△CEB中，點A、E、F、C在同一條直線上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求證：DF＝BE．證明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∴在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴DF＝BE．故答案為：①②④；③1．（2022?上海）下列說法正確的是（）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【解答】解：A、命題一定有逆命題，本選項說法正確，符合題意，B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的對應角相等，沒有逆定理，故本選項說法錯誤，不符合題意；C、真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、假命題的逆命題不一定是假命題，例如假命題對應角相等的三角形全等，其逆命題是真命題，故本選項說法錯誤，不符合題意；故選：A．2．（2022?盤錦）下列命題不正確的是（）A．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 B．負數(shù)的立方根是負數(shù) C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．五邊形的外角和是360°【答案】C【解答】解：A、經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；故A正確；B、負數(shù)的立方根是負數(shù)；故B正確；C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯誤；D、五邊形的外角和是360°，故D正確；故選：C．3．（2022?梧州）下列命題中，假命題是（）A．﹣2的絕對值是﹣2 B．對頂角相等 C．平行四邊形是中心對稱圖形 D．如果直線a∥c，b∥c，那么直線a∥b【答案】A【解答】解：﹣2的絕對值是2，故A是假命題，符合題意；對頂角相等，故B是真命題，不符合題意；平行四邊形是中心對稱圖形，故C是真命題，不符合題意；如果直線a∥c，b∥c，那么直線a∥b，故D是真命題，不符合題意；故選：A．4．（2021?浙江）能說明命題“若x為無理數(shù)，則x2也是無理數(shù)”是假命題的反例是（）A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣【答案】C【解答】解：（﹣1）2＝3﹣2，是無理數(shù)，不符合題意；（+1）2＝3+2，是無理數(shù)，不符合題意；（3）2＝18，是有理數(shù)，符合題意；（﹣）2＝5﹣2，是無理數(shù)，不符合題意；故選：C．5．（2023?九龍坡區(qū)模擬）下列命題中，錯誤的是（）A．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 B．兩條對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 C．三個角是直角的四邊形是矩形 D．四邊相等的四邊形是菱形【答案】B【解答】解：A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，正確，不符合題意；B、兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，錯誤，符合題意；C、三個角是直角的四邊形是矩形，正確，不符合題意；D、四邊相等的四邊形是菱形，正確，不符合題意．故選：B．6．（2023?曹妃甸區(qū)模擬）能說明命題“若a2＝b2，則a＝b”是假命題的一個反例可以是（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣1 B．a(chǎn)＝1，b＝2C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣1D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2【答案】A【解答】解：能說明命題“若a2＝b2，則a＝b”是假命題的一個反例是a＝1，b＝﹣1，a2＝b2，但a＝﹣b，故選：A．7．（2022?無錫）請寫出命題“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命題：．【答案】如果b﹣a＜0，那么a＞b．【解答】解：命題“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命題是“如果b﹣a＜0，那么a＞b”．故答案為：如果b﹣a＜0，那么a＞b．8．（2021?無錫）下列命題中，正確命題的個數(shù)為．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③邊長相等的兩個菱形都相似④對角線相等的兩個矩形都相似【答案】1．【解答】解：①所有的正方形都相似，正確，符合題意；②所有的菱形都相似，錯誤，不符合題意；③邊長相等的兩個菱形都相似，錯誤，不符合題意；④對角線相等的兩個矩形都相似，錯誤，不符合題意，正確的有1個，故答案為：1．9．（2022?廣安）如圖，點D是△ABC外一點，連接BD、AD，AD與BC交于點O．下列三個等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．請從這三個等式中，任選兩個作為已知條件，剩下的一個作為結(jié)論，組成一個真命題，將你選擇的等式或等式的序號填在下面對應的橫線上，然后對該真命題進行證明．已知：，．求證：．【答案】答案不唯一．已知：BC﹣AD，∠ABC＝∠BAD，求證：AC＝BD【解答】解：答案不唯一．∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．又∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD，∴AC＝BD．1．（2022秋?