河南省洛陽(yáng)市偃師實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

河南省洛陽(yáng)市偃師實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中,已知,,E,F為BC的三等分點(diǎn),則=A． B．

C．

D．參考答案：B2.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若||=4，則z?=(

) A．4 B．2 C．16 D．±2參考答案：C考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：先設(shè)出復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R），再求出共軛復(fù)數(shù)，由已知||=4，則z?的答案可求．解答： 解：設(shè)則=a﹣bi，∵||=，∴z?=（a+bi）?（a﹣bi）=a2+b2=42=16．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念及共軛復(fù)數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題．3.已知不等式對(duì)任意且恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A、2

B、4

C、6

D、8參考答案：B4.設(shè)為△內(nèi)一點(diǎn)，若，有，則△的形狀一定是（

）

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．不能確定參考答案：B5.已知，那么 （）A． B． C． D．參考答案：C6.已知拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)M（x，y），定點(diǎn)N（0，1），則x+|MN|的最小值是（）A． B． C．﹣1 D．﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），M到準(zhǔn)線的距離為d，則x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，即可得出結(jié)論．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），M到準(zhǔn)線的距離為d，則x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，∴x+|MN|的最小值是﹣1．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查拋物線定義的運(yùn)用，屬于中檔題．7.某廠一月份、二月份、三月份、四月份的利潤(rùn)分別為2、4、4、6（單位：萬(wàn)元），用線性回歸分析估計(jì)該廠五月份的利潤(rùn)為

A．6.5萬(wàn)元

B．7萬(wàn)元

C．7.5萬(wàn)元

D．8萬(wàn)元參考答案：B8.在不等式組，所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M恰好落在第二象限的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，分別求出滿足條件的三角形的面積，從而求出其概率．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得：P（，），不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镽T△，其面積為×3×=，點(diǎn)M恰好落在第二象限表示的平面區(qū)域?yàn)橐恢苯侨切?，其面積是×1×1=，∴點(diǎn)M恰好落在第二象限的概率為P=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查幾何概型，是一道中檔題．9.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，M在邊BC上且BC=3BM，N為DC的中點(diǎn)，則=（）A．﹣6 B．12 C．6 D．﹣12參考答案：A【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】建立坐標(biāo)系，求出兩向量的坐標(biāo)，再計(jì)算數(shù)量積．【解答】解：以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖所示：則A（0，0），B（6，0），M（6，2），N（3，6），∴=（6，2），=（﹣3，6），∴=﹣18+12=﹣6．故選A．10.下列函數(shù)中，在內(nèi)單調(diào)遞減，并且是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，則在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為

．參考答案：y=﹣2x+8考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（0）=2，再求出f（0），由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．解答： 解：∵f（x）=，∴，∴f′（2）=﹣2，又f（2）=4，∴函數(shù)f（x）=在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y﹣4=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+8．故答案為：y=﹣2x+8．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．12.已知(2,3),=(-1,5)，則=_________.參考答案：(-1,18)略13.在等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則公比=_____________.參考答案：略14.若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則x的值為

．參考答案：-3略15.某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表．已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到二年級(jí)女生的概率是．現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為

