黑龍江省大慶市杜爾伯特蒙古族自治縣2024屆中考一模數(shù)學(xué)試題含解析

黑龍江省大慶市杜爾伯特蒙古族自治縣2024屆中考一模數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．小明要去超市買甲、乙兩種糖果，然后混合成5千克混合糖果，已知甲種糖果的單價為a元/千克，乙種糖果的單價為b元/千克，且a＞b.根據(jù)需要小明列出以下三種混合方案：（單位：千克）甲種糖果乙種糖果混合糖果方案1235方案2325方案32.52.55則最省錢的方案為（）A．方案1 B．方案2C．方案3 D．三個方案費用相同2．按如下方法，將△ABC的三邊縮小的原來的，如圖，任取一點O，連AO、BO、CO，并取它們的中點D、E、F，得△DEF，則下列說法正確的個數(shù)是（）①△ABC與△DEF是位似圖形

②△ABC與△DEF是相似圖形③△ABC與△DEF的周長比為1：2

④△ABC與△DEF的面積比為4：1．A．1 B．2 C．3 D．43．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3=a6B．a(chǎn)3+a2=a5C．（a2）4=a8D．a(chǎn)3﹣a2=a4．如圖是由5個大小相同的正方體搭成的幾何體，這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．5．小文同學(xué)統(tǒng)計了某棟居民樓中全體居民每周使用手機支付的次數(shù)，并繪制了直方圖．根據(jù)圖中信息，下列說法：①這棟居民樓共有居民140人②每周使用手機支付次數(shù)為28～35次的人數(shù)最多③有的人每周使用手機支付的次數(shù)在35～42次④每周使用手機支付不超過21次的有15人其中正確的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．④6．-2的倒數(shù)是（）A．-2 B． C． D．27．下列各式中計算正確的是A． B． C． D．8．實數(shù)的倒數(shù)是（）A． B． C． D．9．下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．10．等腰三角形底角與頂角之間的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù) B．一次函數(shù) C．反比例函數(shù) D．二次函數(shù)二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．對于實數(shù)a，b，定義運算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=1．若（x+1）※（x﹣2）=6，則x的值為_____．12．一個正方形AOBC各頂點的坐標分別為A（0，3），O（0，0），B（3，0），C（3，3）．若以原點為位似中心，將這個正方形的邊長縮小為原來的，則新正方形的中心的坐標為_____．13．圖①是一個三角形，分別連接這個三角形的中點得到圖②；再分別連接圖②中間小三角形三邊的中點，得到圖③．按上面的方法繼續(xù)下去，第n個圖形中有_____個三角形（用含字母n的代數(shù)式表示）．14．如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA交小圓于點D，若OD=2，tan∠OAB=，則AB的長是________．15．已知，如圖，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，若EG＝3，則AC＝．16．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，，則AC的長為_______.三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點P在對角線AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圓．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半徑．18．（8分）一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援，求海警船到大事故船C處所需的大約時間．（溫馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）19．（8分）計算：﹣22+（π﹣2018）0﹣2sin60°+|1﹣|20．（8分）每年4月23日是世界讀書日，某校為了解學(xué)生課外閱讀情況，隨機抽取20名學(xué)生，對每人每周用于課外閱讀的平均時間（單位：min）進行調(diào)查，過程如下：收集數(shù)據(jù)：30608150401101301469010060811201407081102010081整理數(shù)據(jù)：課外閱讀平均時間x（min）0≤x＜4040≤x＜8080≤x＜120120≤x＜160等級DCBA人數(shù)3a8b分析數(shù)據(jù)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)80mn請根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝；m＝，n＝；（2）已知該校學(xué)生500人，若每人每周用于課外閱讀的平均時間不少于80min為達標，請估計達標的學(xué)生數(shù)；（3）設(shè)閱讀一本課外書的平均時間為260min，請選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，估計該校學(xué)生每人一年（按52周計）平均閱讀多少本課外書？21．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，連結(jié)AE、BD且AE=AB．求證：∠ABE=∠EAD；若∠AEB=2∠ADB，求證：四邊形ABCD是菱形．22．（10分）圖1所示的遮陽傘，傘柄垂直于水平地面，其示意圖如圖2、當(dāng)傘收緊時，點P與點A重合；當(dāng)傘慢慢撐開時，動點P由A向B移動；當(dāng)點P到達點B時，傘張得最開、已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、設(shè)AP=x分米．（1）求x的取值范圍；（2）若∠CPN=60°，求x的值；（3）設(shè)陽光直射下，傘下的陰影（假定為圓面）面積為y，求y關(guān)于x的關(guān)系式（結(jié)果保留π）．23．（12分）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB分別與x軸、y軸交于點B，A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點C，D，CE⊥x軸于點E，tan∠ABO=，OB=4，OE=1．（1）求該反比例函數(shù)的解析式；（1）求三角形CDE的面積．24．如圖，我們把一個半圓和拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知分別為“果圓”與坐標軸的交點，直線與“果圓”中的拋物線交于兩點(1)求“果圓”中拋物線的解析式，并直接寫出“果圓”被軸截得的線段的長；(2)如圖，為直線下方“果圓”上一點，連接，設(shè)與交于，的面積記為，的面積即為，求的最小值(3)“果圓”上是否存在點，使，如果存在，直接寫出點坐標，如果不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、A【解析】

