廣東省廣州市天河區(qū)大華學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

廣東省廣州市天河區(qū)大華學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.下列方程中，關(guān)于的一元二次方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定義一次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：、是代數(shù)式，所以選項錯誤，不符合題意；、是一元二次方程，所以選項正確，符合題意；、為一元一次方程，所以選項錯誤，不符合題意；、含兩個未知數(shù)，所以選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義：解題的關(guān)鍵是掌握含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫一元二次方程．2.下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的概念，把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱圖形的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：A．3.一個矩形的長和寬恰好是方程的兩個根，則矩形的周長和面積分別是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的解，確定出矩形的長和寬，代入周長和面積公式計算即可求解，掌握了解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，，∵矩形的長和寬恰好是方程的兩個根，∴矩形的長為，寬為，∴矩形的周長為，面積為，故選：．4.將拋物線向上平移3個單位長度，再向右平移4個單位長度，所得到的拋物線為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．按照拋物線平移的公式即可求解．【詳解】解：將拋物線向上平移3個單位長度，再向右平移4個單位長度，所得到的拋物線為．故選：D．5.下列關(guān)于x方程有兩個不相等的實數(shù)根的是（）A.x2﹣2x＋2＝0 B.x（x﹣2）＝﹣1C.（x﹣k）（x＋k）＝2x＋1 D.x2＋1＝0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式與方程根的對應(yīng)情況分別進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0沒有實數(shù)根，不符合題意；B.方程變形為x2﹣2x+1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有兩個相等的實數(shù)根，不符合題意；C.方程變形為x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有兩個不相等的實數(shù)根，符合題意；D.∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴一元二次方程x2+1＝0沒有實數(shù)根，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，牢記“當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．6.如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)40°后得到△COD，若∠AOB＝15°，則∠AOD的度數(shù)是（）A.45° B.55° C.60° D.65°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)角，再由∠AOD=∠AOB+∠BOD求解即可．【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠BOD=40°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=55°，故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意確定旋轉(zhuǎn)角是解題關(guān)鍵．7.二次函數(shù)，當(dāng)時，y的取值范圍是什么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把二次函數(shù)解析式配方后，根據(jù)拋物線在所給范圍內(nèi)的增減性質(zhì)即可確定y的取值范圍．【詳解】∵∴拋物線的對稱軸為直線x=?3，頂點坐標(biāo)為(?3，8)∵二次項系數(shù)?2<0∴當(dāng)時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大∵x=?4時，y=6∴6≤y≤8當(dāng)時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小∵x=0時，y=?10∴?10≤y≤8綜合之，當(dāng)時，故選：C【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，但一定要注意，所給自變量的范圍是在對稱軸的左邊還是右邊或者對稱軸兩邊均有．本題則既要考慮對稱軸左邊的情況，又要考慮對稱軸右邊的情況．8.某機(jī)械長今年生產(chǎn)零件50萬個，計劃明后兩年共生產(chǎn)零件132萬個，設(shè)該廠每年的平均增長率為x，那么x滿足方程（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用-增長率問題，設(shè)出未知數(shù)，分別表示明年、后年生產(chǎn)的零件數(shù)量，根據(jù)“明后兩年共生產(chǎn)零件132萬個”即可列出方程．【詳解】解：根據(jù)題意得明年生產(chǎn)零件為（萬個），后年生產(chǎn)零件為（萬個），由題意得．故選：C9.一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷，由選項中圖象可判斷a，b符號不同，分類討論求解．【詳解】解：∵，∴拋物線對稱軸為直線，當(dāng)拋物線對稱軸在y軸右側(cè)時，，，符號不同，當(dāng)，時，拋物線開口向上，直線上升，直線與軸交點在軸下方，當(dāng)，時，拋物線開口向下，直線下降，直線與軸交點在軸上方，故選：B．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，且點B在第一象限內(nèi)，將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2024次旋轉(zhuǎn)后，點B的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．過點作軸與點，確定的長和，根據(jù)第次旋轉(zhuǎn)后，點恰好在y軸的負(fù)半軸上，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖，過點作軸與點，∵點，，，且點B在第一象限內(nèi)，∴，∴，∴，∴，∴，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，∴,∵，∴第次旋轉(zhuǎn)后，旋轉(zhuǎn)，則點恰好在y軸的負(fù)半軸上，即第次旋轉(zhuǎn)后，點的坐標(biāo)是．