．

參考答案：1616.已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

.參考答案：17.將函數(shù)y=sin（x﹣），x∈R的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的解析式為．參考答案：y=sin（x﹣）【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)y=sin（x﹣），x∈R的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得y=sin（x﹣）的圖象；再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的解析式為y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），故答案為：y=sin（x﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{an}，{bn}，若－…，則稱{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.其中，，分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知{an}為無(wú)窮數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.（1）若，求{bn}的前n項(xiàng)和；（2）證明：{bn}的“收縮數(shù)列”仍是{bn}；（3）若，求所有滿足該條件的{an}.參考答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）所有滿足該條件的數(shù)列為【分析】（1）由可得為遞增數(shù)列，，，從而易得；（2）利用，，可證是不減數(shù)列（即），而，由此可得的“收縮數(shù)列”仍是.（3）首先，由已知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，（*），這里分析與的大小關(guān)系，，均出現(xiàn)矛盾，，結(jié)合(*)式可得，因此猜想（），用反證法證明此結(jié)論成立，證明時(shí)假設(shè)是首次不符合的項(xiàng)，則，這樣題設(shè)條件變?yōu)椋?），仿照討論的情況討論，可證明．【詳解】解：（1）由可得遞增數(shù)列，所以，故的前項(xiàng)和為.（2）因?yàn)?，，所以所?又因?yàn)?，所以，所以的“收縮數(shù)列”仍是.（3）由可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以；當(dāng)時(shí)，，即（*），若，則，所以由（*）可得，與矛盾；若，則，所以由（*）可得，所以與同號(hào)，這與矛盾；若，則，由（*）可得.猜想：滿足的數(shù)列是：.經(jīng)驗(yàn)證，左式，右式.下面證明其它數(shù)列都不滿足（3）的題設(shè)條件.法1：由上述時(shí)的情況可知，時(shí)，是成立的.假設(shè)是首次不符合的項(xiàng)，則，由題設(shè)條件可得（*），若，則由（*）式化簡(jiǎn)可得與矛盾；若，則，所以由（*）可得所以與同號(hào)，這與矛盾；所以，則，所以由（*）化簡(jiǎn)可得.這與假設(shè)矛盾.所以不存在數(shù)列不滿足的符合題設(shè)條件.法2：當(dāng)時(shí)，，所以即由可得又，所以可得，所以，即所以等號(hào)成立的條件是，所以，所有滿足該條件的數(shù)列為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)．第（1）（2）問(wèn)直接利用新概念“收縮數(shù)列”結(jié)合不等關(guān)系易得，第（3）問(wèn)考查學(xué)生的從特殊到一般的思維能力，考查歸納猜想能力，題中討論與大小關(guān)系是解題關(guān)鍵所在．本題屬于難題．19.設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：y=kx+t（k≠0）與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與y軸交點(diǎn)P（0，﹣），求△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的應(yīng)用．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析：對(duì)第（1）問(wèn)，由離心率得a與c的等量關(guān)系，由橢圓的通徑長(zhǎng)為，得a與b有等量關(guān)系，結(jié)合c2=a2﹣b2，消去c，即得a2，b2，從而得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．對(duì)第（2）問(wèn)，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)為G（x0，y0），由韋達(dá)定理及中點(diǎn)公式，得x0及y0的表達(dá)式，用k，t表示直線MN的垂直平分線的方程，將P點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣）代入，得k與t的等量關(guān)系．由弦長(zhǎng)公式，得|MN|，由點(diǎn)到直線距離公式，得△MON底邊MN上的高，從而得△MON面積的表達(dá)式，即可探求其面積的最大值．解答： 解：（1）設(shè)F（﹣c，0），由離心率知，a2=3c2=3（a2﹣b2），得3b2=2a2．…①易知，過(guò)F且與x軸垂直的直線方程為x=﹣c，代入橢圓方程中，得，解得y=±由題意，得，得．…②聯(lián)立①、②，得，b2=2，故橢圓C的方程為．（2）由，消去y，整理，得（3k2+2）x2+6ktx+3t2﹣6=0，…③有△=24（3k2+2﹣t2）＞0，得3k2+2＞t2，…④設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點(diǎn)為G（x0，y0），由韋達(dá)定理，得x1+x2=，，則x0=，，∴線段MN的垂直平分線方程為：y﹣=﹣（x+），將P點(diǎn)的坐標(biāo)（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣=﹣（0+），化簡(jiǎn)得：3k2+2=4t，代入④式中，有4t＞t2，得0＜t＜4．

|MN|===．設(shè)原點(diǎn)O到直線MN的距離為d，則，∴S△MON=?|MN|?d=?．==，當(dāng)t=2時(shí)，S△MON有最大值，此時(shí)，由3k2+2=4t知，k=±，∴△MON面積的最大值為，此時(shí)直線l的方程為y=±x+2．點(diǎn)評(píng)：本題計(jì)算量較大，考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓相交的綜合問(wèn)題，處理此類問(wèn)題的常見(jiàn)技巧如下：1．確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定a2，b2的值，若引入c，則需建立關(guān)于a，b，c的三個(gè)獨(dú)立的方程，注意隱含條件“a2=b2+c2”運(yùn)用．2．對(duì)于直線與橢圓相交的有關(guān)三角形面積的最值問(wèn)題，一般是聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，寫出面積的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問(wèn)題，或利用導(dǎo)數(shù)，或利用其本不等式尋求最值．20.

（12分）質(zhì)地均勻的正四面體玩具的4個(gè)面上分別刻著數(shù)字1，2，3，4。將4個(gè)這樣的玩具同時(shí)拋擲于桌面上。

（1）求與桌面接觸的4個(gè)面上的4個(gè)數(shù)的乘積能被4整除的概率；

（2）設(shè)為與桌面接觸的4個(gè)面上數(shù)字中偶數(shù)的個(gè)數(shù)，求的分布列及期望E。參考答案：解析：（1）不能被4整除的有兩種情影：①4個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，概率為……2分（2）4個(gè)數(shù)中有3個(gè)奇數(shù)，另一個(gè)為2，概率為…………4分故所求的概率為P……6分（2）的分布列為01234