求出三種方案混合糖果的單價，比較后即可得出結(jié)論.【詳解】方案1混合糖果的單價為，方案2混合糖果的單價為，方案3混合糖果的單價為.∵a＞b，∴，∴方案1最省錢.故選：A.【點睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，求出各方案混合糖果的單價是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得出①△ABC與△DEF是位似圖形進而根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出②△ABC與△DEF是相似圖形，再根據(jù)周長比等于位似比，以及根據(jù)面積比等于相似比的平方，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)位似性質(zhì)得出①△ABC與△DEF是位似圖形，②△ABC與△DEF是相似圖形，∵將△ABC的三邊縮小的原來的，∴△ABC與△DEF的周長比為2：1，故③選項錯誤，根據(jù)面積比等于相似比的平方，∴④△ABC與△DEF的面積比為4：1．故選C．【點睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，中等難度,熟悉位似圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3、C【解析】

根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘進行計算即可．【詳解】A、a2?a3=a5，故原題計算錯誤；B、a3和a2不是同類項，不能合并，故原題計算錯誤；C、（a2）4=a8，故原題計算正確；D、a3和a2不是同類項，不能合并，故原題計算錯誤；故選：C．【點睛】此題主要考查了冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法，以及合并同類項，關(guān)鍵是掌握計算法則．4、A【解析】分析：根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．詳解：從上面看第一列是兩個小正方形，第二列是一個小正方形，第三列是一個小正方形，故選：A．點睛：本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖．5、B【解析】

根據(jù)直方圖表示的意義求得統(tǒng)計的總?cè)藬?shù),以及每組的人數(shù)即可判斷.本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力.利用統(tǒng)計圖獲取信息時,必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖,才能作出正確的判斷和解.【詳解】解：①這棟居民樓共有居民3＋10＋15＋22＋30＋25＋20＝125人，此結(jié)論錯誤；②每周使用手機支付次數(shù)為28～35次的人數(shù)最多，此結(jié)論正確；③每周使用手機支付的次數(shù)在35～42次所占比例為，此結(jié)論正確；④每周使用手機支付不超過21次的有3＋10＋15＝28人，此結(jié)論錯誤；故選：B．【點睛】此題考查直方圖的意義，解題的關(guān)鍵在于理解直方圖表示的意義求得統(tǒng)計的數(shù)據(jù)6、B【解析】

根據(jù)倒數(shù)的定義求解.【詳解】-2的倒數(shù)是-故選B【點睛】本題難度較低，主要考查學(xué)生對倒數(shù)相反數(shù)等知識點的掌握7、B【解析】

根據(jù)完全平方公式對A進行判斷；根據(jù)冪的乘方與積的乘方對B、C進行判斷；根據(jù)合并同類項對D進行判斷．【詳解】A.，故錯誤.B.,正確.C.，故錯誤.D.,故錯誤.故選B.【點睛】考查完全平方公式，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握它們的運算法則是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】因為＝，所以的倒數(shù)是.故選D.9、B【解析】

根據(jù)中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形與中心對稱圖形是圖形沿對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合,即可解題.A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、是中心對稱圖形，故本選項正確；C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選B.考點：中心對稱圖形.【詳解】請在此輸入詳解！10、B【解析】

根據(jù)一次函數(shù)的定義，可得答案．【詳解】設(shè)等腰三角形的底角為y，頂角為x，由題意，得x+2y=180，所以，y=﹣x+90°，即等腰三角形底角與頂角之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，故選B．【點睛】本題考查了實際問題與一次函數(shù)，根據(jù)題意正確列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、2【解析】