故選：B．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11.函數(shù)的定義域是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為0；當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)；根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，得出，求解即可，熟練掌握以上知識點并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，解得：，函數(shù)的定義域是，故答案為：．12.寫出二次項系數(shù)為5，以x1=1，x2=2為根的一元二次方程________【答案】5x2﹣15x+10=0【解析】【詳解】∵1+2=3，1×2=2，∴以x1=1，x2=2為根的一元二次方程可為x2?3x+2=0，當(dāng)二次項系數(shù)為5,方程為5x2?15x+10=0.故答案為5x2?15x+10=0.13.拋物線與x軸相交于點、，點A在點B左側(cè)，若，則當(dāng)時，y______0（填“”“”或“”號）【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵拋物線與x軸相交于點、，對稱軸為，∴，，∵，∴，∴，∴當(dāng)時，，故答案為：．14.已知等腰三角形的兩邊，的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為8，則的周長________．【答案】23或25【解析】【分析】首先求出一元二次方程的兩個根，然后根據(jù)等腰三角形的定義分情況討論即可．【詳解】∵，，是等腰三角形，①，不成立；②，∴此時三邊分別為8，8，9，∴周長為；③，∴，此時三邊分別為7，8，8，∴周長為，故答案為：23或25．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解和等腰三角形的定義，分情況討論是解題的關(guān)鍵．15.如圖，C為線段AB的中點，D為AB垂直平分線上一點，連接BD，將BD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接AE，若AB＝2，AE＝4，則CD的長為___．【答案】7【解析】【分析】連接AD、BE，過點E作EH⊥AB于H，由旋轉(zhuǎn)知，DE=DB，∠BDE=60°，可證△BDE是等邊三角形，利用三角形內(nèi)角和180°求出∠BAD=，∠EAD=從而得到∠BAE==150°，∠HAE=30°，接著求出EH,AH，再利用勾股定理先后求出BE和CD．【詳解】解：如圖，連接AD、BE，過點E作EH⊥AB于H，由旋轉(zhuǎn)知，DE=DB，∠BDE=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴BE=BD∵C為AB中點，點D在AB的處置平分線上，∴AD=BD=DE，BC=AB=×=∴∠BAD=，∠EAD=∴∠BAD+∠EAD=即∠BAE=∵∠BDE=60°∴∠BAE=150°∴∠HAE=180°-150°=30°∵AE=4∴EH=AE=2，AH=2∴BH=AH+AB=2+2=4∴BE===2∴BD=2∴CD===7故答案為7．【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，三角形內(nèi)角和，勾股定理以及含30°的直角三角形，通過做輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．16.已知拋物線的函數(shù)關(guān)系為，則該拋物線的頂點坐標(biāo)為______（用含a的代數(shù)式表示）；若該拋物線與線段有兩個公共點，則a的取值范圍為______．【答案】①.②.【解析】【分析】由，可得頂點坐標(biāo)為：；求解函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)分別為：，，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為：，再分兩種情況討論：當(dāng)時，如圖，函數(shù)圖象與直線在只有1個交點或沒有交點，不符合題意，當(dāng)時，如圖，函數(shù)圖象與直線在有2個交點，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴頂點坐標(biāo)為：；令，則，解得：，，函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)分別為：，，令，則，∴拋物線與軸的交點坐標(biāo)為：，當(dāng)時，如圖，∴函數(shù)圖象與直線在只有1個交點或沒有交點，不符合題意，當(dāng)時，如圖，∵函數(shù)圖象與直線在有2個交點，∴，解得：；故答案：，【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．三．解答題（共9小題，滿分72分）17.解方程【答案】，【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程．根據(jù)因式分解法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：整理得，移項得，因式分解得，即，解得，．18.如圖，在中，，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且于點，求的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，然后可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，∵，∴，∴，∴．19.如圖，三個頂點的坐標(biāo)分別為、．（1）請畫出與關(guān)于原點成中心對稱的圖形；（2）若以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的圖形為（的對應(yīng)點為的對應(yīng)點為），在網(wǎng)格中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了軸對稱和旋轉(zhuǎn)作圖熟練掌握上述知識、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)找出對應(yīng)點即可求解．【小問1詳解】解：如圖，即為所作；【小問2詳解】如圖，即為所求．20.已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一實數(shù)根大于2，求a的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求證；（2）利用因式分解法，求出方程的兩個根為，再由該方程有一實數(shù)根大于2，即可求解．【小問1詳解】解：，根據(jù)題意得：，∴方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】解：，∴，解得：，∵該方程有一實數(shù)根大于2，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．