武義縣期末）下列語句中，不是命題的是（）A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短 C．作角A的平分線 D．內(nèi)錯角相等【答案】C【解答】解：A、兩點確定一條直線，是命題，不符合題意；B、垂線段最短，是命題，不符合題意；C、沒有做出任何判斷，不是命題，符合題意；D、內(nèi)錯角相等，是命題，不符合題意；故選：C．2．（2022秋?漣源市期末）命題“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”的條件是（）A．平行 B．兩條直線 C．同一條直線 D．兩條直線平行于同一條直線【答案】D【解答】解：命題“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”的條件是兩條直線都平行于第三條直線，結(jié)論是這兩條直線平行．故選：D．3．（2023春?牧野區(qū)校級期中）下列命題是真命題的是（）A．無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù) B．內(nèi)錯角相等 C．如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行 D．7是49的平方根【答案】D【解答】解：A、無理數(shù)包括正無理數(shù)、負無理數(shù)，故本選項說法是假命題，不符合題意；B、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故本選項說法是假命題，不符合題意；C、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行，故本選項說法是假命題，不符合題意；D、7是49的平方根，是真命題，符合題意；故選：D．4．（2023春?西城區(qū)校級期中）下列命題是假命題的是（）A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，則同位角必相等 C．垂直于同一直線的兩直線平行 D．如果一個數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除【答案】C【解答】解：A．由∠1＝∠2，∠2＝∠3，得∠1＝∠3，那么A是真命題，故A不符合題意．B．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行，則同位角相等，即B是真命題，故B不符合題意．C．同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，那么C是假命題，故C符合題意．D．若一個數(shù)能被4整除，4整除2，那么這個數(shù)也能被2整除，那么D是真命題，故D不符合題意．故選：C．5．（2023春?思明區(qū)校級期中）下列命題都是真命題，其中逆命題也正確的是（）A．若a+b＝0，則a2＝b2 B．若a＞b＞0，則|a|＞|b| C．若a﹣b＝0，則a2＝b2 D．若a±b＝0，則a2＝b2【答案】D【解答】解：A、若a+b＝0，則a2＝b2的逆命題：是若a2＝b2，則a+b＝0，當a、b均為正數(shù)時，此逆命題是假命題，故此選項不符合題意；B、若a＞b＞0，則|a|＞|b|的逆命題是：若|a|＞|b|，則a＞b＞0，當a、b均為負數(shù)時，逆命題是假命題，故此選項不符合題意；C、若a﹣b＝0，則a2＝b2的逆命題是：若a2＝b2，則a﹣b＝0，當a、b互為相反數(shù)時，逆命題是假命題，故此選項不符合題意；D、若a±b＝0，則a2＝b2的逆命題是：若a2＝b2，則a±b＝0，逆命題是真命題，故此選項符合題意．故選：D．6．（2023春?廣州期中）下列命題為真命題的是（）A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 B．如果a2＝b2，那么a＝b C．過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行 D．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行【答案】C【解答】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項說法是假命題，不符合題意；B、如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，故本選項說法是假命題，不符合題意；C、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，本選項說法是真命題，符合題意；D、垂直于同一直線的兩條直線互相平行，故本選項說法是假命題，不符合題意；故選：C．7．（2023春?寧波月考）下列能說明命題“若a＞b，則a2＞b2”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝﹣1，b＝0 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝2，b＝1【答案】C【解答】解：A、∵當a＝﹣1，b＝0時，∴a＜b，∴a2＞b2，故“若a＞b，則a2＞b2”是假命題的反例不可以為：a＝﹣1，b＝0；B、∵當a＝﹣1，b＝﹣1時，∴a＝b，∴a2＝b2，故“若a＞b，則a2＞b2”是假命題的反例不可以為：a＝﹣1，b＝﹣1；C、∵當a＝﹣1，b＝﹣2時，∴a＞b，∴a2＜b2，故“若a＞b，則a2＞b2”是假命題的反例可以為：a＝﹣1，b＝﹣2．D、∵當a＝2，b＝1時，∴a＞b，∴a2＞b2，故“若a＞b，則a2＞b2”是假命題的反例不可以為：a＝2，b＝1；故選：C．8．（2023春?渝中區(qū)校級期中）下列命題，其中正確的命題是（）A．（﹣3）2的平方根是3 B．﹣8的立方根是﹣2 C．的算術(shù)平方根是3 D．立方根等于本身的數(shù)只有0，1【答案】B【解答】解：A、（﹣3）2的平方根是±3，原命題是假命題，不符合題意；B、﹣8的立方根是﹣2，是真命題，符合題意；C、的算術(shù)平方根是，原命題是假命題，不符合題意；D、立方根等于本身的數(shù)有0，±1，原命題是假命題，不符合題意；故選：B．9．（2022秋?海港區(qū)期末）下列命題的逆命題一定成立的有（）A．對頂角