根據(jù)新定義運算對式子進行變形得到關(guān)于x的方程，解方程即可得解.【詳解】由題意得，（x+2）2﹣（x+2）（x﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=2，故答案為2．【點睛】本題考查了解方程，涉及到完全平方公式、多項式乘法的運算等，根據(jù)題意正確得到方程是解題的關(guān)鍵．12、（，）或（﹣，﹣）．【解析】

分點A、B、C的對應(yīng)點在第一象限和第三象限兩種情況，根據(jù)位似變換和正方形的性質(zhì)解答可得．【詳解】如圖，①當(dāng)點A、B、C的對應(yīng)點在第一象限時，由位似比為1：2知點A′（0，）、B′（，0）、C′（，），∴該正方形的中心點的P的坐標為（，）；②當(dāng)點A、B、C的對應(yīng)點在第三象限時，由位似比為1：2知點A″（0，-）、B″（-，0）、C″（-，-），∴此時新正方形的中心點Q的坐標為（-，-），故答案為（，）或（-，-）．【點睛】本題主要考查位似變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．13、4n﹣1【解析】

分別數(shù)出圖、圖、圖中的三角形的個數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：第幾個圖形中三角形的個數(shù)就是4與幾的乘積減去如圖中三角形的個數(shù)為按照這個規(guī)律即可求出第n各圖形中有多少三角形．【詳解】分別數(shù)出圖、圖、圖中的三角形的個數(shù)，圖中三角形的個數(shù)為；圖中三角形的個數(shù)為；圖中三角形的個數(shù)為；可以發(fā)現(xiàn)，第幾個圖形中三角形的個數(shù)就是4與幾的乘積減去1．按照這個規(guī)律，如果設(shè)圖形的個數(shù)為n，那么其中三角形的個數(shù)為．故答案為．【點睛】此題主要考查學(xué)生對圖形變化類這個知識點的理解和掌握，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形，數(shù)據(jù)等條件，通過認真思考，歸納總結(jié)出規(guī)律，此類題目難度一般偏大，屬于難題．14、8【解析】

如圖，連接OC，在在Rt△ACO中，由tan∠OAB=，求出AC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接OC．∵AB是⊙O切線，∴OC⊥AB，AC=BC，在Rt△ACO中，∵∠ACO=90°，OC=OD=2tan∠OAB=，∴，∴AC=4，∴AB=2AC=8，故答案為8【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形，屬于中考?？碱}型．15、1【解析】試題分析：根據(jù)DE∥FG∥BC可得△ADE∽△AFG∽ABC，根據(jù)題意可得EG：AC=DF：AB=2:6=1:3，根據(jù)EG=3，則AC=1．考點：三角形相似的應(yīng)用．16、8【解析】

在Rt△ABC中，cosB=，AB=10，可求得BC，再利用勾股定理即可求AC的長.【詳解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10∴cosB=，得BC=6由勾股定理得BC=故答案為8.【點睛】此題主要考查銳角三角函數(shù)在直角三形中的應(yīng)用及勾股定理．三、解答題（共8題，共72分）17、(1)見解析；(2)．【解析】分析：（1）連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根據(jù)垂徑定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，則∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到直線AB與⊙O相切；（2）連結(jié)BD，交AC于點F，根據(jù)菱形的性質(zhì)得DB與AC互相垂直平分，則AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根據(jù)勾股定理得到AD==2，求得AE=，設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．詳解：（1）連結(jié)OP、OA，OP交AD于E，如圖，∵PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°．∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°．∵四邊形ABCD為菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，∴直線AB與⊙O相切；（2）連結(jié)BD，交AC于點F，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴DB與AC互相垂直平分．∵AC=8，tan∠BAC=，∴AF=4，tan∠DAC==，∴DF=2，∴AD==2，∴AE=．在Rt△PAE中，tan∠1==，∴PE=．設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=R﹣，OA=R．在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，∴R=，即⊙O的半徑為．點睛：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)以及勾股定理．18、小時【解析】