21.有一批商品，原售價為每件40元，在甲、乙兩家公司銷售．甲公司用如下方法促銷：買一件單價為39元，買兩件每件都為38元，依此類推，即每多買一件，則所買各臺單價均再減1元；乙公司一律按原售價的七五折促銷．某單位需購買這批商品：（1）若此單位需購買5件商品，應(yīng)去哪家公司購買花費較少？（2）若該單位計劃購買a件商品，經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)，在兩家公司購買相差24元，試求a的值．【答案】（1）去乙公司購買花費少．（2）4或6或12．【解析】【分析】（1）把數(shù)量5分別代入甲乙兩家公司的計算即可求出到哪家公司購買花費較少；（2）把數(shù)量a分別代入甲乙兩家公司計算，費用用含a表示，然后討論①當(dāng)去甲公司花費比乙公司多24元時；②當(dāng)去甲公司花費比乙公司少24元時，分別列等式求出a的值即可．【小問1詳解】去甲公司購買花費：（40-5×1）×5=175（元），去乙公司購買花費：40×5×75%=150（元），∵175>150，∴去乙公司購買花費少．【小問2詳解】去甲公司購買花費：a(40-a)=40a-，去乙公司購買花費：40×75%a=30a，∴在兩家公司購買相差24元，∴當(dāng)去甲公司花費較多時，40a-=30a+24整理得：-10a+24=0解得：當(dāng)去甲公司花費較少時，40a-+24=30a整理得：-10a-24=0，解得：（舍去）綜上a的值為4或6或12．【點睛】本題考查了利用方程思想解決生活中的數(shù)學(xué)問題．只要把握住總花費=單價×數(shù)量這一等量關(guān)系，注意分情況討論“兩家公司購買相差24元”是解答此題的易漏點．22.已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點．（1）求和的值；（2）若點，，是該拋物線上的點，請比較，與的大小，并說明理由．【答案】（1），（2），理由見解析【解析】【分析】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的求解二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）把點分別代入兩個函數(shù)解析式建立方程組即可求解；（2）把點，，分別代入拋物線的解析式計算函數(shù)值，可得函數(shù)值的大小．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點．∴，解得：，【小問2詳解】由（1）得拋物線為：，∵點，，是該拋物線上的點，即點，，是該拋物線上的點，∴，，，∴．23.【閱讀材料1】為解方程，我們可以將看作一個整體，然后設(shè)，那么原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解是，，，．我們將上述解題的方法叫換元法．【閱讀材料2】已知實數(shù)，滿足，且，顯然m，n是方程兩個不相等的實數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：（1）直接應(yīng)用：解方程，可設(shè)__________，原方程可化為__________．經(jīng)過運(yùn)算，原方程解是__________．（2）間接應(yīng)用：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．【答案】（1），，，；（2）【解析】【分析】本題考查的是換元法解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的應(yīng)用，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵；（1）設(shè)，原方程可化為，再解方程求解y，再分類求解x的值即可；（2）先判斷，可得，是方程的兩個根，可得，，再利用完全平方公式的變形進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】解：解方程，可設(shè)，原方程可化為，∴，解得：，，當(dāng)，則，解得：，當(dāng)時，則，方程無解，∴原方程的解為：，；【小問2詳解】∵的兩個根為，，則，∴，不互為相反數(shù)，∴，∵實數(shù)，滿足，，且，∴，∴，是方程的兩個根，∴，，∴．24.正方形和等腰共頂點D，，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)一周．（1）如圖1，當(dāng)點F與點C重合時，若，求的長；（2）如圖2，M為中點，連接，探究的關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）條件下，連接并延長交于點Q，若，在旋轉(zhuǎn)過程中，的最小值為．【答案】（1）（2），理由見解析（3）【解析】【分析】（1）如圖：連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再說明，然后根據(jù)勾股定理即可解答；（2）如圖2，延長至Q，使，連接，再證明可得，即；然后延長交于點N，再證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；（3）如圖：連接，取的中點O，連接．根據(jù)正方形的性質(zhì)以及相關(guān)已知條件可得，進(jìn)而得到，即點M的運(yùn)動軌跡是O為圓心，為半徑的圓，當(dāng)與相切時，的值最小；然后說明，在上取一點T，使得，連接，可得；最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及線段的和差列方程求解即可．【小問1詳解】解：如圖：連接，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴．【小問2詳解】解：；理由如下：如圖2，延長至Q，使，連接，∵，∴，∴，∴，延長交于點N∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【小問3詳解】解：如圖：連接，取的中點O，連接．∵四邊形是正方形，，∴，∵，∴，∴點M的運(yùn)動軌跡是O為圓心，為半徑的圓，當(dāng)與相切時，的值最小，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在上取一點T，使得，連接，∵，∴，∴，∴，∴，∴最?。蚀鸢笧椋海军c睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、線段的和差、平行線的判定和性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、全等三角形的判定和性質(zhì)以及求動點問題中線段最小值等知識點，認(rèn)真審題添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．25.如圖，拋物線，經(jīng)過點.（1）求拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第一象限，當(dāng)時，求N點的坐標(biāo)；（3）我們通常用表示整數(shù)的最大公約數(shù)，例如.若，則稱a、b互素，關(guān)于最大公約數(shù)有幾個簡單的性質(zhì)：①，其中k為任意整