過點C作CD⊥AB交AB延長線于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根據(jù)時間=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C處所需的時間．【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C處所需的時間大約為：50÷40=（小時）．考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題19、－4【解析】分析：第一項根據(jù)乘方的意義計算，第二項非零數(shù)的零次冪等于1，第三項根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)值計算，第四項根據(jù)絕對值的意義化簡.詳解：原式=-4+1-2×+-1=-4點睛：本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握乘方的意義，零指數(shù)冪的意義，及特殊角銳角三角函數(shù)，絕對值的意義是解答本題的關(guān)鍵.20、（1）a＝5，b＝4；m＝81，n＝81；（2）300人；（3）16本【解析】

（1）根據(jù)統(tǒng)計表收集數(shù)據(jù)可求a，b，再根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義可求m，n；（2）達標的學(xué)生人數(shù)＝總?cè)藬?shù)×達標率，依此即可求解；（3）本題需先求出閱讀課外書的總時間，再除以平均閱讀一本課外書的時間即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）由統(tǒng)計表收集數(shù)據(jù)可知a＝5，b＝4，m＝81，n＝81；（2）（人）．答：估計達標的學(xué)生有300人；（3）80×52÷260＝16（本）．答：估計該校學(xué)生每人一年（按52周計算）平均閱讀16本課外書．【點睛】本題主要考查統(tǒng)計表以及中位數(shù)，眾數(shù)，估計達標人數(shù)等，能夠從統(tǒng)計表中獲取有效信息是解題的關(guān)鍵.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的對邊互相平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEB=∠EAD，根據(jù)等邊對等角可得∠ABE=∠AEB，即可得證．（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根據(jù)等角對等邊求出AB=AD，然后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．【詳解】證明：（1）∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD．∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB．∴∠ABE=∠EAD．（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE．∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB．∴∠ABD=∠ABE－∠DBE=2∠ADB－∠ADB=∠ADB．∴AB=AD．又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．22、（1）0≤x≤10；（1）x=6；（3）y=﹣πx1+54πx．【解析】

（1）根據(jù)題意，得AC=CN+PN，進一步求得AB的長，即可求得x的取值范圍；（1）根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可求解；（3）連接MN、EF，分別交AC于B、H．此題根據(jù)菱形CMPN的性質(zhì)求得MB的長，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，求得圓的半徑即可．【詳解】（1）∵BC=1分米，AC=CN+PN=11分米，∴AB=AC﹣BC=10分米，∴x的取值范圍是：0≤x≤10；（1）∵CN=PN，∠CPN=60°，∴△PCN是等邊三角形，∴CP=6分米，∴AP=AC﹣PC=6分米，即當(dāng)∠CPN=60°時，x=6；（3）連接MN、EF，分別交AC于B、H，∵PM=PN=CM=CN，∴四邊形PNCM是菱形，∴MN與PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分線，PB==6-，在Rt△MBP中，PM=6分米，∴MB1=PM1﹣PB1=61﹣（6﹣x）1=6x﹣x1．∵CE=CF，AC是∠ECF的平分線，∴EH=HF，EF⊥AC，∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，∴△CMB∽△CEH，∴=，∴，∴EH1=9?MB1=9?（6x﹣x1），∴y=π?EH1=9π（6x﹣x1），即y=﹣πx1+54πx．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的應(yīng)用，難點是第（3）問，熟練運用菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的實際應(yīng)用．23、（1）；（1）11.【解析】

（1）根據(jù)正切的定義求出OA，證明△BAO∽△BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算；（1）求出直線AB的解析式，解方程組求出點D的坐標，根據(jù)三角形CDE的面積=三角形CBE的面積+三角形BED的面積計算即可．【詳解】解：（1）∵tan∠ABO=，OB=4，∴OA=1，∵OE=1，∴BE=6，∵AO∥CE，∴△BAO∽△BEC，∴=，即=，解得，CE=3，即點C的坐標為（﹣1，3），∴反比例函數(shù)的解析式為：；（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則，解得，，則直線AB的解析式為：，，解得，，，∴當(dāng)D的坐標為（6，1），∴三角形CDE的面積=三角形CBE的面積+三角形BED的面積=×6×3+×6×1=11．【點睛】此題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟、求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點的方法是解題的關(guān)鍵．24、(1)；6；(2)有最小值；(3)，.【解析】

（1）先求出點B，C坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，進而求出點A坐標，即可求出半圓的直徑，再構(gòu)造直角三角形求出點D的坐標即可求出BD；

（2）先判斷出要求的最小值，只要CG最大即可，再求出直線EG解析式和拋物線解析式聯(lián)立成的方程只有一個交點，